1、 E(XYxyf(x,y)dxdy=J1dxf1xy-8xydy=f1-x2G-x3h=,ss0 x03利用協(xié)方差的計算公式，有Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(y)=4-15x4=例4-13設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為()3x0yx0,D(Y)0，則稱Cov(X,Y)XYD(X為隨機變量X與Y的相關系數(shù)(correlationcoefficent)。形式上可以把相關系數(shù)視為“標準尺度下的協(xié)方差”。協(xié)方差作為X-E(X)_Y-E(Y)_的均值，依賴于X,Y的度量單位，選擇適當單位使X,Y的方差都為1，則協(xié)方差就是相關系數(shù)。這樣就能更好地反映X，Y之間的關系，不受所用單位的影

2、響。例4-14設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為()8xy0 xy1f(X，y)=|0其他求PXY解根據(jù)例2可知，E(X)_8，E(Y)_4，Cov(X,Y)_-4-丄JJ厶厶Q再計算EG2)_f*f*x2-f(x,y)dxdy_J1dxf1x2-8xydy_，a-*0 x3E(Y2)_f*f*y2-f(x,y)dxdy_f1dxf1y2-8xydy_,-*-*0 x3D(X)D(X)=E(X2)-E2(X)=1-1(8丫3-l15丿D(y)_E(Y2)-E2(y)_-f475XYCov(XXYCov(X,Y)225_2殛IT:丁33225；75相關系數(shù)的性質定理4-4設二維隨機變量(X

3、,Y)的兩個分量X與Y的相關系數(shù)為P，則有XYp1XY|P輕|=1的充要條件是存在常數(shù)a(a豐0)與b，使得P(Y=aX+b)=1.證明(1)由協(xié)方差的性質柯西-施瓦茨不等式|Cov(X,Y)，:D(X.D(Y),得.Cov(X,Y)1|pxY=a(xi(y).(2)在柯西-施瓦茨不等式的證明過程中，注意到|P|=1的充分必要條件是不等式|XY|Cov(X,Y)|*D(X)JD(Y)的等號成立。又|Cov(X,Y)|=；D(X)QD(Y丿成立的充分必要條件是f(t)=0只有一個二重根(不妨用a表示)，即|p|=1的充分必要條件是1XYD(Y-aX)=0，亦即P(y=aX+b)=1.關于定理有幾

4、點需注意：當P=0，稱X，Y“不相關”若X，Y獨立，則它們不相關，但反之不然，XY即由P=0不一定有X、Y獨立。(如例4-1)XY相關系數(shù)也常稱為“線性相關系數(shù)”這是因為，實際上相關系數(shù)并不是刻畫了X，Y之間“一般”相關關系的程度，而只是“線性”相關關系的程度。這種說法的根據(jù)之一就在于，當且僅當X，Y有嚴格的線性關系時，才有|p|達到最大值1。XY即使X與Y有某種嚴格的函數(shù)關系但非線性關系，|pI不僅不必為1,還可以為1XY0。如果0|P|1，則稱X與Y有“一定程度”的線性相關關系而非嚴格的線性相XY關關系。卜輕|越接近于1,則線性相關程度越高；卜輕|越接近于0,則線性相關程度越低。而協(xié)方差則

5、看不出這一點?？傊?，相關系數(shù)在某種意義上度量了兩個隨機變量X與Y之間的線性關系的程度，隨著p|從0增加到1,這種線性關系的程度越來越高。XY例4-15設隨機變量X與Y獨立同服從參數(shù)為九的泊松分布，令U二2X+Y，V二2X-Y。求U和V的協(xié)方差及相關系數(shù)。解因為D（U）=D（2X+Y）=5九，D（V）=D（2XY）=5九所以Cov（U,V）=Cov（2X+Y,2XY）=Cov（2X,2X）+Cov（Y,2X）Cov（2X,Y）Cov（Y,Y）=4Cov（X,X）Cov（Y,Y）=4D（X）D（Y）=3由此得Cov(X,Y)3九3p=XY、D(XD(Y)5九5例4-16已知二維隨機變量（X,Y）的

6、聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)=8一,0 xy0.5,0 x,y130,其他求X和Y的協(xié)方差及相關系數(shù)。解先計算兩個邊際密度函數(shù)，再分別計算E（X）、E（X2）、E（Y）、E（Y2）、Var(X)、Var(Y)及E(XY)。最后得協(xié)方差和相關系數(shù)為Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0.0471p=C：v、=0.8243XY：D(X人D(Y丿4.4隨機變量的矩和n維隨機向量一、隨機變量的原點矩和中心矩矩是隨機變量的重要數(shù)字特征之一，數(shù)學期望和方差都是矩的特例，即矩是數(shù)學期望和方差的自然補充。在數(shù)理統(tǒng)計中，將會看到矩的重要應用，下面給出矩的概念。定義4-6設X為隨機變量，c為常數(shù)，k為正整

7、數(shù)。則稱E(X-c)k為X關于c點的k階矩。比較重要的有兩種情況：當c=0時，a=E(Xk)稱為X的k階原點矩。k當c=E(X)時，b=E(X-E(X)稱為X的k階中心矩。kL顯然，一階原點矩就是數(shù)學期望。一階中心矩b=0，二階中心矩b就是X的方差12D(X)。*二、n維隨機向量的概念定義4-7設(x,X，,X)為一n維向量，其每個分量X,X，,X都是一維隨機TOC o 1-5 h z12n12n變量，則稱(x,X，,X)是一個n維隨機向量或n維隨機變量。12n與一維隨機變量一樣，n維隨機變量也分為離散型和連續(xù)型。如果每一個分量X都是i一維離散型隨機變量，則稱(X,X，,X)是離散的。如果(X

8、,X，,X)的取值可以視12n12n為n維歐式空間Rn中的一個點，且(X,X，,X)的全部取值能充滿Rn中的某一區(qū)域，12n則稱它是連續(xù)的。定義4-8設n維隨機向量(X,X，,X)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,x,x)，而X12n12ni的(邊緣)密度函數(shù)為f(x)，(i=1,2，,n)。如果iif(x,x,x)=f(x)f(x)f(x)12n1122nn就稱隨機變量X,X，,X相互獨立。12n*三、n維隨機向量的協(xié)方差矩陣F面介紹n維隨機向量的協(xié)方差矩陣，先從二維隨機向量介紹。二維隨機向量(XX2有四個二階中心矩(設它們都存在)，分別記為c=EX-E(Xy1111(X)-X-E(X?)-X-E(X

9、(X)-X-E(X?)-X-E(X)X-E(X)-2211c=EX-E12c=E2122c=EX-E(X)-22222將它們排成矩陣的形式：廠cc21稱該矩陣為隨機向量(X,X)的協(xié)方差矩陣。12設n維隨機向量(X,X，,X)的協(xié)方差12n(X,Y)=EXijic、12C丿22c=Covij都存在，則稱-E(X)-X-E(Xj-i,j=12，nC11c21c12c22c、Inc2nIcn1cn2c丿nn為n維隨機向量(片亠，,Xn)的協(xié)方差矩陣。由于cj=C豐j，i，j=I,n)，故上述協(xié)方差矩陣為對稱矩陣。例4-17設二維隨機向量(X,Y)N(卩,Q2,Q2,p)，求X與Y協(xié)方差矩陣。121

10、2解因為c=D(X)=Q2,c=D(Y)=c2111222c=c=Cov(X,Y)=pcc122112所以X與Y協(xié)方差矩陣、C=ccc2pcc1112=112(c21c丿22(Pcc12c2丿2習題四(A)1、r個人在樓的底層進入電梯，樓上有n層，每個乘客在任一層下電梯的概率相同。如果某一層無乘客下電梯，電梯就不停車，求直到乘客都下完時電梯停車次數(shù)X的數(shù)學期望。2、設隨機變量X的分布律為X1.601.651.701.751.771.80111331P545202020求D(X)3、一卡車裝運水泥，設每袋水泥的重量為X，且設X服從正態(tài)分布，其數(shù)學期望為50kg,均方差為2.5kg，若一卡車裝水泥

11、100袋，求這車水泥的總重量Y的方差。求這車水泥的總重量Y超過500kg的概率。4、已知連續(xù)型隨機變量X4、已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)二求隨機變量X的數(shù)學期望和方差。(1997)2ke-25、已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，即PX=K=,k=0，1，2,，k!求隨機變量Z=3X2的數(shù)學期望E(Z)。(1999)6、設X，Y是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布N(0,2)的隨機變量，求隨機變量|X-Y|的數(shù)學期望。(1996)7、設二維隨機變量(X,Y)在區(qū)域D：0 x1,|y|x內服從均勻分布，求關于X的邊緣概率密度及隨機變量Z=2X+1的方差D(Z)。(1990)8、設兩

12、個隨機變量X和Y相互獨立，且都服從均值為0,方差為2的正態(tài)分布，求隨機變量|X-Y|的方差。(1998)9、假設一臺機器在一天內發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周5個工作日里無故障，可獲利10萬元，發(fā)生一次故障仍可獲利5萬元，發(fā)生二次故障獲利0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元，求一周內期望利潤是多少？（1996）10、一臺設備由三大部件構成，在設備運行中需要調整的概率相應為0.1，0.2，0.3.假設各部件狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需調整部件數(shù)，試求X的概率分布，數(shù)學期望和方差。1992)設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為11f(x,y)=,x2+y21f(x

13、,y)=0,其他試驗證X與Y是不相關的，但X與Y不是相互獨立的。12.設二維隨機變量（X,y）的分布律為7-Y-101-i1/81/81/801/801/811/81/81/8試驗證X與Y是不相關的，但X與Y不是相互獨立的。13.已知（X，Y）的聯(lián)合分布律為X/Y-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8試求（1）E（X），E（Y），D（X），D（Y）；（2）Cov（X,y），pxy；（3）判斷X與Y是否相關？是否獨立？14.設二維隨機變量（X,Y）具有概率密度yx,0 x1其他求E（X），E（Y）,Cov（X,Y）。15.設二維隨機變量(X,Y)具有概率密度1f(%y

14、)_8(X+y)，0Ux2,0y2,o,其他求E(X),E(Y),Cov(X,Y),p,D(X+Y)。XY16.已知D(X)=25,D(Y)=36,p二0.4，求D(X+Y)和D(XY)。XY17.設(X,17.設(X,y)的概率密度為f(x，y)=8xy,0,0 x1,0yx,其他，求E(X)，E(Y)Cov(X,Y)，p.XY18.(2004)設A和B是兩個隨機事件，且P(A)=4，P(BA)=3,P(A|B)=2，令隨機變量f1,若A發(fā)生f1,若B發(fā)生0,若A不發(fā)生，0,若B不發(fā)生求：(1)二維隨機變量X,Y的聯(lián)合概率分布；(2)X與Y的相關系數(shù)p；XY(3)Z二X2+Y2的概率分布。(B)(2003)對于任意事件A和B，0P(A)1,0P(B)1,P(AB)P(A)P(B)XYV；P(A)P(b)P(a)p(B)稱為事件A和B的相關系數(shù)。證明：事件A和B獨立充分必要條件是其相關系數(shù)等于零。利用隨機變量相關系數(shù)的基本性質，證明|p|1。XY(2010)箱中有6個球，其中紅、白、黑球的個數(shù)分別為1,2,3.現(xiàn)從該箱