1、第九章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合在第一章至第七章中，我們曾詳細(xì)講解了經(jīng)典線性系統(tǒng)理論以及用其設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的方法?？梢钥吹?，經(jīng)典線性理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是拉普拉斯變換和z變換，系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)模型是線性定常高階微分方程、線性常系數(shù)差分方程、傳遞函數(shù)和脈沖傳遞函數(shù)，主要的分析和綜合方法是時(shí)域法、根軌跡法和頻域法，分析的主要內(nèi)容是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。經(jīng)典線性系統(tǒng)理論對(duì)于單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和綜合是比較有效的，但其顯著的缺點(diǎn)是只能揭示輸入-輸出間的外部特性，難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特性，也難以有效處理多輸入-多輸出系統(tǒng)。在50年代蓬勃興起的航天技術(shù)的推動(dòng)下，在1960年前后開始了從經(jīng)典控制理論到現(xiàn)

2、代控制理論的過渡，其中一個(gè)重要標(biāo)志就是卡爾曼系統(tǒng)地將狀態(tài)空間概念引入到控制理論中來?，F(xiàn)代控制理論正是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在現(xiàn)代控制理論的發(fā)展中，線性系統(tǒng)理論首先得到研究和發(fā)展，已形成較為完整成熟的理論?，F(xiàn)代控制理論中的許多分支，如最優(yōu)控制、最優(yōu)估計(jì)與濾波、系統(tǒng)辨識(shí)、隨機(jī)控制、自適應(yīng)控制等，均以線性系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)；非線性系統(tǒng)理論、大系統(tǒng)理論等，也都不同程度地受到了線性系統(tǒng)理論的概念、方法和結(jié)果的影響和推動(dòng)?，F(xiàn)代控制理論中的線性系統(tǒng)理論運(yùn)用狀態(tài)空間法描述輸入-狀態(tài)-輸出諸變量間的因果關(guān)系，不但反映了系統(tǒng)的輸入輸出外部特性，而且揭示了系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特性，是一種既適用于單輸入-

3、單輸出系統(tǒng)又適用于多輸入多輸出系統(tǒng)，既可用于線性定常系統(tǒng)又可用于線性時(shí)變系統(tǒng)的有效分析和綜合方法。在線性系統(tǒng)理論中，根據(jù)所采用的數(shù)學(xué)工具及系統(tǒng)描述方法的不同，又出現(xiàn)了一些平行的分支，目前主要有線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法、線性系統(tǒng)的幾何理論、線性系統(tǒng)的代數(shù)理論、線性系統(tǒng)的多變量頻域方法等。由于狀態(tài)空間法是線性系統(tǒng)理論中最重要和影響最廣的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介紹線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法。9-1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1. 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本類型這里所謂的系統(tǒng)是指由一些相互制約的部分構(gòu)成的整體，它可能是一個(gè)由反饋閉合的整體，也可能是某一控制裝置或受控對(duì)象。本章中所研究的系統(tǒng)均假定具有若干輸入端

4、和輸出端，如圖9-1所示。圖中方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境，環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的作用為系統(tǒng)輸入，系統(tǒng)對(duì)環(huán)境的作用為系統(tǒng)輸出；二者分別用向量和表示，它們均為系統(tǒng)的外部變量。描述系統(tǒng)內(nèi)部每個(gè)時(shí)刻所處狀況的變量為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，以向量表示。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述是反映系統(tǒng)變量間因果關(guān)系和變換關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述通常由兩種基本類型。一種是系統(tǒng)的外部描述，即輸入-輸出描述。這種描述將系統(tǒng)看成為一個(gè)“黑箱”，只是反映系統(tǒng)外部變量間即輸入-輸出間的因果關(guān)系，而不去表征系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量。如第一章至第六章所研究的單輸入-單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其外部數(shù)學(xué)描述就是一個(gè)n階微分方程及對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)描述的另一

5、種類型是內(nèi)部描述，即狀態(tài)空間描述。這種描述是基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析的一類數(shù)學(xué)模型，通常由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程組成。一個(gè)是反映系統(tǒng)內(nèi)部變量和輸入變量間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，常具有微分方程或差分方程的形式，稱為狀態(tài)方程。另一個(gè)是表征系統(tǒng)內(nèi)部變量，及輸入變量 和輸出變量間轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，具有代數(shù)方程的形式，稱為輸出方程。在以后的研究中可以看到，外部描述僅描述系統(tǒng)的外部特性，不能反映系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性，而具有完全不同內(nèi)部結(jié)構(gòu)的兩個(gè)系統(tǒng)也可能具有相同的外部特性，因而外部描述通常只是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全的描述。內(nèi)部描述則是對(duì)系統(tǒng)的一種完全的描述，它能完全表征系統(tǒng)的所有動(dòng)力學(xué)特征。僅當(dāng)在系統(tǒng)具有一定屬性的條件下，

6、兩種描述才具有等價(jià)關(guān)系。2. 系統(tǒng)描述中常用的基本概念無論是系統(tǒng)的外部描述還是系統(tǒng)的內(nèi)部描述，下列的一些概念是常用的，現(xiàn)給出其定義，以便讀者在學(xué)習(xí)本章和閱讀國內(nèi)外有關(guān)文獻(xiàn)時(shí)更清楚地理解系統(tǒng)的性質(zhì)和分類。輸入和輸出 由外部施加到系統(tǒng)上的全部激勵(lì)稱為輸入，能從外部量測到的來自系統(tǒng)的信息稱為輸出。松弛性 若系統(tǒng)的輸出yt0,由輸入ut0,唯一確定，則稱系統(tǒng)在t0對(duì)于一個(gè)松弛系統(tǒng)，其輸入輸出描述為 (9-1)式中H為某一算子，例如傳遞函數(shù)就是一種算子。因果性 若系統(tǒng)在t時(shí)他刻的輸出僅取決于在t時(shí)刻和t之前的輸入，而與t時(shí)刻之后的輸入無關(guān)，則稱系統(tǒng)具有因果性或因果關(guān)系(Causal)。本書中所研究的實(shí)際

7、物理系統(tǒng)均具有因果性，并稱為因果系統(tǒng)。若系統(tǒng)在t時(shí)刻的輸出尚與t時(shí)刻之后的輸入有關(guān)，則稱系統(tǒng)不具有因果性。不具有因果性的系統(tǒng)能夠預(yù)測t時(shí)刻之后的輸入并施加于系統(tǒng)而影響其輸出。線性 一個(gè)松弛系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何輸入u1和u2。以及任何實(shí)數(shù) (9-2) (9-3)則該系統(tǒng)稱為線性的，否則稱為非線性的。式(9-2)稱為可加性，式(9-3)稱為齊次性。若松弛系統(tǒng)具有這兩種特性，則稱該系統(tǒng)滿足疊加原理。時(shí)不變性（定常性） 一個(gè)松弛系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任何輸入u和任何實(shí)數(shù)，均有 (94)則該系統(tǒng)稱為時(shí)不變的或定常的，否則稱為時(shí)變的。式中為位移算子，表示對(duì)于所有t均有 (95)式(94)又可寫為 (96)線性時(shí)

8、不變(定常)系統(tǒng)數(shù)學(xué)方程中各項(xiàng)的系數(shù)必為常數(shù)，只要有一項(xiàng)的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，則系統(tǒng)是時(shí)變的。3. 系統(tǒng)狀態(tài)空間描述常用的基本概念下面所介紹的是在系統(tǒng)狀態(tài)空間描述中常用的一些基本概念。狀態(tài)和狀態(tài)變量 系統(tǒng)在時(shí)間域中的行為或運(yùn)動(dòng)信息的集合稱為狀態(tài)。確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨(dú)立(數(shù)目最小)的變量稱為狀態(tài)變量。一個(gè)用n階微分方程描述的系統(tǒng)，當(dāng)n個(gè)初始條件x(t0)，x(t0)，xn-1(t0狀態(tài)變量的選取不具有惟一性，同一個(gè)系統(tǒng)可能有多種不同的狀態(tài)變量選取方法。狀態(tài)變量也不一定在物理上可量測，有時(shí)只具有數(shù)學(xué)意義，而無任何物理意義。但在具體工程問題中，應(yīng)盡可能選取容易量測的量作為狀態(tài)變量，以便實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的前饋和

9、反饋等設(shè)計(jì)要求。例如，機(jī)械系統(tǒng)中常選取線(角)位移和線(角)速度作為變量，RLC網(wǎng)絡(luò)中則常選取流經(jīng)電感的電流和電容的端電壓作為狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量常用符號(hào)表示。狀態(tài)向量 把描述系統(tǒng)狀態(tài)的n個(gè)狀態(tài)變量看作向量x(t)的分量，即則向量x(t)稱為n維狀態(tài)向量。給定tt0時(shí)的初始狀態(tài)向量X(to)及tt0的輸入向量u(t),tt0狀態(tài)空間 以n個(gè)狀態(tài)變量作為基底所組成的n維空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)軌跡 系統(tǒng)在任一時(shí)刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中用一點(diǎn)來表示。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)在變化，并在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡。這種系統(tǒng)狀態(tài)向量在狀態(tài)空間中隨時(shí)間變化的軌跡稱為狀態(tài)軌跡或狀態(tài)軌線。 狀態(tài)方程 描述系統(tǒng)狀態(tài)

10、變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組(連續(xù)時(shí)間系統(tǒng))或一階差分方程組(離散時(shí)間系統(tǒng))稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內(nèi)部狀態(tài)變化，其一般形式為 （9-7）或 （9-8）輸出方程 描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程，其一般形式為 （9-9）或 （9-10）輸出方程表征了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化和輸入所引起的系統(tǒng)輸出變化，它是一個(gè)變換過程。狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱動(dòng)態(tài)方程，其一般形式為 （9-11）或 （9-12）自治系統(tǒng) 若在系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式中，函數(shù)f和g均不顯含時(shí)間t或則稱該系統(tǒng)為自治系統(tǒng)，其狀態(tài)

11、空間表達(dá)式的一般形式為 (9-13)或 (9-14)線性系統(tǒng) 若在系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式中，f和g均是線性函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分方程或一階向量線性差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程。線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為 （9-15）對(duì)于線性離散時(shí)間系統(tǒng)，由于在實(shí)踐中常取tk=kT （9-16）通常，若狀態(tài)x、輸入u、輸出y的維數(shù)分別為n,p,q,則稱矩陣A(c)及G(k)為系統(tǒng)矩陣或狀態(tài)矩陣或系數(shù)矩陣，稱np矩陣B(t)及H(k)為控制矩陣或輸入矩陣，稱qn矩陣C(t)及C(k)為觀測矩陣或輸出矩陣，稱qp矩

12、陣D(t)及D(k)為前饋矩陣或輸入輸出矩陣。線性定常系統(tǒng) 在線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式中，若系數(shù)矩陣At,Bt （9-17）或 （9-18）當(dāng)輸出方程中時(shí)，系統(tǒng)稱為絕對(duì)固有系統(tǒng)，否則稱為固有系統(tǒng)。為書寫方便，常把固有系統(tǒng)(917)或(918)簡記為系統(tǒng)(A，B，C，D)或系統(tǒng)(G，H，C，D)，而記相應(yīng)的絕對(duì)固有系統(tǒng)為系統(tǒng)(A，B，C)或系統(tǒng)(G，H，C)。線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式常用結(jié)構(gòu)圖表示。線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(9-17)的結(jié)構(gòu)圖如圖9-2所示，線性離散時(shí)間系統(tǒng)(9-18)的結(jié)構(gòu)圖如圖9-3所示。結(jié)構(gòu)圖中I為()單位矩陣，s是拉普拉斯算子，z-1為單位延時(shí)算子，s和均為標(biāo)量

13、。每一方塊的輸入輸出關(guān)系規(guī)定為：輸出向量(方塊所示矩陣) (輸入向量)應(yīng)注意到在向量、矩陣的乘法運(yùn)算中，相乘順序不允許任意顛倒。狀態(tài)空間分析法 在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間分析法或狀態(tài)變量法。狀態(tài)空間分析法的優(yōu)點(diǎn)是便于采用向量、矩陣記號(hào)簡化數(shù)學(xué)描述，便于在數(shù)字機(jī)上求解，容易考慮初始條件，能了解系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化特性，適用于描述時(shí)變、非線性、連續(xù)、離散、隨機(jī)、多變量等各類系統(tǒng)，便于應(yīng)用現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制等。4. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法主要有兩種:一是直接根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程或差分方程,繼而選擇有關(guān)的

14、物理量作為狀態(tài)變量,從而導(dǎo)出其狀態(tài)空間表達(dá)式;二是由已知的系統(tǒng)其它數(shù)學(xué)模型經(jīng)過轉(zhuǎn)化而得到狀態(tài)空間表達(dá)式。由于微分方程和傳遞函數(shù)是描述線性定常連續(xù)系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型,故我們將介紹已知n階系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)時(shí)導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式的一般方法,以便建立統(tǒng)一的研究理論,揭示系統(tǒng)內(nèi)部固有的重要結(jié)構(gòu)特性 。(1) 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式下面我們通過例題來介紹根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的方法。例91 試列寫如圖94所示RLC網(wǎng)絡(luò)的電路方程，選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進(jìn)行討論。解 根據(jù)電路定律可列寫如下方程： 1）設(shè)狀態(tài)變量，則狀態(tài)空間模型

15、為輸出方程為其向量-矩陣形式為 簡記為式中，2)設(shè)狀態(tài)變量，則有 3）設(shè)狀態(tài)變量 則故其向量-矩陣形式為由上可見,系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式不具有惟一性。選取不同的狀態(tài)變量,便會(huì)有不同的狀態(tài)空間表達(dá)式,但它們都描述了同一系統(tǒng)。可以推斷,描述同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)空間表達(dá)式之間一定存在著某種線性變換關(guān)系?，F(xiàn)研究本例題中兩組狀態(tài)變量之間的關(guān)系 。設(shè)，則有其相應(yīng)的向量-矩陣形式為其中以上說明只要令，為非奇異變換矩陣，便可將變換為。若取任意的非奇異變換陣，便可變換出無窮多組狀態(tài)變量，這就說明狀態(tài)變量的選擇不具有惟一性。對(duì)于圖9-4所示 RLC網(wǎng)絡(luò)來說,由于電容端電壓和電感電流容易測量,通常選擇這些物理量作為狀態(tài)

16、變量。例9-2 由質(zhì)量塊、彈簧、阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)如圖9-5所示,具有力F和阻尼器汽缸速度V兩種外作用,給定輸出量有質(zhì)量塊的位移、速度和加速度。試列寫該雙輸入-三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。圖中m,k,f分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù);x為質(zhì)量塊的位移 。解 根據(jù)牛頓力學(xué)可知,系統(tǒng)所受外力 F與慣性力、阻尼力和彈簧恢復(fù)力kx, 構(gòu)成平衡關(guān)系,可列寫系統(tǒng)微分方程如下:這是一個(gè)二階系統(tǒng),若已知質(zhì)量塊的初始位移和初始速度,系統(tǒng)在輸入作用下的解便可惟一確定,故選擇質(zhì)量塊的位移和速度作為狀態(tài)變量。設(shè)。由題意知系統(tǒng)有三個(gè)輸出量,設(shè)。于是由系統(tǒng)微分方程可導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程 其向量-矩陣形式為例9-

17、3 對(duì)于圖9-6所示機(jī)械系統(tǒng),若不考慮重力對(duì)系統(tǒng)的作用,試列寫該系統(tǒng)以拉力 F為輸入,以質(zhì)量塊m1和m2的位移y1和y2為輸出的狀態(tài)空間表達(dá)式。解 根據(jù)牛頓定律,可寫出系統(tǒng)微分方程式中為彈簧剛度, 為阻尼系數(shù)。由于該系統(tǒng)有四個(gè)貯能元件,即彈簧 是和質(zhì)量,故應(yīng)選擇其中四個(gè)相互獨(dú)立的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,現(xiàn)選擇經(jīng)過整理,可得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式(2)由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式按系統(tǒng)輸入量中是否含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)來分別研究。1 ) 系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。這種單輸入-單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為 （9-19）式中,y,u分別為系統(tǒng)的輸出、輸入量是由系統(tǒng)特性確定的常系數(shù)。由于給定n個(gè)初

18、值及t0的u(t)時(shí),可惟一確定t0時(shí)系統(tǒng)的行為,可選取n個(gè)狀態(tài)變量為,故式(9-19)可化為 （9-20）其向量-矩陣形式為 （9-21）式中按式(9-2o)繪制的結(jié)構(gòu)圖稱為狀態(tài)變量圖,見圖9-7。每個(gè)積分器的輸出都是對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量,狀態(tài)方程由各積分器的輸入-輸出關(guān)系確定,輸出方程在輸出端獲得 。2) 系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。這種單輸入-単輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一 般形式為 （9-22）一般輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù)n。首先研究bn （9-23）其展開式為 （9-24）式中是 n個(gè)待定常數(shù)。由式(9-24)的第一個(gè)方程可得輸出方程其余可得(n-1)個(gè)狀態(tài)方程對(duì)xn求導(dǎo)數(shù)并考

19、慮式(9-22)有由式(9-24)將均以xi及u的各階導(dǎo)數(shù)表示,經(jīng)整理可得令上式中u的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為零,可確定各h 值 記，故則式( 9-22 )的向量-矩陣形式的動(dòng)態(tài)方程為 （9-25）式中式(9-22)的狀態(tài)變量圖見圖9-8。若輸入量中僅含m次導(dǎo)數(shù)且mt0，對(duì)于所有t 系統(tǒng)的不可觀測 對(duì)于式(9105)所示線性時(shí)變系統(tǒng)，如果取定初始時(shí)刻t0Tt，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1Tt,t1t3. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù) 考慮線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 (9107)其中X為n維狀態(tài)向量；u為p維輸入向量；A和B分別為和常陣。下面根據(jù)A和B給出系統(tǒng)可控性的用判據(jù)。格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)式

20、（9-107）完全可控的充分必要條件是，存在時(shí)刻，使如下定義的格拉姆矩陣：W(0,t1為非奇異。證明 充分性：已知W（0,t1）為非奇異，欲證系統(tǒng)完全可控。已知W非奇異，故W-1存在。對(duì)任一非零初始狀態(tài)x0可選取控制u(t)為 （9-109）則在作用下系統(tǒng)（9-107）在時(shí)刻的解為這表明，對(duì)任一取定的初始狀態(tài)x00，都存在有限時(shí)刻t10 和控制u(t)，必要性:已知系統(tǒng)完全可控,欲證W(0,t,)為非奇異。采用反證法。設(shè)W(0,t1)為奇異,則存在某個(gè)非零向量使 （9-110）成立,由此可導(dǎo)出 (9-111)其中為范數(shù)(內(nèi)為|),故其必非負(fù)。于是,欲使式(9-111)成立,應(yīng)當(dāng)有 (9-112

21、)另一方面,因系統(tǒng)完全可控,根據(jù)定義對(duì)此非零向量應(yīng)有 (9-113)由此又可導(dǎo)出 (9-114) (9-115)再利用式(9-112) ,由式(9-115)可以得到 即 （9-116）顯然,此結(jié)果與假設(shè)相矛盾,即W(0,t1)為奇異的反設(shè)不成立。因此,若系統(tǒng)完全可控,W(0,t1)必為非奇異。必要性得證。至此格拉姆矩陣判據(jù)證畢?？梢钥闯?在應(yīng)用格拉姆矩陣判據(jù)時(shí)需計(jì)算矩陣指數(shù),在A的維數(shù)n較大時(shí)計(jì)算 是困難的。所以格拉姆矩陣判據(jù)主要用于理論分析。線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性的常用判據(jù)是直接由矩陣 A和B 判斷可控性的秩判據(jù)。由于在推導(dǎo)秩判據(jù)時(shí)要用到凱萊-哈密頓定理,所以下面先介紹凱萊-哈密頓定理,然后

22、再給出秩判據(jù)。凱萊-哈密頓定理 設(shè)n階矩陣A的特征多項(xiàng)式為 （9-117）則A滿足其特征方程,即 （9-118）證明 由于 （9-119）式中為()的伴隨矩陣,其一般展開式為顯見B()的元素均為(n-1)階多項(xiàng)式,由短陣加法規(guī)則可將其分解為n個(gè)矩陣之和, 即 （9-120）式中均為n階矩陣。將式(9-119)兩端右乘得 （9-121）將式( 9-120)代入式(9-121 )并展開有 (9-122)令式(9-122)等號(hào)兩邊同次項(xiàng)的系數(shù)相等,可得 (9-123)將式(9-123)兩端按願(yuàn)序右乘得 （9-124）式(9-124)中各式相加,可得推論1 矩陣A的次冪可表示為A的（n-1）階多項(xiàng)式

23、（9-125）證明 由于則故上述推論成立。式(9-125)中的m推論2 矩陣指數(shù)可表示為A的(n-1)階多項(xiàng)式 （9-126）證明 由于令則有故推論2成立。式(9-126)中的均為t的冪函數(shù),對(duì)于t 0, tf,不同時(shí)刻構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的向量組,其中任一向量都無法表示成為其它向量的線性組合。同理也可表示為 A的(n-1)階多項(xiàng)式 （9-127）式中秩判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)（9107）完全可控的充分必要條件是 （9128）其中n為矩陣A的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。證明 充分性:已知 rankS = n,欲證系統(tǒng)完全可控。 采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全可控,則根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)可知為奇異

24、,這意味著存在某個(gè)非零 n.維向量a使成立。顯然,由此可導(dǎo)出 （9-129）將式(9-129)求導(dǎo)直至n-1次,再在所得結(jié)果中令t=0,得到 （9-130）式(9-130)又可表示為 （9-131）由于,所以式(9-131)意味著S為行線性相關(guān),即rankSn,這顯然和已知rankS= n相矛盾。因而反設(shè)不成立,系統(tǒng)應(yīng)為完全可控。必要性:已知系統(tǒng)完全可控,欲證rankS=n。采用反證法。反設(shè)rankSl，和對(duì)應(yīng)的控制u(k)，使得xm=0，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻l為完全可控。對(duì)應(yīng)地，如果對(duì)初始時(shí)刻lTk和初始狀態(tài)xl對(duì)于離散系統(tǒng)，不管是時(shí)變的還是定常的，其可控性和可達(dá)性只有在一定條件下才是等價(jià)的。其等

25、價(jià)的條件分別為1）線性離散時(shí)間系統(tǒng)(9173)的可控性和可達(dá)性為等價(jià)的充分必要條件是，系統(tǒng)矩Gk對(duì)所有kl,m-12)線性定常離散時(shí)間系統(tǒng) （9174）的可控性和可達(dá)性等價(jià)的充分必要條件是系統(tǒng)矩陣G為非奇異。 3）如果離散時(shí)間系統(tǒng)（9173）或（9174）是相應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)間離散化模型，則其可控性和可達(dá)性是等價(jià)的。上述等價(jià)條件的簡單證明可參閱有關(guān)參考文獻(xiàn)，此處不在詳述。線性定常離散系統(tǒng)的可控性判據(jù) 設(shè)單輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 （9175）其中，x為n維狀態(tài)向量；u為標(biāo)量輸入；G為非奇異矩陣。狀態(tài)方程（9175）的解為 （9176）根據(jù)可控性定義，假定k=n時(shí)，x(n)0，將式(9

26、176)兩端左乘G-n， （9177）記 （9178）稱為可控性矩陣。式(9177)是一個(gè)非奇次線性方程組，含n個(gè)方程，有n個(gè)未知數(shù)。由線性方程組解的存在定理可知，當(dāng)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等時(shí)，方程組有解且為惟一解，否則無解。在x(0)為任意的情況下，使方程組有解的充分必要條件是矩陣滿秩，即 （9179）或矩陣的行列式不為零 （9180）或矩陣是非奇異的。由于滿秩矩陣與另一滿秩矩陣Gn （9181）交換矩陣的列，且記為，其秩也不變，故有 (9182)由于式(9182)避免了矩陣求逆，在判斷系統(tǒng)的可控性時(shí)，使用式(9182)比較方便。式(9179)至式(9182)都稱為可控性判據(jù)，和都稱為單輸

27、入離散系統(tǒng)的可控性矩陣。狀態(tài)可控性取決于G和h。 當(dāng)rankS1l，且可由l,m線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性判據(jù) 設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 （9195）其中為n維狀態(tài)向量，為q維輸出向量，其解為 （9196） （9197）研究可觀測性問題時(shí)，均已知，故不失一般性，可將動(dòng)態(tài)方程簡化為 （9198）對(duì)應(yīng)的解為 （9199）將寫成展開式 （9200）其向量矩陣形式為 （9121）令 （9202）V1T稱為線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性矩陣，為矩陣。式(9201)含有nq個(gè)方程，若其中有n個(gè)獨(dú)立方程，便可確定惟一的一組x10 （9203）由于，故線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)常表示為 （9204） 例

28、931 已知線性定常離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為其中試判斷系統(tǒng)的可觀測性，并討論可觀測性的物理解釋。解 當(dāng)觀測矩陣為C1故系統(tǒng)可觀測。由輸出方程可見，在第k步便可由輸出確定狀態(tài)變量，由于故在第步便可確定。該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，系統(tǒng)可觀測意味著至多三步便可由輸出的測量值來確定三個(gè)狀態(tài)變量。當(dāng)觀測矩陣為時(shí)，故系統(tǒng)不可觀測。根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程可導(dǎo)出可看出三步的輸出測量值中始終不含x2(k)，故（3）連續(xù)動(dòng)態(tài)方程離散化后的可控性和可觀測性一個(gè)可控的或可觀測的連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)其離散化后并不一定能保持其可控性或可觀測性?，F(xiàn)舉例來說明。 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故一定可控。根據(jù)可觀測性判據(jù)有故系統(tǒng)

29、可觀測。 系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)方程為離散化后系統(tǒng)的可控性矩陣為離散化后系統(tǒng)的可觀測性矩陣為當(dāng)采樣周期時(shí)，可控性矩陣，和可觀測性矩陣均出現(xiàn)零行，系統(tǒng)不可控也不可觀測。這表明：連續(xù)系統(tǒng)可控或可觀測時(shí)，若采樣周期選擇不當(dāng)，對(duì)應(yīng)的離散化系統(tǒng)便有可能不可控或不可觀測，也有可能既不可控又不可觀測。若連續(xù)系統(tǒng)不可控或不可觀測，不管采樣周期f如何選擇，離散化后的系統(tǒng)一定是不可控或不可觀測的。9-3 線性定常系統(tǒng)的線性變換為便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合設(shè)計(jì)，經(jīng)常需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各種非奇異變換，例如將陣對(duì)角化、約當(dāng)化，將化為可控標(biāo)準(zhǔn)型，將化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型；或?qū)⑾到y(tǒng)按可控可觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解等，本節(jié)將介紹

30、在線性定常系統(tǒng)研究中常用的一些線性變換方法及非奇異線性變換的一些不變特性。1. 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換在研究線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立方法時(shí)可以看到，選取不同的狀態(tài)變量便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程。若兩組狀態(tài)變量之間用一個(gè)非奇異矩陣聯(lián)系著，則兩組動(dòng)態(tài)方程的矩陣與該非奇異矩陣有確定關(guān)系。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 （9205）令 （9206）式中p為非奇異線性變換矩陣，它將x變換為，變換后的動(dòng)態(tài)方程為 (9207)式中 （9208）并稱為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行p變換。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性變換的目的在于使陣規(guī)范化，以便于揭示系統(tǒng)特性及分析計(jì)算，待獲得所需結(jié)果之后，再引入反變換關(guān)系，換算回原來的狀態(tài)空間中去，得出最終結(jié)果

31、。下面概括給出本章中常用的幾種線性變換關(guān)系。(1)化A矩陣為對(duì)角型1)設(shè)A陣為任意形式的方陣，且有n個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值，則可由非奇異線性變換化為對(duì)角陣。 (9209)陣由A陣的實(shí)數(shù)特征向量組成 (9210)特征向量滿足 (9211)2)若A陣為友矩陣，且有n個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值，則下列的范德蒙特(Vandermode)矩陣P可使A對(duì)角化： (9-212)3)設(shè)A陣具有m重實(shí)數(shù)特征值，其余為個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值，但在求解時(shí)仍有m個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量，則仍可使A陣化為對(duì)角陣。 （9214）式中是互異實(shí)數(shù)特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。展開時(shí)，n個(gè)代數(shù)方程中若有m個(gè)元素可以任意選擇，或只有個(gè)獨(dú)立方程，則有m個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向

32、量。(2)化A陣為約當(dāng)型1)設(shè)A陣具有m重實(shí)特征值，其余為(nm)個(gè)互異實(shí)特征值，但在求解時(shí)只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量，則只能使A化為約當(dāng)陣。中虛線示出存在一個(gè)約當(dāng)塊。 （9216）式中是廣義實(shí)特征向量，滿足 （9217）是互異特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。2)設(shè)A為友矩陣，具有m重實(shí)特征值，且只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量，則使A約當(dāng)化的為 （9218）式中 （9219）3)設(shè)A陣具有五重實(shí)特征值，但有兩個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量，其余為個(gè)異實(shí)特征值，A陣約當(dāng)化的可能形式是中虛線示出存在兩個(gè)約當(dāng)塊，其中 （9221）(3)化可控系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型在前面研究狀態(tài)空間表達(dá)式的建立問題時(shí)，曾得出單輸入線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的可控

33、標(biāo)準(zhǔn)型： （9222）與該狀態(tài)方程對(duì)應(yīng)的可控性矩陣s是一個(gè)右下三角陣，其主對(duì)角線元素均為1，故，系統(tǒng)一定可控，這就是形如式(9222)中的稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型名稱的由來。其可控性矩陣s形如 （9223）一個(gè)可控系統(tǒng)，當(dāng)不具有可控標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，一定可以選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可控標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 （9224）進(jìn)行變換，即令 （9225）變換為 （9226）要求 （9227）下面具體推導(dǎo)變換矩陣P： 設(shè)變換矩陣P為 （9228）根據(jù)A陣變換要求，P應(yīng)滿足式(9227)，有 (9-229)展開為經(jīng)整理有由此可得變換矩陣 （9230）又根據(jù)陣變換要求，應(yīng)該滿足式（9227），有 （9231）即 （9232）故

34、 （9233）該式表明是可控性矩陣的逆陣的最后一行。于是可得出變換矩陣的求法如下：計(jì)算可控性矩陣；計(jì)算可控性矩陣的逆陣，設(shè)一般形式為 （9234）取出的最后一行（即第n行）構(gòu)成行向量 （9235）構(gòu)成陣 （9236）4）便是將非標(biāo)準(zhǔn)型可控系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣。2. 對(duì)偶原理在研究系統(tǒng)的可控性和可觀測性時(shí)，利用對(duì)偶原理常常帶來許多方便。設(shè)系統(tǒng)為，則系統(tǒng)為系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)。其動(dòng)態(tài)方程分別為 (9237) (9238)其中，x，z均為n維狀態(tài)向量；均為維向量；均為q維向量。注意到系統(tǒng)與對(duì)偶系統(tǒng)之間，其輸入、輸出向量的維數(shù)是相交換的。當(dāng)S2為S1的對(duì)偶系統(tǒng)時(shí)，S1也是S2不難驗(yàn)證，系統(tǒng)S1的可控

35、性矩陣與對(duì)偶系統(tǒng)S2的可觀測性矩陣完全相同；系統(tǒng)的可觀測性矩陣與對(duì)偶系統(tǒng)的可控性矩陣完全相同。應(yīng)用對(duì)偶原理，能把可觀測的單輸入單輸出系統(tǒng)化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型的問題轉(zhuǎn)化為將其對(duì)偶系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的問題。設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 (9239)系統(tǒng)可觀測，但不是可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。其對(duì)偶系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 （9240）對(duì)偶系統(tǒng)一定可控，但不是可控標(biāo)準(zhǔn)型。可利用已知的化為可控標(biāo)準(zhǔn)型的原理和步驟，先將對(duì)偶系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型，再一次使用對(duì)偶原理，便可獲得可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。計(jì)算步驟:1)列出對(duì)偶系統(tǒng)的可控性矩陣（即原系統(tǒng)的可觀測性矩陣） （9-241）2)求的逆陣，且記為行向量組 （9-242）3)取的第n行，并按下列

36、規(guī)則構(gòu)造變換矩陣p （9-243）4)求P的逆陣，并引入變換即，變換后動(dòng)態(tài)方程為 (9-244)5)對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)再利用對(duì)偶原理，便可獲得原系統(tǒng)的可觀測標(biāo)準(zhǔn)型，結(jié)果為 （9-245） (9-246)與原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程相比較，可知將原系統(tǒng)化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型需要進(jìn)行變換，即令 （9-247）其中 （9-248）為原系統(tǒng)可觀測性矩陣的逆陣中第n行的轉(zhuǎn)置。3. 非奇異線性變換的不變特性從前面的研究中可以看到，為了便于研究系統(tǒng)固有特性，常常需要引入非奇異線性變換，例如，將A陣對(duì)角化或約當(dāng)化，需進(jìn)行P變換；將A,b化為可控標(biāo)準(zhǔn)型，需進(jìn)行P-1變換；將A,c化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型，需進(jìn)行P設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為令，變換后動(dòng)態(tài)方

37、程為（1）變換后系統(tǒng)特征值不變 變換后系統(tǒng)的特征值為可見，系統(tǒng)變換后與變換前的特征值完全相同，這說明對(duì)于非奇異線性變換，系統(tǒng)特征值具有不變性。（2）變換后系統(tǒng)傳遞矩陣不變變換后系統(tǒng)的傳遞矩陣為這表明變換前與變換后系統(tǒng)的傳遞矩陣完全相同，系統(tǒng)的傳遞矩陣對(duì)于非奇異線性變換具有不變性。（3）變換后系統(tǒng)可控性不變變換后系統(tǒng)可控性矩陣的秩為其中，s為變換后系統(tǒng)的可控性矩陣；s為變換前系統(tǒng)的可控性矩陣?？梢?，變換后與變換前系統(tǒng)可控性矩陣的秩相等，根據(jù)系統(tǒng)可控性的秩判據(jù)可知，對(duì)于非奇異線性變換，系統(tǒng)的可控性不變。(4)變換后系統(tǒng)可觀測性不變設(shè)變換后系統(tǒng)的可觀測性矩陣為v可見，變換后與變換前系統(tǒng)的可觀測性矩陣

38、的秩相等，故系統(tǒng)的可觀測性不變。4. 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)中只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控便稱系統(tǒng)不可控。 不可控系統(tǒng)便含有可控和不可控兩種狀態(tài)變量。系統(tǒng)中只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控系統(tǒng)便含有可控和不可控狀態(tài)變量。類似地，系統(tǒng)中只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可觀測便稱系統(tǒng)不可觀測，不可觀測系統(tǒng)含有可觀測和不可觀測兩種狀態(tài)變量。從可控性和可觀測性出發(fā)，狀態(tài)變量便可分為可觀測xco、可控不可觀測xco、不可控可觀測xco、不可控不可觀測xc 結(jié)構(gòu)分解是選取一種特殊的線性變換，使原來的狀態(tài)向量x變換成，相應(yīng)地使原動(dòng)態(tài)方程中的A,B,C矩陣變換成某種標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的形式。結(jié)構(gòu)分解的過程或方法可先從整個(gè)系統(tǒng)的可控性分解開

39、始，將可控與不可控的狀態(tài)變量分離開，繼而分別對(duì)可控和不可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分解，便可以分離出四類狀態(tài)變量及四類子系統(tǒng)。當(dāng)然，結(jié)構(gòu)分解的過程也可以從系統(tǒng)的可觀測性分解開始。下面著重介紹結(jié)構(gòu)分解的方法，有關(guān)證明略去。（1）系統(tǒng)按可控性的結(jié)構(gòu)分解設(shè)不可控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 （9249）式中，x為n維狀態(tài)向量；u為p維輸入向量；y為q維輸出向量；A,B,C為具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣。若系統(tǒng)不可控，可控性矩陣的秩為r(ro,不管這兩個(gè)實(shí)數(shù)有多么小,在S()內(nèi)總存在著一個(gè)狀態(tài),使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出,則平衡狀態(tài)就稱為是不穩(wěn)定的,見圖9-41(c)。下面介紹李雅普諾夫理論中判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。2. 李雅普

40、諾夫第一法(間接法)這是利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,它適用于線性定常、線性時(shí)變以及非線性函數(shù)可線性化的情況。由于本章主要研究線性定常系統(tǒng),所以在此僅介紹線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)。定理9-9 對(duì)于線性定常系統(tǒng)有1)系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件是,A的所有特征值均具有非正(負(fù)或零)實(shí)部,且具有零實(shí)部的特征值為A的最小多項(xiàng)式的單根。2)系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是,A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。證明1)設(shè)為的平衡狀態(tài),則由性質(zhì)和可知,對(duì)于所有t0均有（9-389）于是,考慮到有（9-390）這表明,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),對(duì)任給的一個(gè)實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)存在和初

41、始時(shí)刻無關(guān)的一個(gè)實(shí)數(shù)使得由滿足不等式（9-391）的任一初態(tài)出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足不等式（9-392）從而由定義知,系統(tǒng)的每一個(gè)平衡狀態(tài)均為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。再引入非奇異變換陣P,使得為矩陣A的約當(dāng)規(guī)范型,則又有（9-393）因而有界等價(jià)于有界。但是,由為約當(dāng)規(guī)范型可知每一元的形式為（9-394）其中為()的特征值,為特征值的重?cái)?shù)。注意到式(9-394)中,當(dāng)時(shí)對(duì)任何正整數(shù)此元在上為有界,而時(shí)只對(duì)此元在上為有界。同時(shí)的每一個(gè)元有界意味著有界。由此可知,當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值均具有負(fù)或零實(shí)部,且具有零實(shí)部的特征值為單根時(shí),為有界,也就是系統(tǒng)的每一個(gè)平衡狀態(tài)為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。結(jié)論1)證畢

42、。2)由式(9-390)可知,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)一切t0為有界,且當(dāng)t0時(shí)0,零平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定。如上所證,當(dāng)且僅當(dāng)A的所有特征值均具有負(fù)或零實(shí)部時(shí),有界。又根據(jù)式(9-393)和式(9-394)可知,當(dāng)且僅當(dāng)0,可保證t0時(shí)0,這等價(jià)于A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。結(jié)論2)證畢。由于所討論的系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng),當(dāng)其為穩(wěn)定時(shí)必是一致穩(wěn)定,當(dāng)其為漸定穩(wěn)定時(shí)必是大范圍一致漸近穩(wěn)定。3. 李雅普諾夫第二法(直接法)根據(jù)古典力學(xué)中的振動(dòng)現(xiàn)象,若系統(tǒng)能量(含動(dòng)能與位能)隨時(shí)間推移而衰減,系統(tǒng)遲早會(huì)達(dá)到平衡狀態(tài),但要找到實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式并非易事。李雅普諾夫提出,可虛構(gòu)一個(gè)能量函數(shù)(后來被稱為李雅普諾夫函數(shù)),

43、及t有關(guān),記以。若不顯含t,則記以。它是一個(gè)標(biāo)量函數(shù),考慮到能量總大于零,故為正定函數(shù)。能量衰減特性用或表示。李雅普諾夫第二法利用及的符號(hào)特征,直接對(duì)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性作出判斷,無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,故稱直接法。用此方法解決了一些用其它穩(wěn)定性判據(jù)難以解決的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,遺憾的是對(duì)一般非線性系統(tǒng)仍未找到構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法。對(duì)于線性系統(tǒng),通常用二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)。這里不打算對(duì)李雅普諾夫第二法中的諸穩(wěn)定性定理在數(shù)學(xué)上作嚴(yán)格證明,而只著重于物理概念的闡述和應(yīng)用。(1)標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性的簡要回顧正定性標(biāo)量函數(shù)對(duì)所有在域S中的非零狀態(tài)x有且V(0)=0,則在域S(域S包含狀態(tài)空

44、間的原點(diǎn))內(nèi)的標(biāo)量函數(shù)稱為是正定的。如果時(shí)變函數(shù)由一個(gè)定常的正定函數(shù)作為下限,也就是說,存在一個(gè)正定函數(shù),使得（9-395）稱時(shí)變函數(shù)在域S(域S包含狀態(tài)空間的原點(diǎn))內(nèi)是正定的。負(fù)定性如果是正定函數(shù),則標(biāo)量函數(shù)稱為負(fù)定函數(shù)。正半定性如果標(biāo)量函數(shù)除了原點(diǎn)及某些狀態(tài)處等于零外,在域S內(nèi)的所有狀態(tài)都是正定的,則稱為正半定函數(shù)。負(fù)半定性如果是正半定函數(shù),則標(biāo)量函數(shù)稱為負(fù)半定函數(shù)。不定性如果在域S內(nèi),不論域S多么小,既可為正值也可為負(fù)值,則標(biāo)量函數(shù)稱為不定函數(shù)。(2)李雅普諾夫第二法主要定理定理9-10 (大范圍一致漸近穩(wěn)定判別定理)考察連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變自由系統(tǒng)（9-396）其中，即狀態(tài)空間的原點(diǎn)為系

45、統(tǒng)的平衡狀態(tài)。如果存在一個(gè)對(duì)x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)且滿足如下條件:1)正定且有界,即存在兩個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)和,其中，使對(duì)一切和一切均有（9-397）2)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)負(fù)定且有界,即存在一個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù),其中，使對(duì)一切和一切均有（9-398）當(dāng)時(shí),則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍一致新近穩(wěn)定。定理9-1l(定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1)對(duì)于定常系統(tǒng)（9-399）其中,如果都在一個(gè)具有連裝一舒専教的標(biāo)量函數(shù),并且對(duì)于狀態(tài)空付X中的一切非零點(diǎn)x滿足如下條件:為正定;為負(fù)定;當(dāng)時(shí)。則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。例9-39 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 顯然，原點(diǎn)

46、是該系統(tǒng)惟一的平衡狀態(tài)。選取正定標(biāo)量函數(shù)為則沿任意軌跡對(duì)事件的導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的。這說明沿任意軌跡是達(dá)續(xù)減小的,因此是一個(gè)李雅譜諾夫函數(shù)。由于當(dāng)時(shí)，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。一般地說，對(duì)于相當(dāng)一部分系統(tǒng)，要構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)使其滿足定理9-11中所要求的為負(fù)定這一條件,常常不易做到。從直觀上也容易理解,要求為負(fù)定不免過于保守。下面給出將這一條件放寬后的定常系統(tǒng)大范國漸近穩(wěn)定的判別定理。定理9-12 (定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2)對(duì)于定常系統(tǒng)（9-399），如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù),V(0)=0，并且對(duì)狀態(tài)空間X中的一切非零點(diǎn)x滿足如下的條件：為正定為負(fù)半定

47、;對(duì)任意當(dāng)時(shí)，。則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。例9-40 已知定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解易知原點(diǎn)為系統(tǒng)惟一的平衡狀態(tài)?，F(xiàn)取,且有1)為正定;2)。容易看出,除了,任意,i2=0;_r1任意,時(shí),任意，時(shí)，以外,均有。所以,為負(fù)半定。3)檢査是否?？紤]到使得的可能性只有上述,兩種情況,所以問題歸結(jié)為判斷這兩種情況是否為系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)解。先考察情況,設(shè),則由可導(dǎo)出,將此代入系統(tǒng)狀態(tài)方程可得這表明,除了點(diǎn)外,不是系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)解。再考察情況,設(shè),則由,可導(dǎo)出。將此代入系統(tǒng)狀態(tài)方程可得顯然,這是一個(gè)矛盾的結(jié)果,表明也不是系統(tǒng)的受擾運(yùn)動(dòng)解。綜合以上分析可知,。4)當(dāng)時(shí),顯然有。于

48、是,根據(jù)定理9-12可判定系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。由于上述給出的所有判別定理都只提供了充分條件,如果經(jīng)多次試取李雅普諾夫函數(shù)都得不到確定的答案時(shí),就要考慮其為不穩(wěn)定的可能性。下面的定理給出了判別不穩(wěn)定的充分條件。定理9-13(不穩(wěn)定的判別定理)對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)(9-396)或定常系統(tǒng)(9-399),如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)或,其中,和圍繞原點(diǎn)的域,使得對(duì)于一切,和一切滿足如下條件:為正定且有界或?yàn)檎?為正定且有界或?yàn)檎?則系統(tǒng)平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定。4. 線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析下面介紹李雅普諾夫第二法在線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用。(1)線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近

49、穩(wěn)定的判別設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為為非奇異矩陣,故原點(diǎn)是惟一平衡狀態(tài)。設(shè)取正定二次型函數(shù)作為可能的李雅普諾夫函數(shù),考慮到系統(tǒng)狀態(tài)方程,則有（9-400）令（9-401）于是有（9-402）根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1,只要正定(即負(fù)定),則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。于是線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件可表示為:給定一正定矩陣,存在著滿足式(9-401)的正定矩陣,而是該系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。式(9-401)稱為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程。但是,按上述先給定、再驗(yàn)證是否正定的步驟去分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí),若選取不當(dāng),往往會(huì)導(dǎo)致非正定,需反復(fù)多次選取陣來檢驗(yàn)是否正定,使用中很不方便。因而在應(yīng)

50、用時(shí),往往是先選取為正定實(shí)對(duì)稱矩陣,再求解式(9-401),若所求得的陣為正定實(shí)對(duì)稱矩陣,則可判定系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。由于使用中常選取陣為單位陣或?qū)蔷€陣,比起先選陣再檢驗(yàn)陣要方便得多,所以在判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)常利用下述定理:定理9-14線性定常系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是,對(duì)于任意給定的一個(gè)正定對(duì)稱矩陣,有惟一的正定對(duì)稱矩陣使式(9-401)成立。需要說明的是,在利用上述定理判斷線性定常系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時(shí),對(duì)的惟一限制是其應(yīng)為對(duì)稱正定陣。顯然,滿足這種限制的陣可能有無窮多個(gè),但判斷的結(jié)果即系統(tǒng)是否為漸近穩(wěn)定,則和陣的不同選擇無關(guān)。上述定理的實(shí)質(zhì)是給出了矩陣的所有特征值均具有負(fù)實(shí)

51、部的充分必要條件。根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2可以推知,若系統(tǒng)任意的狀態(tài)軌跡在非零狀態(tài)不存在恒為零時(shí),陣可選擇為正半定的,即允許取單位陣時(shí)主對(duì)角線上部分元素為零,而解得的陣仍應(yīng)正定。由于利用上述定理判斷線性定常系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)定時(shí)需要求解李雅普諾夫方程(9-401),但一般地說求解李雅普諾夫方程并非易事,因而這種方法往往不是用來判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性,而是用來構(gòu)造線性定常連續(xù)漸近穩(wěn)定系統(tǒng)。例9-41 已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試用李雅普諾夫方程判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。解 為便于對(duì)比,先用特征值判據(jù)判斷。系統(tǒng)狀態(tài)方程為特征值為-2,1,故系統(tǒng)不穩(wěn)定。令則有展開有解得由于,故負(fù)定,可判定系統(tǒng)非漸近穩(wěn)定。由特征值判據(jù)知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例9-42 試用李雅普諾夫方程確定使圖9-42所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的