1、4 積分方程的近似解法 對(duì)Fr方程的線性代數(shù)方程組的逼近法 Fr方程 （1）可按形式 （2）來逼近，其中xk(k=1,2,n)是區(qū)間a,b上n個(gè)適當(dāng)選定的求積節(jié)點(diǎn)，常數(shù)k是對(duì)應(yīng)的求積系數(shù)。如果要求在每點(diǎn)xk(k=1,2,n)處，（2）式兩邊相等，則得到關(guān)于n個(gè)未知函數(shù)y(x1),y(x2),y(xn)的n個(gè)線性方程： （3）式中y(xi)(i=1,2,n)為未知函數(shù)y(x)分別在n個(gè)點(diǎn)xi(i=1,2,n)處指定的近似值。若令（3）可改寫為 (i=1,2,n)寫成矩陣形式為y=F+KWy或 Ay=F （4）式中A=I-KW,I為n階單位矩陣，K=（Kij），W為對(duì)角線矩陣W=1,2,n,y=(

2、y1,y2,yn),F=(F1,F2,Fn) 例 解第二類Fr方程解 1 在這個(gè)特例中，積分方程可化為具端點(diǎn)條件y(0)=0,y(1)=1的微分方程其精確解為 2 用逼近法來求近似解。取n=5個(gè)等距節(jié)點(diǎn)：可以算出矩陣K 為如果采用梯形法求積，那么求積系數(shù)的對(duì)角線矩陣W為W= 由于=1，則而 解線性方程組，計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后四位得到y(tǒng)1=0, y2=0.2943, y3=0.5702, y4=0.8104, y5=1與精確解y(x)在點(diǎn)x=0,和1的值y1=0, y2=0.2940, y3=0.5697, y4=0.8100, y5=1進(jìn)行比較，可以看到誤差程度。上述方法顯然可以用來求第一類Fr方程

3、的近似解，以及處理特征值的問題。應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)核K(x,)不是以分析表達(dá)式給定，而由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定時(shí)，上述方法特別有用。待定系數(shù)逼近法 為了求積分方程 （1）的解，可適當(dāng)選擇n個(gè)函數(shù)，用它們的線性組合來逼近 其中n個(gè)系數(shù)ak（k=n）可以這樣決定：使這個(gè)線性組合盡可能近似地滿足（1），即 （axb）令上式變成 （axb） （2）待定系數(shù)a1,a2,an可由n個(gè)條件決定，方法如下： 1 配置法 令 （axb） （3）為決定這n個(gè)常數(shù)a1,a2,an，在區(qū)間a,b上適當(dāng)選擇ax1x2xnb(xi稱為配置點(diǎn))，使 （i=1,2,n）其矩陣形式為 =F (4)式中=(ij)=(j(xi),F=(F(x1)

4、,F(x2),F(xn)為已知量， =（1,2,n線性方程組（4）便得到所求的系數(shù)1,2,n。2 權(quán)函數(shù)法 設(shè)1(x),2(x),n(x)為區(qū)間a,b上n個(gè)線性無關(guān)的函數(shù)（稱為權(quán)函數(shù)）。為決定系數(shù)1,2,n，可以要求（3）式兩邊之差與這n個(gè)權(quán)函數(shù)正交，即使得 (i=1,2,n)其矩陣形式為 A=b (5)式中 為已知量， =（1,2,n為未知量。解線性方程組（5）便得到所求的系數(shù)1,2,n。通常選取權(quán)函數(shù)i(x)與近似函數(shù)i(x)恒等比較方便，一般都取為1,x,x2,xn1核的逼近法 1指出Fr方程的核可用x和的一個(gè)多項(xiàng)式或一個(gè)更一般形式的可分離核來逼近，并用那里的方法來解所得的近似方程。例 積分方程 (1)中的核可用多項(xiàng)式A1+A2x+A3x2或更適當(dāng)?shù)男问絰(1-x)(B1+B2x+B3x2)來逼近，其中A,B為包含的參數(shù)，采用權(quán)函數(shù)或配置點(diǎn)可決定A與B。 首先取一個(gè)粗糙的逼近形式它在端點(diǎn)x=0和x=1是精確的，為決定系數(shù)B，可要求在0,1上核的積分等于它的近似表達(dá)式的積分，即直接計(jì)算得B=1-)并把對(duì)應(yīng)的近似核代入(1)導(dǎo)出近似積分方程 (2)令(2)式化為 y(x)=x+3cx(1-x) (3)為了決定c