1、管理運(yùn)籌學(xué) 第五章靈敏度分析第1頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二概 述 在所有的線性規(guī)劃問(wèn)題中，變量在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)cj和約束方程中的系數(shù)aij以及右端值bi都是固定的，但在實(shí)際工作中，很可能不知道這些參數(shù)的確切值。此外，管理人員如想知道，稍微改變一下參數(shù)，能否使目標(biāo)值有較大的變化，以判斷這些改變是否有利。 靈敏度分析就是在線性規(guī)劃問(wèn)題已經(jīng)求出最優(yōu)解以后，某一參數(shù)變化時(shí)，不必將問(wèn)題從頭到尾重算一遍，就知道最優(yōu)解以及目標(biāo)函數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化，使決策者可以得到比一組最優(yōu)解更為多的信息，以處理上述問(wèn)題。2第2頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二一、邊際值的

2、定義 第i種資源的邊際值就是將1單位的第i種資源從現(xiàn)在的用途中抽取出來(lái)而使利潤(rùn)減少的數(shù)字，用qi表示。 跟上一章當(dāng)中我們討論的影子價(jià)格的概念在一定程度上是統(tǒng)一的： 邊際值(影子價(jià)格)qi 是指在最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，當(dāng)?shù)?i 個(gè)約束行的右端項(xiàng) bi 減少一個(gè)單位時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化量3第3頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二二、邊際值的求解以(max,)型為例： 前面討論過(guò) =(CBb-1)i Zn+i=CBb-1Pn+i =(CBb-1)i 所以qi=Zn+i 其中Zn+i=CBb-1Pn+i表示松弛變量每增加一個(gè)單位時(shí)損失的利潤(rùn)。n為題目原有的變量數(shù)。 在引進(jìn)邊際值的概念后，Z

3、j可以直接使用Zj=4第4頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二三、例題求下列問(wèn)題中各個(gè)資源的邊際值5第5頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二設(shè) x5，x6，x7 分別為資源1，2，3的松弛變量，此問(wèn)題達(dá)到最優(yōu)解時(shí)的單純形表為：Cj 1 5 3 4 0 0 0CBXBb X1 X2 X3 X4 X5 X6 X70X51000.25 0 -3.25 4 0 0 04X4200 2 0 -2 1 0 1 -15X2100-0.75 1 2.75 0 0 0.75 1Cj- Zj-3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1Zj4.25 0 5.75 4

4、0 0.25 1因?yàn)閝i=Zn+i，n=4,所以q1=z4+1=0；q2=z4+2=0.25；q3=z4+3=100.2516第6頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二 利用邊際值qi可得出: 1.在一定范圍內(nèi)，資源i增加一單位，利潤(rùn)就增加qi。 如資源2，3各增加一單位，利潤(rùn)分別增加0.25及1元，資源1增加一單位，利潤(rùn)不增加。Cj 1 5 3 4 0 0 0CBXBb X1 X2 X3 X4 X5 X6 X70X51000.25 0 -3.25 4 0 0 04X4200 2 0 -2 1 0 1 -15X2100-0.75 1 2.75 0 0 0.75 1Cj- Zj

5、-3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1Zj4.25 0 5.75 4 0 0.25 1q1=0；q2=0.25；q3=17第7頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二 2.在己求得最優(yōu)表后，如建議生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，不必重新計(jì)算，就能回答生產(chǎn)這種產(chǎn)品是否有利 如在本例中，若建議生產(chǎn)新產(chǎn)品，產(chǎn)量為 x8，問(wèn)是否生產(chǎn)？已知 c8=9, a18=5, a28=4, a38=3從上表中得知q1=0 q2=0.25 q3=1 所以：結(jié)論：生產(chǎn)x8有利。8第8頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二第五章 線性規(guī)劃問(wèn)題的靈敏度分析5.2 對(duì)cj 值的靈敏度分析第9

6、頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二概 述cj 變動(dòng)可能由于市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)，或生產(chǎn)成本的變動(dòng)cj 的靈敏度分析是在保證最優(yōu)解的基變量不變的情況下，分析cj 允許的變動(dòng)范圍cj cj 的變化會(huì)引起檢驗(yàn)數(shù)的變化，有兩種情況非基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)變化，不影響其它檢驗(yàn)數(shù)基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)變化，影響所有非基變量檢驗(yàn)數(shù)10第10頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二一、非基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)的靈敏度分析非基變量對(duì)應(yīng)的系數(shù)的變化僅影響其對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)，當(dāng)Cj變化為Cj+ Cj后若要使最優(yōu)解不變，則：11第11頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二例題:

7、求C1C3的變動(dòng)范圍12第12頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二二、基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)的靈敏度分析 由于基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)在CB中出現(xiàn)，因此它會(huì)影響所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)。 設(shè)當(dāng)只有一個(gè)基變量的cj生變化，變化量為 cj?？闪?cj在CB中的第r行，研究非基變量xk機(jī)會(huì)成本的變化。為保證所有非基變量檢驗(yàn)數(shù)仍滿足最優(yōu)條件，有：其中xj為第r個(gè)約束條件方程對(duì)應(yīng)的基變量13第13頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二設(shè)x4的價(jià)值系數(shù)增加c4，對(duì)應(yīng)r=2例題：求X4的C值的變動(dòng)范圍14第14頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二第五章 線性規(guī)

8、劃問(wèn)題的靈敏度分析5.3 對(duì) bi 值的靈敏度分析第15頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二概 述b的靈敏度分析就是研究最優(yōu)解基變量保持不變但基變量的取值可以變化的條件下b的取值范圍設(shè) XB=B1b 是最優(yōu)解，則有XB=B1b0b 的變化不會(huì)影響檢驗(yàn)數(shù)b 的變化量 b 可能導(dǎo)致原最優(yōu)解變?yōu)榉强尚薪猓ú粷M足非負(fù)約束）16第16頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二在將“”形式的約束條件變?yōu)椤?”形式時(shí)，對(duì)第i行的約束條件方程左端要加一個(gè)松弛變量Xn+i，因此，最優(yōu)解表中B-1可表示為右端項(xiàng) bi 的靈敏度分析17第17頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8

9、點(diǎn)11分，星期二18第18頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二19第19頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二XN為新的解向量 X0為原來(lái)的解向量Pn+k為最優(yōu)單純形表中Xn+k對(duì)應(yīng)的列向量20第20頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二例題求b2的靈敏度范圍，并求出新的最優(yōu)解21第21頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二因?yàn)?x6是對(duì)應(yīng)b2的初始基變量，所以有b2原始等于120022第22頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二23第23頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二第五章

10、線性規(guī)劃問(wèn)題的靈敏度分析5.4 對(duì)aij 值的靈敏度分析第24頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二對(duì)aij的靈敏度分析是在不改變最優(yōu)解基變量及其取值的情況下求aij的允許變動(dòng)范圍系數(shù)aij變化的影響比較復(fù)雜對(duì)應(yīng)基變量的 aij ，且資源bi已全部用完對(duì)應(yīng)基變量的 aij ，但資源bi未用完 對(duì)應(yīng)非基變量的 aij ，且資源bi全用完或未用完概 述25第25頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二1、對(duì)應(yīng)基變量的 aij ，且資源bi已全部用完 aij=02、對(duì)應(yīng)基變量的 aij ，但資源bi未用完 aij26第26頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)1

11、1分，星期二3、對(duì)應(yīng)非基變量的 aij27第27頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二例題求aij的靈敏度范圍28第28頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二根據(jù)上節(jié)的知識(shí)可知q1= 0, q2= 0.25, q3= 1, 邊際值為0時(shí)表示對(duì)應(yīng)資源未用完，邊際值不為0時(shí)表示對(duì)應(yīng)資源全部用完對(duì)應(yīng)基變量且資源全部用完的情況aij=0 所以：a22=0 ；a24=0 ；a32=0 ；a34=0對(duì)應(yīng)基變量且資源未用完的情況利用公式 aijx2, x4為基變量， b1未用完、b2b3全部用完故有：29第29頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二x1

12、x3為非基變量，利用公式 故有： 30第30頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二第五章 線性規(guī)劃問(wèn)題的靈敏度分析5.5 靈敏度分析應(yīng)用舉例第31頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二例 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品 A, B, C，有五種生產(chǎn)組合方案。下兩表給出有關(guān)數(shù)據(jù)。規(guī)定每天供應(yīng) A產(chǎn)品至少110 個(gè)，求收益最大的生產(chǎn)方案。32第32頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二解：設(shè)xj為已選定各種組合方案的組數(shù)(j=1,2,5)， x6為A產(chǎn)品的剩余變量， x7，x8分別為工人工時(shí)和機(jī)器工時(shí)的松弛變量。33第33頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日

13、，8點(diǎn)11分，星期二 我們考慮如下幾種互相獨(dú)立的情況，看一看如何應(yīng)用上面幾節(jié)討論的結(jié)論如果第2種生產(chǎn)方法的每批成本提高到21元,問(wèn)是否會(huì)改變最優(yōu)解?解: 據(jù)題意c2 = -2,超出范圍,所以最優(yōu)解改變. 將新的cj值代替表中的cj值, 解得最優(yōu)解為:34第34頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二解: B的單位售價(jià)增加,五種生產(chǎn)方法的cj值都要變1.求出新的cj值: c1=26, c2=31, c3=42,c4=6, c5=492.將新的cj值代替表中的cj值, 重新計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)得上表未達(dá)最優(yōu),用單純形法繼續(xù)求解.如果產(chǎn)品B的單位售價(jià)增加到6元,是否影響最優(yōu)解?35第35頁(yè)，共

14、41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二 解:q2=0.5,即工時(shí)增加1小時(shí),利潤(rùn)將增加0.5元加班成本0.3 ,故加班能使利潤(rùn)增加. 如果加班要另付加班費(fèi)每小時(shí)1.5元,問(wèn)加班能否使利潤(rùn)增加?36第36頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二對(duì)b2進(jìn)行靈敏度分析為:37第37頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二如果新購(gòu)一臺(tái)機(jī)器,購(gòu)價(jià)300,000元,每天可增加8個(gè)機(jī)器時(shí)間,機(jī)器可使用5年,每年工作250工作日,問(wèn)是否有利? 解:從表可知機(jī)器小時(shí)的邊際值為44元,從題目中算得每機(jī)器小時(shí)的成本為 38第38頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，8點(diǎn)11分，星期二問(wèn)增加3臺(tái)新機(jī)器是否有利?對(duì)b3進(jìn)行靈敏度分析為: 增加3臺(tái)機(jī)器即每天增加3*8=24小時(shí),在上述范圍內(nèi),每天可增加(40-33)*24=336元39第39頁(yè)