1、 第十三章 10/7/202210/7/20221 第十三章 10/3/202210/3/20221達朗伯原理由法國科學家達朗伯(J. le Rond DAlembert 1717-1783)在其著作動力學專論中提出。達朗伯原理將非自由質(zhì)點系的動力學方程用靜力學平衡方程的形式表述?；蛘哒f，將事實上的動力學問題轉(zhuǎn)化為形式上的靜力學平衡問題，既所謂“動靜法”。達朗伯原理由法國科學家達朗伯達朗伯原理將非自由質(zhì)點系的動力學Mlva n擺錘 M 受力如圖PT圖示錐擺，頂角為2，擺長為l，擺錘質(zhì)量m，在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，速度為v。令：形式上相當于靜平衡方程：13-1 慣性力的概念Mlva n擺錘 M

2、 受力如圖PT圖示錐擺，頂角為2，擺FgMlvPT稱為慣性力質(zhì)點的慣性力：大小等于質(zhì)量與加速度的積， 方向與其加速度反向。FgMlvPT稱為慣性力質(zhì)點的慣性力：大小等于質(zhì)量與加速度慣性力不是真實的力！慣性力又稱為牛頓慣性力！ 說明稱為慣性力質(zhì)點的慣性力：大小等于質(zhì)量與加速度的積， 方向與其加速度反向。慣性力不是真實的力！慣性力又稱為牛頓慣性力！ 說明A設(shè)質(zhì)點A的質(zhì)量為m，受力有主動力F、約束反力FN結(jié)論在質(zhì)點運動的任意瞬時，如果在其上假想地加上慣性力Fg，則此力與主動力、約束反力在形式上組成一平衡力系。這就是質(zhì)點的達朗伯原理。形式上的平衡方程Fga加速度為a，F(xiàn)NFAFNF令：13-2 達朗伯

3、原理一、質(zhì)點的達朗伯原理A設(shè)質(zhì)點A的質(zhì)量為m，受力有主動力F、結(jié)論在質(zhì)點運動的任意瞬（i =1，2，n）質(zhì)點系：有n個質(zhì)點；對于 第i個質(zhì)點，設(shè)：質(zhì)量為mi，主動力Fi ，約束反力FNi ，加速度為ai ，其達朗伯原理對整個質(zhì)點系來說，質(zhì)點系的達朗伯原理二、質(zhì)點系的達朗伯原理（i =1，2，n）質(zhì)點系：有n個質(zhì)點；對于 第i個質(zhì)點如第i個質(zhì)點受力內(nèi)力Fi (i)外力Fi (e)由于質(zhì)點系所以對整個質(zhì)點系來說， 質(zhì)點系達朗伯原理的另一種形式如第i個質(zhì)點受力內(nèi)力Fi (i)外力Fi (e)由于質(zhì)點系所可解決質(zhì)點系動力學的兩類基本問題；應用達朗伯原理的關(guān)鍵是：解決質(zhì)點系的慣性力系的簡化問題。應用質(zhì)點

4、系達朗伯原理說明可解決質(zhì)點系動力學的兩類基本問題；應用質(zhì)點系達朗伯原理說明例16-1 圖示飛輪質(zhì)量為m，平均半徑r，以勻角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動。設(shè)輪緣較薄，質(zhì)量均勻分布，輪輻的質(zhì)量可以忽略。若不考慮重力的影響，求輪緣各橫截面的張力。例16-1 圖示飛輪質(zhì)量為m，平均半徑r，以勻角速度繞其BAFgixyo解：用假想截面A、B 截取一半為研究對象。質(zhì)點系達朗伯原理：TBds = r d 段上的慣性力為：FgiY = 0dTABAFgixyo解：用假想截面A、B 截取一半為研究對象。質(zhì)13-3 剛體慣性力系的簡化一、剛體作平動miCFg慣性力組成一同向平行力系。m1簡化結(jié)果：過質(zhì)心的合力平動剛體：慣性

5、力系為過質(zhì)心的合力，大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與加速度方向相反。aiaCFgiFg1各質(zhì)點上的慣性力13-3 剛體慣性力系的簡化一、剛體作平動miCFg例16-2 已知邊長b=100mm的正方形均質(zhì)板的質(zhì)量為40kg，在鉛直面內(nèi)用三根軟繩拉住， 求(1)當軟繩FG被剪斷的瞬時，板的加速度 及AD、 DE兩繩的張力； (2)當AD、DE兩繩鉛直時，板的加速度和兩繩的張力。FGADEB6060CFG例16-2 已知邊長b=100mm的正方形均質(zhì)板的質(zhì)量為40ADEB6060mgC解：(1)繩FG被剪斷后，板在其自身平面內(nèi)作曲線平動，各點的速度、加速度均相同。b剪斷繩FG瞬時，vA= 0

6、， aA = aA = aC板的慣性力，則根據(jù)達朗伯原理，有X = 0，Y = 0，MC ( F ) = 0，解得FA = 72 N,FB = 268 Na = 4.9 m/s2,FAFBFgFg = maCmgcos60Fg = 0FA+FBmgsin60 = 0bxyADEB6060mgC解：(1)繩FG被剪斷后，板在其自ABC需補充方程。mgFA(2)當AD、BE鉛直時,板受力如圖。FB設(shè)板質(zhì)心的加速度如圖。虛加板的慣性力系，且FgaCaCn則根據(jù)達朗伯原理，有Fgn=maCn ，F(xiàn)g =maCX = 0，Y = 0，MC ( F ) = 0，F(xiàn)g = 0FA+ FB mgFgn = 0

7、根據(jù)動能定理，有FA =FB=248.5 NFgnABC需補充方程。mgFA(2)當AD、BE鉛直時,板受力如SzriCC為剛體的質(zhì)心。OCi二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體具有與轉(zhuǎn)軸垂直的質(zhì)量對稱面剛體轉(zhuǎn)動時，每根單元體均作圓周運動Fgi = mi riFgin = mi2 ri式中質(zhì)量對稱面S與轉(zhuǎn)軸z垂直并交于O點SzriCC為剛體的質(zhì)心。OCi二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體zriCOCi慣性力系的主矩慣性力系的主矢為aCaCnFgFgn轉(zhuǎn)向與相反現(xiàn)將上述平面慣性力系向已知點O簡化Fgi = mi riFgin = mi2 rizriCOCi慣性力系的主矩慣性力系的主矢為aCaCn二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體具有

8、與轉(zhuǎn)軸垂直的質(zhì)量對稱面慣性力系的主矩慣性力系的主矢為轉(zhuǎn)向與相反二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體具有與轉(zhuǎn)軸垂直的質(zhì)量對稱面慣性力系的AO解： OA桿作定軸轉(zhuǎn)動,角速度為零，角加速度為該桿的慣性力系向O軸簡化的結(jié)果為MgO例16-3均質(zhì)桿OA質(zhì)量為m，長為l，可繞O軸轉(zhuǎn)動。圖示瞬時，角速度為零，角加速度為，求該瞬時桿的慣性力系向O軸簡化的結(jié)果，并畫出慣性主矢和慣性主矩的方向。AO解： OA桿作定軸轉(zhuǎn)動,角速度為零，角加速度為該桿的慣 討論若該均質(zhì)桿由水平位置自由轉(zhuǎn)動至 角處，則此瞬時桿的慣性力系向O軸簡化的結(jié)果又將如何? 并畫出慣性主矢和慣性主矩的方向。由動能定理可得求導得該桿的慣性力系向O軸簡化的結(jié)果為M

9、gO 討論若該均質(zhì)桿由水平位置自由轉(zhuǎn)動至 角處，則此瞬時例16-4 簡支梁AB重W，輪盤重Q ，輪盤半徑為r，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為J，重物重 P 。在輪盤的軸承上裝有電機，通電時的驅(qū)動力矩為M。求重物提升的加速度a及支座A、B的反力。ABOMP例16-4 簡支梁AB重W，輪盤重Q ，輪盤半徑為r，對OPMQABOM加慣性力Fg ，慣性力矩Mg解：研究輪盤及重物系統(tǒng)， 進行受力分析。已知梁W, 輪盤Q, r, J, 重物 P 。驅(qū)動力矩M。求重物a及A、B的反力。根據(jù)質(zhì)系達朗伯原理,有 QWPXOYOFgMgaOPMQABOM加慣性力Fg ，慣性力矩Mg解：研究輪盤及重ABOOPMQXOYOFgM

10、gXOYOABOOPMQXOYOFgMgXOYOABOM對整體，受力分析（慣性力）WPFgMgFBFA yFAxABOM對整體，受力分析（慣性力）WPFgMgFBFA yF理論力學課件-16達朗伯理論力學課件-16達朗伯OAB例16-5 圖示均質(zhì)桿AB的長度為l，質(zhì)量為m，可繞O軸在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動，OA=l/3，用細線靜止懸掛在圖示水平位置。若將細線剪斷，AB桿運動到與水平線成角時轉(zhuǎn)軸O處的反力。OAB例16-5 圖示均質(zhì)桿AB的長度為l，質(zhì)量為m，可繞解：質(zhì)心的加速度為已知AB桿長l，質(zhì)量m，OA=l/3，求剪斷繩后運動至角時轉(zhuǎn)軸O處的反力OABC解：質(zhì)心的加速度為已知AB桿長l，質(zhì)量m，OA

11、=l/3，求剪COXOYOOmgFgFgnMgO對整體，受力分析（慣性力）COXOYOOmgFgFgnMgO對整體，受力分析（慣性達朗伯原理表達式:X = 0，Y = 0，MO( F ) = 0，分離變量、積分得最后解得XO+Fg sin +Fgn cos =0YOmg +Fg cos Fgnsin =0式代入式得COXOYOOmgFgFgnMgO達朗伯原理表達式:X = 0，Y = 0，MO( F 本例為求解角速度，對角加速度進行了積分運算也可用動能定理解出角速度，再用剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程解得，然后用達朗伯原理求解XO 、YO ，也很方便。實際上，先用動力學普遍定理求出各運動量，然后用達朗伯

12、原理去求約束反力，是比較通行的做法。 討論COXOYOOmgFgFgnMgO本例為求解角速度，對角加速度進行了積分運算也可用動能定理C簡化到對稱面的慣性力系分為兩部分：Fg = maC MgC= JC MgCFgaC三、剛體作平面運動時慣性力系的簡化剛體運動時其質(zhì)心所在平面與運動面重合。將慣性力系向質(zhì)心簡化，導出慣性力系的主矢和主矩。隨質(zhì)心的平移和相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。C簡化到對稱面的慣性力系分為兩部分：Fg = maC M剛體作平面運動時慣性力系的簡化的結(jié)論CMgCFgaCFg = maC MgC= JC 慣性力：過質(zhì)心，大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向與質(zhì)心的加速度方向相反；慣性力偶：

13、矩值等于對通過質(zhì)心且垂直于對稱面的軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，其轉(zhuǎn)向與角加速度方向相反。剛體作平面運動時慣性力系的簡化的結(jié)論CMgCFgaCFg例16-6 均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為m，在重力作用下沿傾角為的斜面向下作純滾動，求圓輪輪心的加速度及斜面的摩擦力例16-6 均質(zhì)圓輪半徑為r，質(zhì)量為m，在重力作用下沿傾角加慣性力： 已知輪 m, r, 純滾, ,求輪心加速度、斜面的摩擦力。解：mg分析運動：慣性力偶： FNFSFgMgCP受力分析（慣性力）加慣性力： 已知輪 m, r, 純滾, ,求輪心加速度達朗伯原理方程 解得 mgFNFSFgMgCA達朗伯原理方程 解得 mgFNFSFgMgCA

14、C M eOr分析偏心輪作平面運動，本題可用剛體平面運動微分方程來求解；現(xiàn)考慮用達朗伯原理來求解，關(guān)鍵是如何加慣性力系？例16-7 圖示偏心輪質(zhì)量為m = 30Kg，半徑r = 0.25 m ，偏心距 e = 0.1 m ，對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑=0.2m 。在常力偶矩M =30Nm的作用下，沿水平地面作純滾動。在圖示瞬時，輪的角速度為=4rad/s，試求該瞬時輪心O的加速度、地面對輪的約束反力C M eOr分析偏心輪作平面運動，本題可用剛體平面運動 OC已知m=30Kg，r=0.25m，e=0.1m，對質(zhì)心C：=0.2m。M=30Nm，=4rad/s，求aO及地面對輪的約束反力。解：設(shè)圖示瞬時，其

15、角加速度為以O(shè)為基點，質(zhì)心的加速度為aOaOaCyaCx OC已知m=30Kg，r=0.25m，e=0.1m，對質(zhì)M COMgCmgNFF g xF g y受力分析（慣性力）M COMgCmgNFF g xF g y受力分析（慣性力）FFg x = 0MgCM+ Fg x r+ Fg y e mge=0F = m(re2) =110.7 NaO = r = 5.29 m/s2N = m(ge ) = 230.5 NNmg +Fg y= 0達朗伯原理方程 M COMgCmgNFF g xF g yAFFg x = 0MgCM+ Fg x r+ Fg y 例16-9 均質(zhì)鼓輪鉸接在懸臂梁AB的B端

16、，在常力矩M的作用下牽引均質(zhì)輪C在AB上純滾動。已知鼓輪、圓輪的質(zhì)量、半徑均為m、r，懸臂梁的長度為l，單位長度自重為q。求圓輪中心C運動到梁的中間位置時，固定端A的約束反力rrABmmqCM 例16-9 均質(zhì)鼓輪鉸接在懸臂梁AB的B端，在常力矩M的解：加速度分析 rrABmmCa C已知 兩輪m ，r ；梁 q，l；力矩M，求圖示位置A端的約束反力受力分析（慣性力）ABCM M g C MA mgqM g B F A yF A xmgF g C解：加速度分析 rrABmmCa C已知 兩輪m ，r ；梁ABCM M g C MA mgqM g B F A yF A xmgF g C平面力系，

17、四個未知量，需補充方程。根據(jù)動能定理：ABCM M g C MA mgqM g B F A yF ABCM M g C MA mgqM g B F A yF A xmgF g C取整個系統(tǒng)為研究對象，有FAy2mg ql =0FAx FgC = 0ABCM M g C MA mgqM g B F A yF 討論 在求出角加速度后，也可取AB梁為研究對象，計算約束反力，但需求出鼓輪的約束力及圓輪的法向反力N和摩擦力F，不如上述解法簡便； 本題還可完全用達朗伯原理求解，分別以輪B和輪C為對象求出角加速度后，再求固定端A的約束力和約束反力偶，比較麻煩。 求解本題的其它方法ABCM M g C MA

18、mgqM g B F A yF A xmgF g C 討論 在求出角加速度后，也可取AB梁為研究對象，計算13-4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力轉(zhuǎn)子：工程實際中，通常將轉(zhuǎn)動機械的轉(zhuǎn)動部分稱為轉(zhuǎn)子靜壓力：轉(zhuǎn)子靜止時作用于軸承上的力轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)時，這種偏心、偏角誤差將產(chǎn)生相應的慣性力，引起零件損壞或劇烈的振動動壓力：轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)時作用于軸承上的力附加動壓力 =動壓力 - 靜壓力偏心距：轉(zhuǎn)子的質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離偏角：轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對稱面的法線與轉(zhuǎn)軸的夾角13-4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力轉(zhuǎn)子：工程實際中，通常CABmmll解：研究小球系統(tǒng)，受力如圖。FAXBYBmgmgFg2Fg1Fg1 = Fg2 = m2l由達朗

19、伯原理FA +XB Fg1 + Fg2 = 0YB mg mg = 0XB AB = 0FA = 0YB = 2mgXB =0可見，在這種情況下，軸承動反力與靜反力相同！已知兩小球質(zhì)量均為 m ，以長為 2l 的細桿相連，繞 z 軸勻速轉(zhuǎn)動，角速度為。若兩球的中心連線垂直于 z 軸，且質(zhì)心 C在 z 軸上，求軸承 A、B 反力。hhCABmmll解：研究小球系統(tǒng)，受力如圖。FAXBYBmgCABm2mll已知兩小球質(zhì)量為 m和 2m ，以長為 2l 的細桿相連，繞 z 軸勻速轉(zhuǎn)動，角速度為。若兩球的中心連線垂直于 z 軸，求軸承 A、B 反力。hhCABm2mll已知兩小球質(zhì)量為 m和 2m

20、，以長為 2llCABmmehhllCABmmehhXB= mge/h -m2eFg1 = m2(le)Fg2 = m2(l + e)YB= 2mg再看偏心與偏角的情形偏心而不偏角llCABmmehhFAXBYBmgmgFg2Fg1FA +XB Fg1 + Fg2 = 0YB mg mg = 0(Fg2- Fg1)h+2hXB-mg(l+e)+ mg(l-e)= 0FA +XB m2(le) + m2(l + e) = 0FA = -mge/h -m2eXB= mge/h -m2eFg1 = m2(le)FFg1 = Fg2 = m2lsinFA = XB = m2l2 (sin cos )/hYB = 2mg偏角而不偏心CABmmFg2Fg1FAXBmgmgYBXB -FA -Fg1 + Fg2 = 0YB mg mg = 0Fg22lcos -2hXB= 0XB= m2l2 (sin cos)/hFg1 = Fg2 = m2lsinFA = XB = 通過質(zhì)心的慣性主軸，稱為中心慣性主軸避免出現(xiàn)軸承附加動反力的條件:剛體的