1、 PAGE 2022 年電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)期末考試試題及答案一、單項(xiàng)選擇題x 21-1 下列各函數(shù)對中，（ C x 2x 2D. x2 x 2f (1 2h) f (1)A.f (x) (x)2，g(x) xB.f (x) ，g(x) x3-1 f (xx=1處可導(dǎo)，則h0 （ D ）hC. f(x)lnx3，g(x)3lnxD.f(x) x1，g(x)x 2 1A.fB. f C. 2f D. 2 fx 1設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?,)，則函數(shù) f (x) f (x)的圖形關(guān)于（C）對稱f (xx 0可導(dǎo)，則f (x0 2h) f (x )0h（ D）A. 坐標(biāo)原點(diǎn)B.x軸C.y軸D.y x

2、f (x(,，則函數(shù) f (x f (x的圖形關(guān)于（D ）對稱Af (x0h0)B 2(x )0f (x )02(x )0y xB.x軸C.y軸D. 坐標(biāo)原點(diǎn)f (x)x0limf (x 2h) f (x002h （ D ）. e x ex2的圖形關(guān)于（ A ）對稱A. 2 f(x0h0)B.(x0)C. 2(x0) f (x )0(A) 坐標(biāo)原點(diǎn)(B)x軸(C)y軸(D)y x1-下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（ B ）設(shè) f (x) e x limx0f x) f x（ A ） eB. 2eC.1e1e2D.4y x2 )B.y xcosxx下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（A ）xy aax2D.y x)3-

3、2. 下列等式不成立的是（D ）A.exdx dexB sinxdxd(cosx)1dx d1D.ln xdx d()1xA.y x3 xB.y e x exC.y ln(x D.y x sinx1下列等式中正確的是（B ）A.d () arctanxdxB. d 2x1 ) dx2x下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ D）A y x) sinxBy x2xCy xcosxDy x 2)1 x 2xx22-1 下列極限存計(jì)算不正確的是（ D）C.d(2x ln2) 2x dxD.d(tanx) cotxdxf (x) x2 4x 1的單調(diào)增加區(qū)間是（ D ）x2lim1x2x x 2 2C.lim si

4、n x 0C.limln(1 x) 0 x0D.lim x sin 1 0D.A.( ,2)B.(1,C. (2,)D.(2 , )y x 2 4x 5 在區(qū)間(66內(nèi)滿足（A ）A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B. 單調(diào)下降C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降D. 單調(diào)上xxxx升當(dāng)x 0時(shí)，變量（ C）是無窮小量.函數(shù)y x2 x 6在區(qū)間（5，5）內(nèi)滿足（ A）sinx11x sinln(x 2)A 先單調(diào)下降再單調(diào)上升B 單調(diào)下降C 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D 單調(diào)上升xxxD.1sinx. 函數(shù)xy x 2 2x 6在區(qū)間(2, 內(nèi)滿足（D ）當(dāng)x 0時(shí)，變量（ C ）是無窮小量ABxxe1Dx2A.

5、先單調(diào)下降再單調(diào)上升B. 單調(diào)下降C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降D. 單調(diào)上11升11.x 時(shí)，變量（D）是無窮小量A1sinxxBxC2xln(x f (x，則f (x) （D） A. ln x B.xx21C.xD.下列變量中，是無窮小量的為（ B）sin 1 x 0lnx 1x 02e1 xx3AxBCx.若F(xf (x) 的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是（ A ）。1 x b F ( x)dx f (b) f (a)2 f(x) x,x 0，在x 0處連續(xù)，則k eAf ( x )dx F ( x ) F(a)BaaC f (x) F(x)D f ( x)dx F (b) F (a )

6、xk sin2xx 0a.函數(shù)f(x) xx 0在x 0處連續(xù)，則k 2f (x) cos x ，則f (x)dx （B）kx 0A. sin xcB. cos xcC. sin xcD. cosxc下列等式成立的是（D）x1,x 0函數(shù)y 的間斷點(diǎn)是x=0 f (x)dx f(x)B. df (x) f (x)dx,x 0 x2 2x 3y C. df (x)dx f(x) f (x)dx f (x)dx函數(shù)x31的間斷點(diǎn)是x=3。d1函數(shù)y 的間斷點(diǎn)是x=0 x2 f(x3)dx（B） A.dx1f (x3 )x2 f (x3)3f(x)D.1 exxx 23-曲線 f (xxx 21在

7、2)處的切線斜率是1/2 f (x3 ) 3曲線 f (x) 在(2處的切線斜率是1/4d xf (x 2 )dx1dx1（ D ）Axf (x2 )1 f (x)dx21 f (x) 2xf (x2 )dx曲線.f (x) ex 1在（0，2）處的切線斜率是1f (x) x3 1在 2)處的切線斜率是3x-3 若 f (x)dx F(x c xf (x )dx （ B）曲線f(x) sinx在(2,處的切線方程是y = 1切線斜率是0 x1F(x )cB. 2F(x )cC.F(2x )cD.x1F(x) 曲線y =sinx 在點(diǎn) (0,0)處的切線方程為y = x切線斜率是14.函數(shù)y x

8、2)的單調(diào)減少區(qū)間是 （，0 ）補(bǔ)充：ef (ex )dx F(ex ),無窮積分收斂的是 1 dx函數(shù)f(x) e的單調(diào)增加區(qū)間是（0，+）1x2.y (x1的單調(diào)減少區(qū)間是（，1 ）函數(shù) f (x) 10 x x 2 910 x 的圖形關(guān)于 y 軸對稱。.函數(shù) f (x) x 2y e x21的單調(diào)增加區(qū)間是（0，+）函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是（0，+）函數(shù) f x ) xx ln(1 x)的定義域是（3，+）4 4 xd e ex2dxd. dxsinx2dx sin x2y ln(x 2) 的定義域是（2，3） （3，4 (tantanx+C2 x函數(shù) f (x) ln(x12 x的定義域是

9、（5，2）若f(x)dxsin3xc，則f(x)9sin3xx2 1,x 05-23 (sin5 x1)dx3 1xdx 0d eln(x)dx 若函數(shù)f(x) ，則f(0)1321 x 2 1dx 12x,x 00下列積分計(jì)算正確的是（ B ）A1 (ex ex x 0B 1 (ex ex x 0C 1x2x 0Dlimx 2 3x 2lim x 2 3x 2 lim(x 2)(x limx 1 11 | xx 01x2x 2 4解x21x 2x 2 4x2(x 2)(x 2)x2x 24三、計(jì)算題（一）、計(jì)算極限（111）利用極限的四則運(yùn)算法則，主要是因式分解，消去零因子。其他：limx0

10、11 x 21 lim 2x0 sin0，limx0 lim sin 2sin xx 1 1sin xx 1 120lim sin x 10lim sin x 1xx00，lim sin kx k ， lim tan kx kx0 xx0 xx0 xf (x) f (x )lim x 2 6x 5 lim x 2 1，lim2x 2 6x lim 2x 2 2x x2 4x x x2x 3x 2 4x 5x 3x23類型 1： 利用重要極限計(jì)算tan8xtan8xtan 8 x6（0807 考題）計(jì)算lim6lim=limx. 8 2sin 6xsin 6 xx0 sin 4xx0 sin4x

11、x 0 sin 4x4xxx0求limsin5xx0解：lim sin 6xx 0 sin 5x limx 0sin 5 x 5lim sin xlim sin xx 1 lim sin x 1tanxtanxxtanx11（0801 考題. ）計(jì)算x02xx02x2 x0 x23x求 lim3xx0解：limx03xlim3 x0 x1 33（0707 考題.）lim x 2 2x 3sin( xlim(x 1).(x sin(x 1 (1 3) 4tan3xtan3xtan3xx1x1求lim 解：lim=lim.3133（二） 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分（111）limsin(xlimsin(x

12、a) 1，x a1xa(x a)limxa sin(x a)x0 x03x（1）利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(uv)uv(uv) uv uv類型 2： 因式分解并利用重要極限化簡計(jì)算。（2）利用導(dǎo)數(shù)基本公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式1x 2 1(ln x) (xa ) axa 1求limx1sin( x解：x(e x ) ex(eu ) eu .ulimx 2 1lim(x .(x 1(1 2(sin x) cosxx1x1(ex2 )ex1x1(ex2 )ex2 .(x2) 2xex2(esin x ) esin x .(sin x) esin x cos x (ecos x ) ecos x .(cos

13、 x) ecos x sinxsin1sin(x sin( x111(cos sin xlimx1x2 1解： limx1x 2 1 limx1(x .(x 11 1 2(tan x) sec2 x(cot x) csc2 x(sin u) cos u.u(sinx2)cosx2.(x(sin u) cos u.u(sinx2)cosx2.(x2) 2xcosx2(sin ex ) cos ex .(e x ) ex cos e x(cosu) sin u.u(cosx2) sinx2(x2) 2xsinx2(cos e) sin e x .(e x ) ex sin exlim limsin

14、(x lim(x 1) 2sin(x x3x3x3類型 3：因式分解并消去零因子，再計(jì)算極限x 2 6x 82x解 ： limx 6x = (x 4)(x 2) limx 2 2x4 x 2 5x 4x4 x 2 5x 4x4 (x 4)(x x4 x 13lim x2 x6 lim x2 x x 3x 2x25 lim lim類型 1： 加減法與乘法混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先加減求導(dǎo)，后乘法求導(dǎo)；括號求導(dǎo)最后計(jì)算 。 1-1y (xx x3 x2 x 12x3 x2 x12x3x x x3 x47 3 333313yx2 3 ex x2 3 exx2ex2x2 3ex 2 x2 x2 3ex1-2解

15、y cot x x 2 ln xsin 1：xsin 1x 11 cos 1 cy (cot x)(x2 lnx) cscx (x2 )lnx x2 (lnx) cscx 2x ln x x0707.計(jì)算d解：x2x2x11xsind()xxx1-3設(shè) y etanx lnx y e x d e x d 111 e10701 計(jì)算解：11x解：xx2x2ex d( )xc 1 1 xdx 2dxxy(ex tanx)(lnx)(ex )tanxex (tanx) ex tan x ex sec2 x xxxxxx湊微分類型 2：1類型 2： 加減法與復(fù)合函數(shù)混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先加減求導(dǎo)，后復(fù)合求

16、導(dǎo)1y sinx2 lnx，求y解：y(sinx2)(lnx) 2xcosx2 x.計(jì)算cosdxcosdx 2cosxdxxxx 2sincxxxxxycosex sinx2，求x解：0807.計(jì)算sindxsindx 2sinxd 2coscy (cosex )(sin x2 ) sinex.(ex )cosx2.(x2 ) ex sinex52xcosx2xx0801.計(jì)算xx e x dxdx 2 e x dx x cy lnx e5x ，求，解：y (ln5x).(e5x )ln4 x5e5x乘積與復(fù)合函數(shù)混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先乘積求導(dǎo)，后復(fù)合求導(dǎo)x乘積與復(fù)合函數(shù)混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先乘積求

17、導(dǎo)，后復(fù)合求導(dǎo) 1x 1 d (ln)x3：x湊微分類型3：xxdx，xd axxy excosxy 。 y(ex2)cosxex2 (cosx) 2xex2cos xcosxexsin x計(jì)算1dxxlnx 1dx xlnx d ln xln x1 du ln | ln x | cuy 2y。xe 2lnxx.計(jì)算解：解：1x e cosx(cosx).xcos e y (2 x )() 2 x ln 2 2x ln 2 xsinxcosxe 2lnxx e(2lnx)d(2lnx) 1(2lnx)2 55分部積分法xx2x5分部積分法1x1220807.設(shè)y esin x sinx2，求y

18、解：1y (esin x ) (sin x 2 ) esin x cos x 2x cos x 20801.設(shè)y xex2 ，求y解：y(x)ex x(ex2 )ex2x2ex2類型1：xa ln xdx1alnxdxa11axlnxa11ax dx axa1a1lnxxa ln xdx1alnxdxa11axlnxa11ax dx axa1a1lnx1xca110701.設(shè)y lnx cosex ，求解：y(lnx)sinex.(ex )ex sinexx e xlnxdxa 1x ln xdx 1ln xdx211x 2lnxx2c湊微分類型 1： 1 dx 湊微分類型 1： 1 dx d

19、 ( x2x計(jì)算解：，1224e1ex2x2e1 e211 2 1ln xdx2 (2ln x )414cosxcosx111elnx (xlnxx)e (ee)(0) 1xxx計(jì)算dx解：xxxx 2dx cos d ( ) sincx2xxx11計(jì)算e lnxx計(jì)算a ，lnxdx lnxd(1 1 ln x 1 c xcosxdx22 2 xd sin x ( x sin x cos x) 11x2x2e lnxxxx20002000e1lnx1 e 2dx lnxd() ()111111x21xxx 1exsinx cos2xcos2xdxxcos2xsin2xcxe lnxdxxa

20、1 ln xdx 2ln 2ln x4c2224xxxx2計(jì)算解：，xxxx21xsin2xdx1112 2 xd cos 2 x (x cos 2x sin 2x) 0 e lnxdx2200202444=1xcos2xdx 1xsin2x1 sin2xdx 1cos2x| 1xxe2elnxdxxe (2eln x4x) 242220202 0240210807 exlnxdx 2 e lnxd x12 ( 2 x 2ln x 43e23ex42 )2 ex4四、應(yīng)用題（116）l類型 1： 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為 l，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？l2131

21、32xdxdx 1 e lnxdx (1 x ln x 1 x ) e 2333313919 xeax dx 1 xd (eax ) 1 xeax 1 eax caaa21 1xde 2 x (1 xe2x 1e2x )1 1e2 1202404491991h r 滿足 h2 r 2 l 2圓柱體的體積公式為 V r 2 h ( l 2 h 2 )h07071x 2 lne3 9求導(dǎo)并令V (l2 3h2 ) 021h l，并由此解出r l3633366363 xe 2 x dx 0111r l h 3l 時(shí)，圓柱體的體積最大3 xe x dx 0 xde x (xe x e x )101 2

22、e1 1類型 2：已知體積或容積，求表面積最小時(shí)的尺寸。2-1（0801 考題） 某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為 V的有蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為1xe2 x dx 1 1x 2 x (xe21131e2x ) e2 多少時(shí)用料最省 ？020240441rh ，則其容積V .r2h V.r 2（0801 考題） 1 0 x dx 1xde x (xex ex ) 1002V表面積為S 2r2 2rh2r2 r3：xsinaxdx 1xcosax 1 cosaxdx 1xcosax 1 sinaxc3V233V23S 4 r ， 由S 0 得r ，此時(shí)h2r。 x cos axdx 1 x

23、sin axa1 sin axdx a1 x sin axa1 cos ax c a 2r 2r Vh 2r由實(shí)際問題可知，當(dāng)?shù)装霃? 2 與 高時(shí)可使用料最省。 2 xsinxdx 2 xd cos x (x cos x sin x) 2 1 0 1000一體積為 V 的圓柱體，問底半徑與高各為多少時(shí)表面積最小 ？ 解： 本題的解法和結(jié)果與 2-1 完全相同。生產(chǎn)一種體積為 V的無蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省 ？解 ： 設(shè) 容 器 的 底 半 徑 為 r ， 高為 h， 則 無 蓋 圓 柱 形 容 器 表 面 積 為S r2 2rh rV2V， 令rS 2 r 0r2解 ：曲 線 y x2上 的 點(diǎn) 到 點(diǎn) A （ 0 ， 2 ） 的 距 離 公 式 為x2 (y x2 (y 2)2y (y 2)2，r 3 , h r，d 與 d 2 在同一點(diǎn)取到最大