1、第五章 現代控制技術設線性定常系統(tǒng)被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程為式中，x(t)是n維狀態(tài)向量；u(t)是r維控制向量；y(t)是m維輸出向量；A是nn維狀態(tài)矩陣；B是nr維控制矩陣；C是nm維輸出矩陣。(5.1.1)5.1 采用狀態(tài)空間的輸出反饋設計法第五章 現代控制技術設線性定常系統(tǒng)被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程為采用狀態(tài)空間的輸出反饋設計法的目的是：利用狀態(tài)空間表達式，設計出數字控制器D(z)，使得系統(tǒng)輸出y(t)經過N拍后，跟蹤參考輸入函數r(t)的瞬變響應時間為最小。采用狀態(tài)空間的輸出反饋設計法的目的是：利用狀態(tài)空間表達式，設5.1.1 連續(xù)狀態(tài)方程的離散化在u(t)的作用下，式（5.1.1）的解為

2、證明：其中， 為被控對象的狀態(tài)轉移矩陣； 是初始狀態(tài)向量。(5.1.3)5.1.1 連續(xù)狀態(tài)方程的離散化在u(t)的作用下，式（5.零階保持器和被控對象構成的廣義對象的離散狀態(tài)方程為當A的特征值 兩兩相異時（5.1.6）（5.1.7）矩陣指數的計算零階保持器和被控對象構成的廣義對象的離散狀態(tài)方程為當A的特征（5.1.8）（5.1.9）5.1.2 最少拍無紋波系統(tǒng)的跟蹤條件5.1.3 輸出反饋設計法的設計步驟最少拍數N應取滿足式（5.1.12）的最小整數。（5.1.12） 將連續(xù)狀態(tài)方程進行離散化 求滿足跟蹤條件式（5.1.8）和（5.1.9）的控制序 列u(k)的z變換U(z)假定系統(tǒng)的初始條

3、件x(0)=0，則有（5.1.8）（5.1.9）5.1.2 最少拍無紋波系統(tǒng)的跟（5.1.17）若方程（5.1.17）有解，并設解為（5.1.18）（5.1.17）若方程（5.1.17）有解，并設解為（5.1 求取誤差序列e(k)的z變換E(z)則（5.1.19）（5.1.20） 求控制器的脈沖傳遞函數D(z) 求取誤差序列e(k)的z變換E(z)則（5.1.19其中，（5.1.21）例5.1 設二階單輸入單輸出系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為采樣周期T=1秒，試設計最少拍無紋波控制器D(z)。其中，（5.1.21）例5.1 設二階單輸入單輸出系統(tǒng)，解：由 得A的特征根為 s=0, -1故解：由 得A的特征

4、根為 s=離散狀態(tài)方程為要設計無紋波系統(tǒng)，跟蹤條件應滿足而n=2，r=1，m=1，取N=2 即可滿足上式條件離散狀態(tài)方程為要設計無紋波系統(tǒng)，跟蹤條件應滿足而n=2，r=即進一步得由式（5.1.19）和 N=2 知即進一步得由式（5.1.19）和 N=2 知由式（5.1.20）和 N=2 知由式（5.1.20）和 N=2 知由式（5.1.20）和 N=2 知由式（5.1.20）和 N附：傳遞函數模型到狀態(tài)空間模型的轉換設被控對象傳遞函數模型為則令則得A特征方程為附：傳遞函數模型到狀態(tài)空間模型的轉換設被控對象傳遞函數模型為控制器由兩部分組成，即狀態(tài)觀測器：根據所量測到的輸出量y(k)重構出全部狀態(tài)

5、 ?？刂埔?guī)律：直接反饋重構的全部狀態(tài)。5.2 采用狀態(tài)空間的極點配置設計法圖5.4 調節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)中控制器的結構x(k)控制規(guī)律u(k)被控對象y(t)y(k)T控制器觀測器零階保持器u(t)T控制器由兩部分組成，即5.2 采用狀態(tài)空間的極點配置設計法圖5.2.1 按極點配置設計控制規(guī)律設連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程為圖5.5 按極點配置設計控制規(guī)律控制規(guī)律u(k)Cy(t)x (k)TX=Ax+Bu零階保持器u(t)Tx(t)5.2.1 按極點配置設計控制規(guī)律設連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程為（5.2.2）（5.2.3）相應的離散狀態(tài)方程為若圖5.5中的控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋，即則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)

6、方程為（5.2.4）閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為（5.2.2）（5.2.3）相應的離散狀態(tài)方程為若圖5.5中設給定所需要的閉環(huán)系統(tǒng)的極點為則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為反饋控制規(guī)律 L 應滿足如下方程可以證明，對于任意的極點配置，L 具有唯一解的充要條件是設給定所需要的閉環(huán)系統(tǒng)的極點為則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為反饋控制規(guī)被控對象的微分方程為例5.2定義兩個狀態(tài)變量分別為得 被控對象的傳遞函數 ，采樣周期T=0.1s，采用零階保持器?，F要求閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應相當于阻尼系數為 ，無阻尼自然振蕩頻率 的二階連續(xù)系統(tǒng)，用極點配置方法設計狀態(tài)反饋控制規(guī)律L，并求u(k) 。解：被控對象的微分方程為例5.2定義兩個狀態(tài)變量分別為

7、得 故有故有對應的離散狀態(tài)方程為且對應的離散狀態(tài)方程為且根據性能要求，得 s 平面上的兩個期望的極點為利用 的關系，可求得 z 平面上的兩個期望的極點為若狀態(tài)反饋控制規(guī)律為（5.2.10）于是得到期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為根據性能要求，得 s 平面上的兩個期望的極點為利用 比較式（5.2.10）和（5.2.11）可得求解上式，得則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為（5.2.11）比較式（5.2.10）和（5.2.11）可得求解上式，得則閉 常用的狀態(tài)觀測器有三種：預報觀測器、現時觀測器和降階觀測器。 預報觀測器5.2.2 按極點配置設計狀態(tài)觀測器 常用的狀態(tài)觀測器有三種：預報觀測器、現時觀測器和降階常用的觀測

8、器方程為其中 是 的狀態(tài)重構，K 為觀測器的增益矩陣。定義狀態(tài)重構誤差為則觀測器的誤差動態(tài)方程為（5.2.12）（5.2.13）（5.2.14）若觀測器期望的極點為 ，則觀測器期望的特征方程為（5.2.15）常用的觀測器方程為其中 是 的狀態(tài)重構，K 為觀為了獲得期望的狀態(tài)重構性能，由式（5.2.15）和（5.2.16）可得（5.2.17）對于任意的極點配置，K 具有唯一解的充要條件是由式（5.2.14）可得觀測器的特征方程為（5.2.16）為了獲得期望的狀態(tài)重構性能，由式（5.2.15）和（5.2. 現時觀測器狀態(tài)重構誤差為現時觀測器狀態(tài)重構誤差的特征方程為為了獲得期望的狀態(tài)重構性能，可由下

9、式確定K的值 現時觀測器狀態(tài)重構誤差為現時觀測器狀態(tài)重構誤差的特征方系統(tǒng)必須完全能觀時才能求得K。 降階觀測器 預報和現時觀測器都是根據輸出量重構全部狀態(tài)，即觀測器的階數等于狀態(tài)的個數，因此稱為全階觀測器。實際系統(tǒng)中，所能量測到的y(k)中，已直接給出了一部分狀態(tài)變量，這部分狀態(tài)變量不必通過估計獲得。因此，只要估計其余的狀態(tài)變量就可以了，這種階數低于全階的觀測器稱為降階觀測器。 將原狀態(tài)向量分成兩部分，即系統(tǒng)必須完全能觀時才能求得K。 降階觀測器 預報和其中，xa(k)是能夠量測到的部分狀態(tài)，xb(k)是需要重構的部分狀態(tài)。據此，原被控對象的狀態(tài)方程(5.2.2)式可以分塊寫成上式展開并寫成觀

10、測器方程為其中，xa(k)是能夠量測到的部分狀態(tài)，xb(k)是需要重構狀態(tài)重構誤差為現時觀測器狀態(tài)重構誤差的特征方程為為了獲得期望的狀態(tài)重構性能，可由下式確定K的值系統(tǒng)必須完全能觀時才能求得K。狀態(tài)重構誤差為現時觀測器狀態(tài)重構誤差的特征方程為為了獲得期望5.2.3 按極點配置設計控制器 控制器的組成設被控對象的離散狀態(tài)方程為設控制器由預報觀測器和狀態(tài)反饋控制規(guī)律組合而成，即可以證明閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 分離性原理5.2.3 按極點配置設計控制器 控制器的組成設被控對象的由此可見，可以分別設計系統(tǒng)的控制規(guī)律和觀測器。 按極點配置設計狀態(tài)反饋控制規(guī)律，計算L； 按閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求給定幾個控制極點

11、； 狀態(tài)反饋控制器的設計步驟 合理地給定觀測器的極點，并選擇觀測器的類型， 計算觀測器增益矩陣K；最后根據所設計的控制規(guī)律和觀測器，由計算機來實現。由此可見，可以分別設計系統(tǒng)的控制規(guī)律和觀測器。 按極點配置 觀測器及觀測器類型選擇控制極點是按閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求來設置的；觀測器極點的設置應使狀態(tài)重構具有較快的跟蹤速度。如果量測輸出中無大的誤差或噪聲-，則觀測器極點可設置在z平面的原點；如果量測輸出中含有較大 的誤差或噪聲-，則觀測器極點可按其對應衰減速度比控制極點對應的衰減速度快約4或5倍的要求來設置。觀測器類型選擇：若控制器的計算延時與采樣周期處于同一數量級，則可選用預報觀測器，否則可用現時觀

12、測器；若量測輸出比較準確，而且它是系統(tǒng)的一個狀態(tài)，則可用降階觀測器，否則用全階觀測器。 觀測器及觀測器類型選擇控制極點是按閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求來設系統(tǒng)的輸出方程為例5.4 設系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程為系統(tǒng)的采樣周期為0.1秒，試設計狀態(tài)反饋控制器，以使控制極點配置在使觀測器的極點配置在解： 設計控制規(guī)律系統(tǒng)的輸出方程為例5.4 設系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程為系統(tǒng)的采而由得解得故有控制極點對應的特征方程為而由得解得故有控制極點對應的特征方程為 設計預報觀測器觀測器極點對應的特征方程為而由得解得 設計預報觀測器觀測器極點對應的特征方程為而由得解得故有系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器為 設計控制器且有故有系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器為

13、 設計控制器且有以上討論了調節(jié)系統(tǒng)的設計。在調節(jié)系統(tǒng)中，控制的目的在于有效地克服干擾的影響，使系統(tǒng)維持在平衡狀態(tài)。對于階躍型或常值干擾，上述設計，系統(tǒng)輸出將存在穩(wěn)態(tài)誤差。克服穩(wěn)態(tài)誤差的一個有效方法是加入積分控制。以上討論了調節(jié)系統(tǒng)的設計。在調節(jié)系統(tǒng)中，控制的目的在于有效地5.2.4 跟蹤系統(tǒng)設計圖中，積分控制環(huán)節(jié)用于消除在常值參考輸入以及在常值干擾作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；參考輸入的順饋控制可進一步提高系統(tǒng)的無靜差度。5.2.4 跟蹤系統(tǒng)設計圖中，積分控制環(huán)節(jié)用于消除在常值參考5.3 采用狀態(tài)空間的最優(yōu)化設計法 線性二次型高斯LQG（Linear Quadratic Gaussian）控制：在過程

14、模型中考慮了高斯隨機擾動的LQ控制問題。線性二次型LQ（Linear Quadratic）控制：系統(tǒng)性能指標選為狀態(tài)和控制信號的二次型函數，并使此性能指標為最小的控制器設計問題?？柭鼮V波器：對隨機擾動過程，使估計誤差的方差最小的最優(yōu)估計器。5.3 采用狀態(tài)空間的最優(yōu)化設計法 線性二次型高斯LQG（L5.3.1 LQ最優(yōu)控制器設計圖5.13 調節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)中LG最優(yōu)控制器的結構LQ最優(yōu)控制器u(k)Cy(k)y(k)X(k+1)=Fx(k)+Gu(k)-Lx(k)圖5.12 調節(jié)系統(tǒng)(r(k)=0)中LGQ最優(yōu)控制器的結構LQ最優(yōu)控制規(guī)律u(k)被控對象y(k)Vc(k)零階保持器最

15、優(yōu)裝置狀態(tài)最優(yōu)估計器x(k)TW(k)y(k)TLGQ最優(yōu)控制器5.3.1 LQ最優(yōu)控制器設計圖5.13 調節(jié)系統(tǒng)(r(k設被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程為被控對象的離散狀態(tài)方程為問題的描述：設被控對象的連續(xù)狀態(tài)方程為被控對象的離散狀態(tài)方程為問題的描述 二次型性能指標函數的離散化系統(tǒng)控制的目的是按線性二次型性能指標函數為最小，來設計離散的最優(yōu)控制器L，使其中，加權矩陣 和 為非負定對稱矩陣， 為正定對稱陣， 為正整數。有限時間最優(yōu)調節(jié)器問題無限時間最優(yōu)調節(jié)器問題 二次型性能指標函數的離散化系統(tǒng)控制的目的是按線性二次型 最優(yōu)控制規(guī)律的計算其中 最優(yōu)控制規(guī)律的計算其中5.3.2 狀態(tài)最優(yōu)估計器設計并有其中，設連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程為其中， 是非負定對稱陣， 是正定對稱陣，并假設 和 互不相關。5.3.2 狀態(tài)最優(yōu)估計器設計并有其中，設連續(xù)被控對象的狀態(tài) 連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程的離散化其中 Kalman濾波公式引入 連續(xù)被控對象的狀態(tài)方程的離散化其中 Kalman濾Kalman濾波遞推公式極小。設 的