1、1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑思 想 方 法隨 堂 練 習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解函數(shù)零點(diǎn)的概念,領(lǐng)會(huì)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系.2.掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理.3.能結(jié)合圖象求解零點(diǎn)問(wèn)題.4.初步理解函數(shù)與方程思想.5.感受數(shù)學(xué)抽象的不同層次,感受直觀想象的作用,提高數(shù)形結(jié)合的意識(shí). 自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、函數(shù)的零點(diǎn)【問(wèn)題思考】1.函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎?提示:函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn),因此函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),是方程f(x)=0的解,即函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù).2.結(jié)合所學(xué)的基本初等函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)),思考是

2、否所有的函數(shù)都有零點(diǎn)?并說(shuō)明理由.提示:不一定.因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)就是方程的根,并不是所有的方程都有根,所以說(shuō)不是所有的函數(shù)都有零點(diǎn).如:指數(shù)函數(shù),其圖象都在x軸的上方,與x軸沒(méi)有交點(diǎn),故指數(shù)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),對(duì)數(shù)函數(shù)有唯一一個(gè)零點(diǎn).3.填一填:使得 f(x0)=0 的數(shù)x0稱為方程f(x)=0的解,也稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).f(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).4.做一做:若4是函數(shù)f(x)=ax2-2log2x的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值等于()答案:D 二、零點(diǎn)存在定理【問(wèn)題思考】1.若f(a)f(b)0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定沒(méi)有零點(diǎn)嗎?提示:不一定.如y=x

3、2-1在區(qū)間(-2,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),但f(2)f(-2) 0.2.結(jié)合教材,你認(rèn)為求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法有哪些?提示:方法1:利用方程的根,轉(zhuǎn)化為解方程,方程有幾個(gè)根相對(duì)應(yīng)的函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn).方法2:利用函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).方法3:結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,利用f(a)f(b)0,結(jié)合單調(diào)性可判定y=f(x)在(a,b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).方法4:轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,兩個(gè)函數(shù)圖象有幾個(gè)交點(diǎn),就說(shuō)明有幾個(gè)零點(diǎn).3.填一填:零點(diǎn)存在定理:若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖象是一條 連續(xù)的曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)

4、的函數(shù)值一正一負(fù),即 f(a)f(b)0,則在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn),即在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)相應(yīng)的方程f(x)=0至少有一個(gè)解.4.做一做:已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對(duì)應(yīng)值表:那么函數(shù)f(x)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是()A.(-,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+)答案:B【思考辨析】 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)零點(diǎn)即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn).( )(2)若方程f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,則函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).( )(3)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,

5、b)上有零點(diǎn),則一定有f(a)f(b)0.( ) 合作探究釋疑解惑探究一探究二探究三探究四探究一 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【例1】 (1)函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)(2)函數(shù) 的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)解析:(1)因?yàn)閒(0)=e0+0-2=-10,所以f(0)f(1)0.由零點(diǎn)存在定理,f(x)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為(0,1).(2)由題意可得f(x)的定義域?yàn)?0,+),可知f(x)在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù).f(1)=ln(1+1)-2=ln 2-2

6、0,可得f(1)f(2)0,由零點(diǎn)存在定理,可知f(x)的零點(diǎn)所在大致區(qū)間是(1,2).答案:(1)C(2)C判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟(1)代入:將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù),求出函數(shù)的值.(2)判斷:把所得的函數(shù)值相乘,并進(jìn)行符號(hào)判斷.(3)結(jié)論:若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn),若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù),則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).【變式訓(xùn)練1】 函數(shù)f(x)=x+lg x-3的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()答案:C 探究二 求函數(shù)的零點(diǎn)【例2】 判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn),如果存在,請(qǐng)求出.(1)f(x)=x2+7x+6;(2)f(x)=1-log2(x+3);(3)f(x

7、)=2x-1-3;解:(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1,或x=-6,所以函數(shù)的零點(diǎn)是-1,-6.(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函數(shù)的零點(diǎn)是-1.(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函數(shù)的零點(diǎn)是log26.求函數(shù)零點(diǎn)的兩種方法(1)代數(shù)法:求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根;(2)幾何法:對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái),并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).【變式訓(xùn)練2】 若函數(shù)f(x)=x2+x-a的一個(gè)零點(diǎn)是-3,求實(shí)數(shù)a的值,并求函數(shù)f(x)其余的零點(diǎn).解:由題意知f(-3)=0,即(-3)2

8、-3-a=0,得a=6.所以f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3,或x=2.所以函數(shù)f(x)還有一個(gè)零點(diǎn),是2.探究三 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例3】 判斷函數(shù)f(x)=ln x+x2-3零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解法1:函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程為ln x+x2-3=0,所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=ln x與y=3-x2的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=ln x和函數(shù)y=3-x2的圖象(如圖).由圖象知,函數(shù)y=3-x2與y=ln x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),從而方程ln x+x2-3=0有一個(gè)根,即函數(shù)f(x)=ln x+x2-3有一個(gè)零點(diǎn).解法2:由于f(1)=ln 1+12-

9、3=-20,所以f(1)f(2)0.又f(x)=ln x+x2-3的圖象在區(qū)間(1,2)上是不間斷的,所以f(x)在區(qū)間(1,2)上必有零點(diǎn).又f(x)在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù),所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)對(duì)于一般函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題,可以先確定零點(diǎn)存在,然后借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,利用圖象判定方程根的個(gè)數(shù);(3)解方程,解得方程根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【變式訓(xùn)練3】 函數(shù)f(x)=ln x-x+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.

10、1B.2C.0D.不能確定解析:如圖所示,在同一平面直角坐標(biāo)系中,分別畫出函數(shù)y=ln x,y=x-2的圖象,可知兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).答案:B探究四 一元二次方程根的分布問(wèn)題【例4】 關(guān)于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a為何值時(shí)函數(shù)f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn).若本例條件不變,關(guān)于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0的一根大于1,一根小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:因?yàn)榉匠逃幸桓笥?,一根小于1,所以圖象大致如圖所示.令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,又f(1)=-30.故當(dāng)a0時(shí),方程ax2-2(a+1)x+a

11、-1=0的一根大于1,一根小于1.解決一元二次方程根的分布問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)(1)首先畫出符合題意的草圖,轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題.(2)結(jié)合草圖考慮三個(gè)方面:開(kāi)口方向;與0的大小;對(duì)稱軸與所給端點(diǎn)值的關(guān)系;端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系.思 想 方 法用數(shù)形結(jié)合思想判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【典例】 試討論函數(shù)f(x)=x2-2|x|-a-1(aR)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).分析:函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程f(x)=0的解的個(gè)數(shù).令f(x)=0,即x2-2|x|=a+1.令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,則方程x2-2|x| =a+1的解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)g(x)與h(x)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),故將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)與

12、h(x)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.解:令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1, 函數(shù)g(x),h(x)的大致圖象如圖所示.又g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,由圖可得,當(dāng)a+1-1,即a0,即a=-2,或a-1時(shí),函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn);當(dāng)-1a+10,即-2a-1時(shí),函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn);當(dāng)a+1=0,即a=-1時(shí),函數(shù)g(x)與h(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).綜上,當(dāng)a-1時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)-2a-1時(shí),函數(shù)f(x)有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn).在函數(shù)與方程問(wèn)題中,可以把函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根等問(wèn)題轉(zhuǎn)

13、化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題,依據(jù)函數(shù)圖象的特征,構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式求解.隨 堂 練 習(xí)答案:D 2.對(duì)于函數(shù)f(x),若f(-1)f(3)0,則()A.方程f(x)=0一定有實(shí)數(shù)解B.方程f(x)=0一定無(wú)實(shí)數(shù)解C.方程f(x)=0一定有兩實(shí)數(shù)解D.方程f(x)=0可能無(wú)實(shí)數(shù)解解析:函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(-1,3)上未必連續(xù),故盡管f(-1)f(3)0,但方程y=f(x)=0在區(qū)間(-1,3)上未必有實(shí)數(shù)解.答案:D3.方程2x-x2=0的解的個(gè)數(shù)是.解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x及y=x2的圖象(圖略),可看出兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn),故2x-x2=0的解的個(gè)數(shù)為2.答案:24.已知函數(shù)f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一個(gè)零點(diǎn)