1、數(shù)的整（ ）最大公數(shù)、最公倍數(shù)教室姓名學(xué)號(hào)【知識(shí)點(diǎn)】1、幾個(gè)數(shù)有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù) 的最大公因數(shù)。自然數(shù) 、 的最大公因數(shù)記作（a，b2、幾個(gè)數(shù)有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù) 的最小公倍數(shù)。自然數(shù) 、 的最小公倍數(shù)記作a，b3、兩個(gè)自數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)：（1，ba，b=ab；（2）若 ，則 與 b 的最大公因數(shù)就等于 a b 的最大公因數(shù)。（3） 與 b 最大公因數(shù)，等于 與 b 的最大公因數(shù)。【典型例題】例 甲數(shù)是 ，甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是 ，最大公因數(shù)是 4 ，求乙 數(shù)。解：由性質(zhì)（ 1 ）得到乙數(shù) 424

2、例 將長為 90 厘米，寬為 42 米的長方形鐵皮剪成邊長是整厘米數(shù)，面 積相等的正方形鐵皮，恰無剩余，問至少剪成多少塊？42（66）=105 （塊 .例 馬鵬和李虎計(jì)算甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個(gè)位數(shù)字看 錯(cuò)了，得乘積 ；李虎把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯(cuò)了，得乘積 ，那么甲、 乙兩數(shù)的乘積應(yīng)是多少？解 與 的最大公因是 11 是質(zhì)數(shù)所以乙數(shù)是 ，407 3711 ，所以甲數(shù)是 ，甲乙兩數(shù)的乘積應(yīng)為： 或 1477=477.例 有一種自然數(shù)，它加上 1 是 2 的數(shù)，加上 2 是 3 倍數(shù)，加上 3 是 4 的倍數(shù)，加上 4 是 5 的倍數(shù)，加上 5 是 6 的倍數(shù)，加上 6 是 的倍數(shù)，則

3、 這種自然數(shù)中除 1 外，最小數(shù)是多少？解：根據(jù)已知，若這個(gè)數(shù)分別加上 1 、4 、5 是 2 、5 、6 的倍數(shù)，求這個(gè)數(shù)最小是多少，即這個(gè)數(shù)是 2 ，3 ，5 ，6 ，7 的最小公倍 數(shù)加上 1. ，4，5，6，7=420， 最小數(shù)是：420+1=421。 【精英班例 5兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)是 這兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最 大公因數(shù)，得到兩個(gè)商的和是 ，請(qǐng)寫出這兩個(gè)整數(shù)。解：1925=55711 ，兩個(gè)商都是 1925 的因數(shù)，互質(zhì)，而且和為 16，所以 這兩個(gè)商分別為 511. 即：19255=385， 1925【競賽班】例 6、大雪后的一天，小明和爸爸共同步測(cè)一個(gè)環(huán)形花圃的周長。他 倆的

4、起步和走的方向完全相同明的平均步長 54 厘米爸平均步長 72 米， 由于兩人的腳印有重合，并且他們走了一圈后都回到起點(diǎn)，這時(shí)雪地上只留下 60 腳印，這個(gè)花圃的周長是多少米？解據(jù)題意從第一個(gè)腳印重合到下一個(gè)重合腳印點(diǎn)的路程長度是他們步長的最 小公倍數(shù)72 在這 厘米的路程中小明留下 個(gè)腳印， 爸爸應(yīng)留下 21672=3 個(gè)腳印由于兩人最后重合了一個(gè)腳印所以雪地上實(shí)際 只留下 4+31=6 腳印。周長：（606=2160 厘米=21.6 米。 【課后層練習(xí)】A 組：入門級(jí)1. 甲數(shù)是 ，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是 ，最大公因數(shù)是 4 ，乙數(shù)應(yīng)該 是多少？解：甲數(shù)乙數(shù) 4 所以乙數(shù) =288 2.

5、兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是 ，最小公倍數(shù)是 126. 這兩個(gè)數(shù)的和是多少？ 解 2123，所以這兩個(gè)數(shù)是 212 213 ；或 21 與 21 6 從而這兩個(gè)數(shù)的和是： 212+21 或 21+21 6=147.3. 從運(yùn)動(dòng)場(chǎng)一端到另一端全長 96 米一端起到另一端每隔 4 米插一面小 紅旗?，F(xiàn)在要改成每隔 6 米一面小紅旗，問可以不拔出來的小紅旗有 多少面？解：因?yàn)?，4 ，可以不拔出來的小紅旗有 9612+1=9 （面） 4. 三位小朋友每人隔不同的天數(shù)到圖書館一次：甲隔 2 去一次，乙隔 3天去一次，丙隔 4 天去一。上次他們?cè)谛瞧诙趫D書館相遇，還要多 少天他們才能再在圖書館相遇；相遇時(shí)是星

6、期幾？解： 3 ，5 =60 ；還要 60 天再次在圖書館相遇。60 周 4 天；相遇時(shí)是星期六。5. 四個(gè)自然數(shù)的和為 1111 ，這四個(gè)數(shù)的公因數(shù)最大是幾？解 1111=11 101 ，四個(gè)數(shù)的公因數(shù)必是其和的因數(shù)，故公因數(shù)最大不超 過 ，又 1+2+3+5=11 所以 ，202 ，303 ，505 這四個(gè)數(shù)的和為 1111 ， 且它們的最大公因數(shù)為 101.B ：進(jìn)階級(jí)1、甲、乙、丙三人繞操場(chǎng)競走，他們走一圈分別需要 分1 15 和 1 分 30 秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì)？解：甲、乙、丙一圈分別需 秒、75 和 秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會(huì)，即三 人都要走整圈數(shù)，

7、所以需要的時(shí)間應(yīng)是 ， 的公倍數(shù)。所求時(shí)間為 7590=900（秒）（分2、用自然 a 除 ，450，414，得到相同的余數(shù)，a 最大是多少？解：因 498，450，414 以 a 所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng) 能被 a 整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84所求數(shù)是（48，84） =12。3、用 60 錢可以買一級(jí)茶葉 克，或買二級(jí)茶葉 180 克，或買三級(jí)茶葉 240 克現(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋要求每袋的價(jià)格都相等那么每袋的價(jià) 格最低是多少元錢？解，180240） ，即每 的茶葉分裝成 12 ，每袋的價(jià)格 最低是 6012=5（元4、一組

8、五連續(xù)自然數(shù)的和能分別被 2，3，4，5，6 整除，求滿足此條件的最 小一組數(shù)。解：由于 23，4，5，6 的最小公倍數(shù)是 得這五個(gè)數(shù)的和為 60 的倍數(shù)，即 至少為 6060，得 10+11+12+13+14=60,故滿足條件的最一組數(shù)為 、 11、。C ：挑戰(zhàn)級(jí)1、在一 3024 的方格紙上畫一條對(duì)角線（見下頁上圖），這條對(duì)角線除兩個(gè) 端點(diǎn)外，共經(jīng)過多少個(gè)格點(diǎn)（橫線與豎線的交叉點(diǎn)）？解30，24）=6，說明如果將方紙橫、豎都分 6 ， 即分成 個(gè)相同的矩形，那么每個(gè)矩形是由（306）（）（個(gè)）小方格組成。在 66 的簡化圖中，對(duì)角線也是它所經(jīng)過 的每一個(gè)矩形的對(duì)角線，所以經(jīng)過 5 個(gè)格點(diǎn)（

9、見左下圖）。在對(duì)角線所經(jīng)過的每一個(gè)矩形的 54 個(gè)小方格中，對(duì)角線不經(jīng)過任何格點(diǎn)（見右下圖）。所以，對(duì)角線共經(jīng)過格點(diǎn)（30，24）-1=5（個(gè)）。2、爺爺對(duì)小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的 倍，過幾年是你的 6 倍，再過若干 年就分別是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？解爺和小明年齡隨著時(shí)間的推移都在變化他們的年齡差是保持不變的。 爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的 7 倍說明他們的年齡差是 6 的倍數(shù)同理他們的年 齡差也是 5，4，3，2，1 的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是 6，5，4，3，2 的公倍數(shù)。6，5，4，3，2=60，爺爺和小明的年齡差是 60 的整數(shù)倍。考

10、慮到年齡的實(shí)際情況，爺爺與小明的年 齡差應(yīng)是 60 歲以現(xiàn)在小明的年齡=（7-1年齡=107=70 （歲）。3、已知 a 與 b，a 與 c 的最大公約數(shù)分別是 和 15，a，b，c 的最小公倍數(shù)是 120，求 a，b，c。解為 12 是 a 的約數(shù)以 a 應(yīng)當(dāng)是 與 15 的公倍數(shù)是1215=60 的倍數(shù)。再由a，b，c=120 ， 只能是 60 或 120。a，說明 c 沒有質(zhì)因數(shù) 2，又因?yàn)閍，b，c=120=235，所以 c=15。因?yàn)?a 是 c 的倍數(shù)，所以求 ，b 的問題可以簡化為：“a 是 或 120（a，b） =12b=120 a a=60 時(shí)， aba=1212060=24

11、； 當(dāng) a=120 時(shí)，b=（a，b）a，ba=12120120=12。所以 a，b，c 為 60， 24，15 或 120，12，15。最大公約數(shù)最小公倍數(shù)一）教目標(biāo)：1通過學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的條件與問題的全面分析，培養(yǎng)學(xué)2通過比較與辨析，使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌“最數(shù) 3培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的空教過程：一基本概知如果個(gè)自然數(shù) a 能被自然數(shù) 除，那么 a 為 b 的倍數(shù)， a 約數(shù)。 如果個(gè)自然數(shù)同是若干自然數(shù)的約，那么這個(gè)自然數(shù)這若干自然數(shù)的 公約數(shù)在所有公約中最大一個(gè)公約數(shù)稱為這干個(gè)自然數(shù)最大公數(shù)。 例如：12約數(shù)有：1，2，3，4，6，12;18約數(shù)有：1，2，3，6，9

12、，18自然 a a 1 2 , 的最大公約數(shù)通常用符號(hào) a , n , ）表示，例如和的公約數(shù) n有：1，2，3，6.其中6是1218最大公約數(shù)，記作(12，。（8，），）。如果個(gè)自然數(shù)同是若干自然數(shù)的倍，那么這個(gè)自然數(shù)這若干自然數(shù) 的公倍。在所有公數(shù)中最的一個(gè)公倍，稱為若干個(gè)自然的最小倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，8418的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，自然數(shù)a a 1 2 , n的最小公倍數(shù)通常用符號(hào)a , ,1 an表示，例如12和18的公倍數(shù)有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作12，18=36。8，12=24，6，15=90。

13、如果兩數(shù)的最大公數(shù)是 1那么這個(gè)數(shù)做互質(zhì)。常用的最大公約數(shù)最小公數(shù)的方法是解質(zhì)因法和短除法 用短除求若干個(gè)數(shù)最大公數(shù)與最小公數(shù)的區(qū)：求 n 數(shù)的最公約數(shù)1） 必須 n2） 一直 3） n 1） 必須 n n去 1 以外 除 1 以外的公約 2） 只要 3） 個(gè)例 1 用 60 元錢可以買一級(jí)茶葉 144 克買二級(jí)茶葉 克買三級(jí)茶葉 克。 現(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋要求每袋的價(jià)格都相等么每袋的價(jià)格最低是多少 元錢？分析與： 因?yàn)?144 克一級(jí)茶葉、180 克二級(jí)茶葉、 克三級(jí)茶葉都是 60 元，分裝后 每袋的價(jià)格相等所以 144 一級(jí)茶葉180 二級(jí)茶葉240 克三級(jí)茶 葉分裝的袋數(shù) 應(yīng)相

14、同，即分裝的袋數(shù)應(yīng) 144，180，240 的公約數(shù)。題目要求每袋的價(jià)格盡量低，所以 分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，應(yīng)是 144，180，240 的最大公約數(shù)。是 144，180 的最大公 約數(shù)。所以（144，180，240）=223=12即 60 元的茶葉分裝成 12 袋，每袋的價(jià)格最 低是 6012=5（元）。例 2 自然數(shù) a 去除 ，450，414，得到相同的余數(shù)，a 最大是多少？分析與 ：因?yàn)?498，450，414 除以 a 所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約 數(shù)應(yīng)能被 a 整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求數(shù)是（，36，84）=12。例 3 現(xiàn)

15、有三個(gè)自然數(shù)，它們的和是 1111，這樣的三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的 可以是多少？分析與 ： 只知道三個(gè)然數(shù)的和，不知道三個(gè)自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大 公約數(shù)只能從唯一的條件“它們的和是 1111”入手分析三個(gè)數(shù)的和是 它們 的 公約數(shù)一定是 1111 的約數(shù)。因?yàn)?1111=10111，它的約數(shù)只能是 1，11，101 和 1111， 由于三個(gè)自然數(shù)的和是 1111，所以三個(gè)自然數(shù) 都小于 1111，1111 不可能是三個(gè)自然數(shù) 的公約數(shù)，而 101 是可能的，比如取三個(gè)數(shù)為 101 和 909。所以所求數(shù)是 。例 在一個(gè) 3024 的方格紙上畫一條對(duì)角線（下頁上圖），這條對(duì)角線除兩個(gè)

16、端 點(diǎn)外，共經(jīng)過多少個(gè)格點(diǎn)（橫線與豎線的交叉點(diǎn)）？分析與 ：（30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成 6 份，即分成 66 個(gè)相同 的矩形，那么每個(gè)矩形是由（306）（246）=54（個(gè)）小方格組成。在 66 的簡化圖中，對(duì)角線也是它所經(jīng)過的每一個(gè)矩形的對(duì)角線，所 以經(jīng)過 5 個(gè)格點(diǎn)（見左下圖）。在對(duì)角線所經(jīng)過的每一個(gè)矩形的 個(gè)小方格中，對(duì)角 線不經(jīng)過任何格點(diǎn)（見右下圖）。所以，對(duì)角線共經(jīng)過格點(diǎn)（30，24）-1=5（個(gè)）。例 甲、乙、丙三人繞操場(chǎng)競走，他們走一圈分別需要 分、1 分 15 秒和 1 分 30 秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì)？分析與 ：甲、乙、

17、丙走圈分別需 60 秒、75 和 90 秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會(huì)，即 三人都要走整圈數(shù)以需要的時(shí)間應(yīng)是 60 的公倍數(shù)時(shí)間為60 （秒）=15（分）。例 爺爺對(duì)小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的 7 倍過幾年是你的 6 倍，再過若干年 就分別是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。”你知道爺爺和小明現(xiàn)在的年齡嗎？分析與 ：爺爺和小明的齡隨著時(shí)間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不 變的爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的 7 倍說明他們的年齡差是 6 的倍數(shù)同理他們的年齡 差也是 5，4，3，2，1 的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是 6，5，4，3，2 的公倍數(shù)。6，5，4，3，2=60，爺爺和小明的年齡差是 60

18、 的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實(shí)際情況，爺爺與小明的年齡差應(yīng)是 60 歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60（7-1）=10（歲），爺爺?shù)哪挲g=107=70（歲）。二、隨練習(xí)最大公約數(shù)最小公倍數(shù)二）摘要：這一講主要講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對(duì)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的 概念加以推廣。在求 18 與 12 的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時(shí)，由短除法可知，（18，12）=23=6，18。如果把 18 與 12 的最大公約 數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么（18，12，12=（23）=（233）=1812。也就是說，18 與 12 的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于 與 12 的乘積。當(dāng)把 18， 12 換成其它自然數(shù)時(shí)

19、，依然有類似的結(jié)論。從而得出一個(gè)重要結(jié)論：兩個(gè)自數(shù)的最大公數(shù)與最公倍數(shù)的乘，等于兩個(gè)自然數(shù)乘積。， 例 1 兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是 6，最小公倍數(shù)是 72。已知其中一個(gè)自然數(shù)是 18， 求另一個(gè)自然數(shù)。解： 由上面的結(jié)論，另一個(gè)自然數(shù)是（672）18=24。例 2 兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是 7，最小公倍數(shù) 210。這兩個(gè)自然數(shù)的和是 77，求 這兩個(gè)自然數(shù)。分析與： 如將兩個(gè)自然數(shù)都除以 7，則原題變?yōu)椋骸皟蓚€(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是 1，最小公倍數(shù)是 30。這兩個(gè)自然數(shù)的和是 11，求這兩個(gè)自然數(shù)?！备淖円院蟮膬蓚€(gè)數(shù)的乘積是 130=30，和是 。30=130=215=310=56，由上式知，

20、兩個(gè)因數(shù)的和是 11 的只有 56且 5 與 6 互質(zhì)。因此改變后的兩個(gè) 數(shù)是 5 和 6，故原來的兩個(gè)自然數(shù)是75=35 和 76=42。例 3 已知 a 與 b 與 c 的最大公約數(shù)分別是 12 15 的最小公倍數(shù)是 ， 求 a，b，c。分析與： 為 12，15 是 a 的約數(shù)，所以 a 應(yīng)當(dāng)是 12 與 15 的公倍數(shù)，即是12， 15=60 的倍數(shù)。再由a，c=120 知， a 只能是 60 或 120。a，c=15，說明 c 沒有質(zhì)因數(shù) 2，又因?yàn)閍，b，c=120=2335，所以 。因?yàn)?a 是 c 的倍數(shù)，所以 a 的問題可以簡化為“a 是 60 或 120（a）=12， a，b

21、=120，求 a，b?！碑?dāng) a=60 時(shí)， b=（a，b）a，ba=1212060=24；當(dāng) a=120 時(shí)，b=（a，b，ba=12120120=12。所以 a，c 為 60 或 120，12，15。要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶 中，每個(gè)小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？分析與： 果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三 種溶液重量的 最大公約數(shù)?，F(xiàn)在的問題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個(gè)問題，可以將重量 分別乘以某個(gè)數(shù)，將分?jǐn)?shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個(gè)數(shù)。 為此，先求幾個(gè) 分母的最小公倍數(shù)，6，4，9=36，三種溶液的重量都乘以 36 后，變?yōu)?150，135 和 80，（150，135，80）=5。上式說明，若三種溶液分別重 150，135，80 千克，則每瓶最多裝 5 千克?？蓪?shí)際重 量是 150，135，80 的 1/36，所以每瓶最多裝在例 ，現(xiàn)了與數(shù)的大公約類似的分?jǐn)?shù)題。此，們將最公約數(shù)的 概念推到分?jǐn)?shù)中。果若干