1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)基本不等式及其應(yīng)用1基本不等式若a0,，b0，則eq f(ab,2)eq r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”這一定理敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)它們的幾何平均數(shù)注：運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，必須注意以下三點(diǎn)：(1)各項(xiàng)或各因式均正；（一正）(2)和或積為定值；（二定）(3)等號(hào)成立的條件存在：含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值（三相等）2常用不等式(1)a2b2(a，bR)(2)注：不等式a2b22ab和它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).其等價(jià)變

2、形：ab（）2.ab (a，bR)(4)eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同號(hào)且不為0)(5)eq f(a2b2,2)(a，bR).（6）(7)abceqf(a3b3c3,3);(8)eqf(abc,3)eqr(3,abc)；3利用基本不等式求最大、最小值問(wèn)題(1)求最小值：a0，b0，當(dāng)ab為定值時(shí)，ab，a2b2有，即ab，a2b2.(2)求最大值：a0，b0，當(dāng)ab為定值時(shí)，ab有最大值，即；或a2b2為定值時(shí)，ab有最大值(a0，b0)，即. 設(shè)a，bR，且ab3，則2a2b的最小值是()A.6 B.4eq r(2)C.2eq r(2)D.2eq r(6)解：因?yàn)?a0，2

3、b0，由基本不等式得2a2b2eq r(2a2b)2eq r(2ab)4eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(3,2)時(shí)取等號(hào)，故選B. 若a0，b0，且a2b20，則ab的最大值為()A.eq f(1,2)B.1 C.2 D.4解：a0，b0，a2b2，a2b22eq r(2ab)，即abeq f(1,2).當(dāng)且僅當(dāng)a1，beq f(1,2)時(shí)等號(hào)成立.故選A. 小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(ab)，其全程的平均時(shí)速為v，則()A.aveq r(ab)B.veq r(ab)C.eq r(ab)veq f(ab,2)D.veq f(ab,2)解：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s.ab，ve

4、q f(2s,f(s,a)f(s,b)eq f(2ab,ab)eq f(2ab,2r(ab)eq r(ab).又vaeq f(2ab,ab)aeq f(aba2,ab)eq f(a2a2,ab)0，va.故選A. (eq avs4al(2014上海)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy1，則x22y2的最小值為_(kāi).解：由xy1得x22y2x2eq f(2,x2)2eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)xeq r(4,2)時(shí)等號(hào)成立.故填2eq r(2). 點(diǎn)(m，n)在直線xy1位于第一象限內(nèi)的圖象上運(yùn)動(dòng)，則log2mlog2n的最大值是_.解：由條件知，m0，n0，mn1，所以mneq blc(rc)(avs4alco1

5、(f(mn,2)eq sup12(2)eq f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)mneq f(1,2)時(shí)取等號(hào)，類型一利用基本不等式求最值(1)求函數(shù)yeqf(（x5）（x2）,x1)(x1)的值域.解：x1，x10，令mx1，則m0，且yeqf(（m4）（m1）,m)meqf(4,m)52eqr(mf(4,m)59，當(dāng)且僅當(dāng)m2時(shí)取等號(hào)，故ymin9.又當(dāng)m或m0時(shí)，y，故原函數(shù)的值域是9，).(2)下列不等式一定成立的是()A.lgeqblc(rc)(avs4alco1(x2f(1,4)lgx(x0)B.sinxeqf(1,sinx)2(xk，kZ)C.x212eq blc|rc|(avs4alco1(

6、x)(xR)D.eq f(1,x21)1(xR)解：A中，x2eq f(1,4)x(x0)，當(dāng)xeq f(1,2)時(shí)，x2eq f(1,4)x.B中，sinxeq f(1,sinx)2(sinx(0，1)；sinxeq f(1,sinx)2(sinx1，0).C中，x22|x|1(|x|1)20(xR).D中，eq f(1,x21)(0，1(xR).故C一定成立，故選C.點(diǎn)撥：這里(1)是形如f(x)eq f(ax2bxc,xd)的最值問(wèn)題，只要分母xd0，都可以將f(x)轉(zhuǎn)化為f(x)a(xd)eq f(e,xd)h(這里ae0；若ae0，可以直接利用單調(diào)性等方法求最值)，再利用基本不等式求

7、其最值.(2)牢記基本不等式使用條件一正、二定、三相等，特別注意等號(hào)成立條件要存在.(1)已知t0，則函數(shù)f(t)eq f(t24t1,t)的最小值為.解：t0，f(t)eq f(t24t1,t)teq f(1,t)42，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)，f(t)min2，故填2.(2)已知x0，y0，且2x8yxy0，求：()xy的最小值；()xy的最小值.解：()由2x8yxy0，得eqf(8,x)eqf(2,y)1，又x0，y0，則1eqf(8,x)eqf(2,y)2eqr(f(8,x)f(2,y)eqf(8,r(xy)，得xy64，當(dāng)且僅當(dāng)x4y，即x16，y4時(shí)等號(hào)成立.()解法一：由2x8yxy0，

8、得xeqf(8y,y2)，x0，y2，則xyyeqf(8y,y2)(y2)eqf(16,y2)1018，當(dāng)且僅當(dāng)y2eqf(16,y2)，即y6，x12時(shí)等號(hào)成立.解法二：由2x8yxy0，得eqf(8,x)eqf(2,y)1，則xyeqblc(rc)(avs4alco1(f(8,x)f(2,y)(xy)10eqf(2x,y)eqf(8y,x)102eqr(f(2x,y)f(8y,x)18，當(dāng)且僅當(dāng)y6，x12時(shí)等號(hào)成立.類型二利用基本不等式求有關(guān)參數(shù)范圍若關(guān)于x的不等式(1k2)xk44的解集是M，則對(duì)任意實(shí)常數(shù)k，總有()A.2M，0MB.2M，0MC.2M，0MD.2M，0M解法一：求出

9、不等式的解集：(1k2)xk44xeqf(k44,k21)(k21)eqf(5,k21)2xeqblcrc(avs4alco1(（k21）f(5,k21)2)eqsdo7(min)2eqr(5)2(當(dāng)且僅當(dāng)k2eqr(5)1時(shí)取等號(hào)).解法二(代入法)：將x2，x0分別代入不等式中，判斷關(guān)于k的不等式解集是否為R.故選A.點(diǎn)撥：一般地，對(duì)含參的不等式求范圍問(wèn)題通常采用分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，對(duì)于“恒成立”的不等式，一般的解題方法是先分離然后求函數(shù)的最值.另外，要記住幾個(gè)常見(jiàn)的有關(guān)不等式恒成立的等價(jià)命題：af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min；(3)af(x)

10、有解af(x)min；(4)af(x)有解af(x)max.已知函數(shù)f(x)exex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若關(guān)于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：由條件知m(exex1)ex1在(0，)上恒成立.令tex(x0)，則t1，且meq f(t1,t2t1)eq f(1,t1f(1,t1)1)對(duì)任意t1成立.t1eq f(1,t1)12eq r(（t1）f(1,t1)13，eq f(1,t1f(1,t1)1)eq f(1,3)，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即xln2時(shí)等號(hào)成立.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,3).類型三利用基本不等式

11、解決實(shí)際問(wèn)題圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x(單位：元)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位：元).(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用.解：(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am，則y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得aeq f(360,x)，所以y225xeq f(3602,x)360(x

12、2).(2)x0，225xeq f(3602,x)2eq r(2253602)10800，y225xeq f(3602,x)36010440，當(dāng)且僅當(dāng)225xeq f(3602,x)，即x24時(shí)等號(hào)成立.答：當(dāng)x24 m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬2 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔排出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為am，高度為bm，已知排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60 m2，問(wèn)a，b各為多少m時(shí)，經(jīng)沉淀后排出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A，B孔面積忽略不計(jì)).解法一：設(shè)y為排出的

13、水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，根據(jù)題意可知：yeq f(k,ab)，其中k是比例系數(shù)且k0.依題意要使y最小，只需ab最大.由題設(shè)得：4b2ab2a60(a0，b0)，即a2b30ab(a0，b0).a2b2eq r(2ab)，2eq r(2)eq r(ab)ab30，得0eq r(ab)3eq r(2).當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取“”號(hào)，ab最大值為18，此時(shí)得a6，b3.故當(dāng)a6 m，b3 m時(shí)經(jīng)沉淀后排出的水中雜質(zhì)最少.解法二：同解法一得beq f(30a,a2)，代入yeq f(k,ab)求解.1.若a1，則aeqf(1,a1)的最小值是()A.2 B.aC.3 D.eqf(2r(a),a1)解：a1，

14、aeqf(1,a1)a1eqf(1,a1)12eqr(（a1）f(1,a1)1213，當(dāng)a2時(shí)等號(hào)成立.故選C.2.設(shè)a，bR，ab，且ab2，則下列各式正確的是()A.ab1eq f(a2b2,2)B.ab1eq f(a2b2,2)C.1abeq f(a2b2,2) D.abeq f(a2b2,2)1解：運(yùn)用不等式abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2ab1以及(ab)22(a2b2)2a2b2(由于ab，所以不能取等號(hào))得，ab1eq f(a2b2,2)，故選A.3.函數(shù)f(x)eqf(54xx2,2x)在(，2)上的最小值是()A.0 B.1 C.2 D.3解：當(dāng)

15、x2時(shí)，2x0，因此f(x)eqf(1（44xx2）,2x)eqf(1,2x)(2x)2eqr(f(1,2x)（2x）)2，當(dāng)且僅當(dāng)eqf(1,2x)2x時(shí)上式取等號(hào).而此方程有解x1(，2)，因此f(x)在(，2)上的最小值為2，故選C.4.(eqavs4al(2014福建)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是()A.80元 B.120元C.160元 D.240元解：假設(shè)底面的長(zhǎng)、寬分別為xm，eqf(4,x) m，由條件知該容器的最低總造價(jià)為y8020 xeqf(80,x)160，當(dāng)且僅

16、當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)x2時(shí)，總造價(jià)最低，且為160元.故選C.5.下列不等式中正確的是()A.若a，bR，則eq f(b,a)eq f(a,b)2eq r(f(b,a)f(a,b)2B.若x，y都是正數(shù)，則lgxlgy2eq r(lgxlgy)C.若x0，則xeq f(4,x)2eq r(xf(4,x)4D.若x0，則2x2x2eq r(2x2x)2解：對(duì)于A，a與b可能異號(hào)，A錯(cuò)；對(duì)于B，lgx與lgy可能是負(fù)數(shù)，B錯(cuò)；對(duì)于C，應(yīng)是xeq f(4,x)eq blcrc(avs4alco1(（x）f(4,x)2eq r(（x）f(4,x)4，C錯(cuò)；對(duì)于D，若x0，則2x2x2eq r(2x2x)2成立(

17、x0時(shí)取等號(hào)).故選D.6.(eqavs4al(2014重慶)若log4(3a4b)log2eqr(ab)，則ab的最小值是()A.62eqr(3)B.72eqr(3)C.64eqr(3)D.74eqr(3)解：因?yàn)閘og4(3a4b)log2eqr(ab)，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，且eqblc(avs4alco1(3a4b0，,ab0，)即a0，b0，所以eqf(4,a)eqf(3,b)1(a0，b0)，ab(ab)eqblc(rc)(avs4alco1(f(4,a)f(3,b)7eqf(4b,a)eqf(3a,b)72eqr(f(4b,a)f(3a,b)7

18、4eqr(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eqf(4b,a)eqf(3a,b)時(shí)取等號(hào).故選D.7.若對(duì)任意x0，eqf(x,x23x1)a恒成立，則a的取值范圍是.解：因?yàn)閤0，所以xeqf(1,x)2(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))，所以有eqf(x,x23x1)eqf(1,xf(1,x)3)eqf(1,23)eqf(1,5)，即eqf(x,x23x1)的最大值為eqf(1,5)，故填aeqf(1,5).8.(eqavs4al(2014四川)設(shè)mR，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|PB|的最大值是_.解：易知定點(diǎn)A(0，0)，B(1，3).且無(wú)論m取何值，兩直線垂

19、直.所以無(wú)論P(yáng)與A，B重合與否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P在以AB為直徑的圓上).所以|PA|PB|eq f(1,2)(|PA|2|PB|2)5.當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|eq r(5)時(shí)，等號(hào)成立.故填5.9.(1)已知0 xeqf(4,3)，求x(43x)的最大值；(2)點(diǎn)(x，y)在直線x2y3上移動(dòng)，求2x4y的最小值.解：(1)已知0 xeqf(4,3)，03x4.x(43x)eqf(1,3)(3x)(43x)eqf(1,3)eqblc(rc)(avs4alco1(f(3x43x,2)eqsup12(2)eqf(4,3)，當(dāng)且僅當(dāng)3x43x，即xeqf(2,3)時(shí)“”成立

20、.當(dāng)xeqf(2,3)時(shí)，x(43x)取最大值為eqf(4,3).(2)已知點(diǎn)(x，y)在直線x2y3上移動(dòng)，所以x2y3.2x4y2eqr(2x4y)2eqr(2x2y)2eqr(23)4eqr(2).當(dāng)且僅當(dāng)eqblc(avs4alco1(2x4y，,x2y3，) 即xeqf(3,2)，yeqf(3,4)時(shí)“”成立.當(dāng)xeqf(3,2)，yeqf(3,4)時(shí)，2x4y取最小值為4eqr(2).10.已知a0，b0，且2ab1，求S2eqr(ab)4a2b2的最大值.解：a0，b0，2ab1，4a2b2(2ab)24ab14ab.且12ab2eqr(2ab)，即eqr(ab)eqf(r(2),4)，abeqf(1,8)，S2eqr(ab)4a2b22eqr(ab)(14ab)2eqr(ab)4ab1eqf(r(2)1,2).當(dāng)且僅當(dāng)aeqf(1,4)，beqf(1,2)時(shí)，等號(hào)成立.11.如圖，動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.(1)現(xiàn)有可圍36 m長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長(zhǎng)度最小？解：(1)設(shè)每間虎籠長(zhǎng)為xm，寬為ym，則由條件，知4x6y36，即2x3y18.設(shè)每