1、關于分離變量法有界弦的自由振動第1頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四有界弦的自由振動有限長桿上的熱傳導圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題非齊次方程的解法非齊次邊界條件的處理關于二階常微分方程本征值問題的一些結論分離變量法提要:第2頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四 物理學、工程技術領域的許多問題 ，都可以歸結為偏微分方程的 定解問題。偏微分方程定解條件求滿足它們的解（定解問題）在微積分學中:多元函數的微分積分(轉化為)一元函數的微分積分分離變量法:偏微分方程(定解問題)(轉化為)常微分方程的求解第3頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25

2、分，星期四基本思想:將一個多元函數的偏微分方程轉化為幾個單元函數的常微分方程基本問題:將二元的偏微分方程轉化為空間和時間的常微分方程,比如第4頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四2.1 有界弦的自由振動什么是分離變量法?運用分離變量法所應該具備的條件?如何應用分離變量法解定解問題?例1：有界弦的自由振動: 弦長度為L,兩端固定,任意初始位移,任意初始速度。定解問題為:泛定方程邊界條件初始條件(1)(2)(3)第5頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四主導思想：在討論常系數、線性、齊次常微分方程的初值問題時，求出足夠多的形式解線性迭加這些足夠多的形式解使

3、之滿足初始條件常微分方程不但含有未知函數，而且還含有未知函數的導數，且自變量只有一個，稱之為常微分方程。線性未知函數，以及未知函數的導數都是一次冪，稱之為線性。通解一般地講，一階常微分方程含有一個任意常數的解，稱之為通解。特解確定了任意常數的解，稱之為特解。一般來說，當初始條件給定之后，滿足初始條件的特解只有一個。第6頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四啟發(fā)：求出足夠多的, 滿足邊界條件的,具有變量分離形式的形式解。線性組合這些足夠多的形式解使之滿足初始條件 從物理學知，樂器發(fā)出的聲音，可以分解為各種不同頻率的單音，每種單音振動時所形成的正弦曲線，其振幅依賴于時間 t 。

4、為此，特解可表示為的形式.特點: 中的變量被形式上分離為振幅-關于時間t位相-關于坐標x第7頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四設方程（1）有分離變量解：代入方程（1）：左邊是x函數，右邊是t的函數，只有他們均為常數時才相等：設這一常數為-，則（4）（5）（6）至此可以看出,利用分離變量法的條件是:泛定方程必須是齊次的。否則（5）變成 方程 ,不能寫出變量分離的形式（6）。分離變量：第8頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四將邊界條件（2）代入形式解（4）： ,如果 則 (平凡解,無實際意義),故這樣空間函數 構成下列常微分方程的邊值問題:至此可以看出

5、,利用分離變量法的條件是:邊界條件必須是齊次的。否則 ，不能寫出關于空間函數 X(x)單獨的邊界條件（7），不能構成定解問題（8）。（8）（7）第9頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四以下的任務：確定取何值時 ，方程 有滿足條件的非零解；求出這個非零解 本征值本征值問題本征函數第10頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四 ：方程(9)的通解為2. : 方程(9)的通解為(9)(10)（平凡解:X(x)=0）由(10)得 為了滿足邊界條件(10), (11)必須給出(11)下面求解邊值問題：設第11頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期

6、四這是一個關于A, B的線性齊次方程組，它有非零解的必要充分條件是系數行列式為零： 即上式在k=0(即=0)條件下成立，但在現在的 0,方程(9)的通解為該邊值問題的解是一系列分立的正弦函數B 不能為零(否則X(x)=0)設第13頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四第14頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四將 代入關于 T 的方程:這個解稱為定解問題的“本征解”,它滿足泛定方程和齊次邊界條件其通解為這樣 解方程:第15頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四但是本征解的初始值 不能滿足任意初始條件(2),為了使原定解問題的解滿足任意

7、初始條件，考慮到原泛定方程是線性的（服從疊加原理），可以取本征解的疊加構成定解問題的一般解：一般解不但滿足泛定方程還滿足定解條件定解問題的一般解:第16頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四 這樣初始條件可以表示為它們是函數 的傅立葉級數，展開系數為一般解能表示任意初始條件可以再次看出, 利用分離變量法的條件是: 泛定方程必須是線性的。這樣才能利用疊加原理，構成一般解，滿足任意初始條件。任意初始條件:第17頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四 有界弦自由振動的 定解問題的解由級 數給出: 它滿足齊次邊界條 件和任意初始條件: 展開系數 被 積分確定:弦

8、振動定解問題的結論：第18頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四 1.對于泛定方程 寫出形式解: 2.分離變量得到空間函數的本征值問題: 3.解出 得到本征解: 4.利用疊加原理得到一般解: 5.代入初始條件求出待定系數 分離變量法求解定解問題的步驟：第19頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四1.泛定方程是 線性齊次的, 例如2.邊界條件是 齊次的,例如3.初始條件可以 是任意函數 討論: 分離變量法的適用條件第20頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四舉例:例1：設一根長為10個單位的細弦,兩端固定,初速為零,初位移 與材料有關的

9、量 ,求弦作微小橫振動時的位移 .解: 其定解問題為顯然，這個問題的傅立葉級數形式解可由給出，其中第21頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四給出, 其中n 為偶數 n 為奇數 第22頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四因此,所求的解為第23頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四例2： 解下列定解問題例1：定解問題分析: 對比上面兩個定解問題,與例 1 所不同的是, 這一端的邊界條件 已經不是第一類齊次邊界條件 , 而是第二類齊次邊界條件 第二類齊次邊界條件第一類齊次邊界條件第24頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，

10、星期四一、對此，試探性提出方程組 中第一個方程的分離變量 形式的非零解。上式分別對 x 、 t 求偏導上面的結果，反回去代入原方程，得或 這樣，變量被分離了，同時得到兩個常微分方程！第25頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四二、捆綁邊界條件由于將其與方程組中的邊界條件捆綁由由其中， 。因為如果 ，則 所涉及的解，顯然不是我們所需要的（零解！）。 由此可見，只有 。將此結果與所得到的常微分方程中的第二個方程（關于x ）聯立組成了關于的本征值問題第26頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四三、在右列方程組中，解出非零的 。重復前面的討論,只有當 時, 本征

11、值問題才有非零解, 此時 的通解仍為 代入邊界條件: , 得由于 , 故 , 即從而求得了一系列本征值與本征函數本征值本征函數第27頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四四、回過頭來求函數將這些本征值, 代入關于T(t)的方程中, 其通解為將 和 一并代入 , 經整理后得到了既滿足泛定方程,又滿足邊界條件的一組分離變量形式的解關于 t 的關于 x 的第28頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四五、求滿足(捆綁)初始條件的解利用初始條件, 確定上面方程中的任意常數第29頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四故, 所求之解為第30頁，共6

12、4頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四對比：第31頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四第32頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四方程一的解方程二的解第33頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四第34頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四確定的時間t0確定的弦點弦的空間形狀是一條正弦曲線,其振幅與t0有關。弦點在其平衡位置附近作簡諧振蕩，其振幅與x0有關。討論:本征解的物理意義第35頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四第36頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期

13、四un(x,t)表示這樣一個運動：在考察的弦上各點，以同樣角頻率n作簡諧振動，各點處的初位相n也相同，而各點的振幅則隨點的位置改變而變化，此時振動的波形，在任何時刻都呈現正弦曲線。波節(jié)波腹第37頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四正弦曲線的零點:正弦曲線在 0, L 區(qū)間有n+1個零點, 即波形在該區(qū)間有n+1個節(jié)點 xm，第1個節(jié)點在x0=0，第n+1個節(jié)點在xn=L。 結論：有界弦自由振動的本征解為駐波。零點位置:討論:本征解為駐波第38頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四0 Lx0(駐波條件)(為波長)第39頁，共64頁，2022年，5月20日

14、，11點25分，星期四第40頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四“單模激光”是工作在單個本征態(tài)的典型的物理系統(tǒng)，單模激光的產生滿足“駐波條件”：激光諧振腔x駐波條件：腔長等于半波長的整數倍E單個本征態(tài)的例子：單模激光第41頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四x0 a x n=1n=2n=3勢阱中粒子的一個本征態(tài)對應于一個特定波長的駐波：單個本征態(tài)的又一個例子:勢阱粒子的幾率波第42頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四 每個本征解表示一個諧波, 第 n 個本征解表示 n 階諧波: 諧波的疊加給出一般波形:諧波與一般波形第43頁，共

15、64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四若弦還受到時空依賴的外力的作用(設弦單位長度受力為F(x,t)，其方向豎直于x軸): 0 xxu水平方向：沒有變化豎直方向：回顧受迫振動方程:第44頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四受迫振動方程注:齊次方程:只含有對u的各種運算非齊次方程：含有對 u 運算之外的項 f (x,t), 被稱為驅動項, 或自由項第45頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四長度為 L ，線密度為 ，且兩端固定的弦在某種介質中作微振動，設弦在介質中振動時受到的阻力與振動的速度成正比。已知弦振動的初始位移與初始速度分別為 和

16、，試求弦上任意點 x 在任意 時刻離開其平衡位置的位移 。例2：阻尼弦振動:第46頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四任意 t 時刻弦的形狀 : 0 xu弦振動時單位長度受到的阻力可以表示為L介質的阻力負號表述阻力與振動方向相反比例系數振動方向第47頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四現在阻尼弦振動：定解問題第48頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四雖然泛定方程比標準形式多了阻尼項 ，但仍然是線性齊次方程，而邊界條件是齊次的，故可以用分離變量法求解。令第49頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四通解：定解問題

17、的本征解：一般解：初始條件第50頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四10-14Lx弦的初始狀態(tài)弦左端點不固定 （左端的切線斜率為零）例5：弦振動第二類邊界條件第一類邊界條件L2L第51頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四cosL=0B=0第52頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四Dn=0弦的x=L端固定，x=0端在-1,1間振蕩。弦上任意點x以其初始位移cos(x/2L)為振幅，以a/4L為頻率作簡諧振蕩。在任意時刻t，弦在x=0端的斜率為零。第53頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四10-1Lx弦的初始狀

18、態(tài)弦兩端點不固定 （兩端的切線斜率為零）例6：弦振動（第二類邊界條件）第54頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四設方程（1）有分離變量解：代入方程（1）：兩邊對x求導數：設這一常數為-，則（4）（5）（6）分離變量：第55頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四將邊界條件（3）代入形式解（4），得到：這樣空間函數 X(x) 構成下列常微分方程的邊值問題:（8）（7）第56頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四 ：(9)的通解2. : (9)的通解(9)(10)有特解:X0(x) = A (常數)由(10)得 , 為了滿足邊界條件(10),必須有(平庸解 )但下面求解邊值問題:設第57頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四為了滿足邊界條件(10),必須有3. ,方程(9)的通解為(9)(10)求解邊值問題:設=2第58頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四第59頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四第60頁，共64頁，2022年，5月20日，11點25分，星期四兩邊比較系數初始條件10-1Lx結果弦上任意點x以其初始位移 為振幅，以 為頻率作簡諧振動第61頁，共64頁，2022年，5月20日，11