1、第一章 隨機(jī)事件與概率（三）1.6 全概公式與逆概公式一、全概公式二、逆概公式一、全概率公式例1 5個乒乓球，其中三個是新的, 兩個是舊的. 每次取一個, 無放回地取兩次. 求第二次取到新球的概率.解 記 第一次摸到新球 ,第二次摸到新球 ,則 特點 的發(fā)生受多種因素影響, 這些因素將 分成幾個部分, 每個部分的概率可由乘法公式計算得到, 各因素綜 合就得到 的概率. 公式具有普遍性.定義 設(shè)事件組 滿足下列兩個條件:事件組兩兩互不相容;則稱事件組是樣本空間的一個劃分（或稱構(gòu)成一個完備事件組）.全概公式設(shè)事件 構(gòu)成一個完備事件組, 且都具有正概率, 則對任何一個事件 , 有 例2 設(shè)有一倉庫內(nèi)

2、有10箱同類規(guī)格的產(chǎn)品. 其中有5箱、3箱及2箱產(chǎn)品依次是甲廠、乙廠和丙廠生產(chǎn)的. 且甲乙丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率分別是現(xiàn)從中任取一箱, 再從中任取一件產(chǎn)品, 求取得正品的概率.解 以 分別表示取到的是甲廠、乙廠或丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品, 表示取到的是合格品, 則事件組 構(gòu)成一個完備事件組. 且又所以, 由全概公式得例3 有朋自遠(yuǎn)方來, 他乘坐火車、輪船、汽車或飛機(jī)的概率分別為0.3, 0.2, 0.1和0.4. 而坐火車遲到的概率為0.25, 坐船為0.3,坐汽車為 0.1, 坐飛機(jī)則不會遲到.問 此人最終可能遲到的概率是多少?解 以 表示此人分別坐火車、輪船、汽或飛機(jī)到達(dá), 則再以 表示此人最終遲

3、到, 則由全概公式得:例4 在例2中, 若取到的是正品, 問：它是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少?所求即為例5 在例3中, 若這個人最后遲到了, 問：他是坐輪船來的概率是多少?所求即為二、逆概公式 如果隨機(jī)事件 構(gòu)成完備事件組, 且都有正概率, 則對任何一個事件有例6 某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的不合格率為 , 但是沒有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)行檢驗. 有人聲稱發(fā)明了一種儀器可以用來檢驗, 誤判的概率僅為5%, 試問, 廠長能否采用他發(fā)明的儀器.解 以 表示經(jīng)檢驗為次品, 表示實際上是正品, 則 我們來求以下概率：我們還可以求 , 等, 但是顯然廠長最關(guān)心的是第一個事件的概率.例7 甲乙丙三人向同一飛機(jī)射擊, 他們擊中的概率

4、分別 為 . 若只有一人擊中, 飛機(jī)墜毀的概率是0.2; 若二人擊中, 則飛機(jī)墜毀的概率是0.6; 若三個人全擊中, 飛機(jī)必然墜毀. 求飛機(jī)墜毀的概率; 若飛機(jī)墜毀, 求在墜毀前被命中一彈的概率.解 以 表示3人中有 i人擊中敵機(jī), 再以 表示飛機(jī)墜毀事件, 則若飛機(jī)墜毀, 則墜毀前被命中一彈的概率為例8 一項血液化驗以0.95 的概率將病毒攜帶者的血清樣本檢測為陽性; 但也有0.01的概率將健康人的血清樣本檢測出陽性. 假設(shè)該種病毒攜帶率為0.005, 求已知一個個體在檢測出是陽性的條件下, 該個體確實帶有此病毒的概率.解 以 表示個體被檢測出陽性, 表示是攜帶者,則 因此所求概率為 解題關(guān)

5、鍵 尋找完備事件組.例9 求橋式系統(tǒng)的可靠度. 設(shè)一個系統(tǒng)由5個元件組成, 連接的方式如圖所示, 每個元件的可靠度為 且每個元件是否能正常工作是相 互獨立的, 試求這個橋式系統(tǒng)的可靠度. 31245解 以事件 表示元件5正常工作, 表示系統(tǒng)正常工作, 則 和 構(gòu)成樣本空間的一個劃分, 且當(dāng) 發(fā)生時, 整個系統(tǒng)可視為一個混聯(lián)系統(tǒng). 1相應(yīng)的可靠度為當(dāng) 不發(fā)生時, 系統(tǒng)可視為下圖所表示的混聯(lián)系統(tǒng):1相應(yīng)的概率為因此, 系統(tǒng)的可靠度為例10 從1,2,3,4中任取一個數(shù), 記為 , 再從正整數(shù) 1,中隨機(jī)取一個數(shù), 記為 , 求概率 .解 事件 是樣本空間的一個完備事件組, 且 例11 一男子在某城

6、市的一條街道遭到背后的襲擊和搶劫, 他斷言兇犯是黑人. 然而, 當(dāng)調(diào)查這一案件的警 察在可比較的光線條件下, 多次重新展現(xiàn)現(xiàn)場情況時,發(fā)現(xiàn)受害者正確識別襲擊者膚色的概率只有80%. 假定兇犯是本地人, 而在這個城市人口中, 90%是白人, 10%是黑人, 且假定白人和黑人的犯罪率相同.問: 在這位男子斷言兇犯是黑人的情況下, 襲擊他的兇犯確實是黑人的概率是多大?問: 同樣的斷言下, 襲擊者是白人的概率是多大?因此所求概率為解 以 表示男子斷言兇犯是黑人, 表示是白人, 則 一些統(tǒng)計學(xué)家和心理學(xué)家利用概率論的知識給出了一種調(diào)查方法, 被調(diào)查者只需要不記名地回答下列幾個問題, 而且只需回答“是”或

7、“否”.問題1: 你的生日是否為單數(shù)?問題2: 你是否接觸過不健康的文字或視頻等信息?被調(diào)查者在沒有外人的情況下, 從一個裝有黑球和白球的箱子中隨機(jī)抽取一球, 看過顏色后放回, 若抽出白球則回答問題 1, 若抽出黑球則回答問題 2. 例12 敏感問題調(diào)查 箱中黑球所占比例 是已知的, 由于調(diào)查者無法獲知被調(diào)查者回答的是哪個問題, 所以可以有效地消除被調(diào)查者的顧慮, 從而保證調(diào)查數(shù)據(jù)的真實可靠性. 假設(shè)在一次實際調(diào)查中, 箱子里有30個黑球和20個白球, 調(diào)查結(jié)束時收到1583份有效答卷, 其中389張回答“是”, 試估算中學(xué)生中接觸不健康信息的頻率是多少?解 以 表示回答的是“是”, 表示回答問題 i, 則即而 即為所求, 由全概公式例13 張亮上概率統(tǒng)計課, 在某周的時候, 他可能跟上課程也可能跟不上課程. 如果某周他跟上課程, 那么下周他繼續(xù)跟上課程的概率為0.9; 如果某周他沒有跟上課程, 那么他下周跟上課程的概率僅為0.3. 現(xiàn)在假定: 在第一周上課前, 他是跟上課程的