1、專題22.3 二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖象與性質(zhì)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解二次函數(shù)的概念，能用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式； 會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)y=ax2(a0) 的圖象，并結(jié)合圖象理解拋物線、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、開(kāi)口方向等概念； 掌握二次函數(shù)y=ax2(a0) 的圖象的性質(zhì)?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)y=ax2（a0）的圖象及性質(zhì)1.二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖象用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)y=ax2（a0）的圖象，如圖，它是一條關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線. 因?yàn)閽佄锞€y=x2關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y軸是這條拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，從圖上看，拋物線y=

2、x2的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn)。因?yàn)閽佄锞€y=x2有最低點(diǎn)，所以函數(shù)y=x2有最小值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).2.二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖象的畫(huà)法用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=ax2（a0）的圖象時(shí)，應(yīng)在頂點(diǎn)的左、右兩側(cè)對(duì)稱地選取自變量x的值，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值，這樣的對(duì)應(yīng)值選取越密集，描出的圖象越準(zhǔn)確.特別說(shuō)明：二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖象用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖象，該圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是y軸y=ax2(a0)是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，把y=ax2(a0)的圖象左右、上下平行移動(dòng)可以得到y(tǒng)=ax2+bx+c(a0)的圖象畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：1）開(kāi)口方向，2）對(duì)稱軸，3

3、）頂點(diǎn)，4）與軸的交點(diǎn)，5）與軸的交點(diǎn).3.二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖象的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2（a0）的圖象的性質(zhì)，見(jiàn)下表： 函數(shù) 圖象 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 函數(shù)變化 最大（?。┲?y=ax2 a0 向上 （0，0） y軸 x0時(shí)，y隨x增大而增大； x0時(shí)，y隨x增大而減小. 當(dāng)x=0時(shí)，y最小=0 y=ax2 a0時(shí)，y隨x增大而減??； x0時(shí)，y隨x增大而增大. 當(dāng)x=0時(shí)，y最大=0 特別說(shuō)明： 頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同. a相同，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.a越大，開(kāi)口越小，

4、圖象兩邊越靠近y軸，a越小，開(kāi)口越大，圖象兩邊越靠近x軸.【典型例題】類型一、1 畫(huà)函數(shù)的圖象 【分析】利用列表、描點(diǎn)、連線的方法作出函數(shù)的圖象即可 解：列表：描點(diǎn)、連線如下圖所示：【點(diǎn)撥】本題考查了圖象的作法，比較簡(jiǎn)單，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的作法是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】畫(huà)出二次函數(shù)yx2的圖象【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，然后利用五點(diǎn)法作出大致函數(shù)圖象即可解：函數(shù)yx2的圖象如圖所示：【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象的作法，五點(diǎn)法作圖是常用的方法，要熟練掌握并靈活運(yùn)用【變式2】 畫(huà)出二次函數(shù)y=x2的圖象 【解析】首先列表，再根據(jù)描點(diǎn)法，可得函數(shù)的圖象解：列表

5、： 描點(diǎn)：以表格中對(duì)應(yīng)的數(shù)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出；連線：用平滑的線順次連接，如圖：【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象，正確在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)是解題的關(guān)鍵類型二、2如圖所示四個(gè)二次函數(shù)的圖象中，分別對(duì)應(yīng)的是 yax2； ybx2； ycx2； ydx2則a、b、c、d的大小關(guān)系為_(kāi)【答案】abdc【分析】設(shè)x=1，函數(shù)值分別等于二次項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)圖象，比較各對(duì)應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小解：因?yàn)橹本€x=1與四條拋物線的交點(diǎn)從上到下依次為（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，abdc【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象，采用了取特殊點(diǎn)的方法，比較字母系數(shù)的大小舉一反三：【變式1】如圖，已知點(diǎn)

6、A（-4，8）和點(diǎn)B（2，n）在拋物線y=ax2上求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo). 【答案】a=12【解析】先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值和二次函數(shù)解析式；再B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，即可求出n的值，從而確定點(diǎn)B的坐標(biāo).試題解析：把點(diǎn)A（-4，8）代入y=ax2,得：16a=8a= 1y = 12 x 再把點(diǎn)B（2，n）代入y= 12 x 2n=2.B（2,2）.考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì).【變式2】已知四個(gè)二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么a1，a2，a3，a4的大小關(guān)系是_（請(qǐng)用“”連接排序）【答案】a1a2a3a4【分析】直接利用二次函數(shù)的圖象開(kāi)口大小與a的關(guān)系進(jìn)而得出答案 解：如圖所示：ya

7、1x2的開(kāi)口小于ya2x2的開(kāi)口，則a1a20，ya3x2的開(kāi)口大于ya4x2的開(kāi)口，開(kāi)口向下，則a4a30，故a1a2a3a4故答案是：a1a2a3a4.【點(diǎn)撥】考查了二次函數(shù)的圖象，正確記憶開(kāi)口大小與a的關(guān)系是解題關(guān)鍵類型三、3、函數(shù)y=ax2（a0）與直線y=2x-3的圖象交于點(diǎn)（1，b）求：（1）a和b的值；（2）求拋物線y=ax2的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）作y=ax2的草圖【答案】（1）a=-1（2）y軸，（0，0）（3）圖像見(jiàn)解析 試題分析：（1）把點(diǎn)（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；（2）由（1）中所求得的a的值，可得

8、y=ax2的解析式，從而可確定拋物線y=ax2的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)（2）中求得的拋物線y=ax2的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)可畫(huà)出其草圖. 解：（1）把（1，b）代入直線y=2x-3中，得b=2-3=-1，把點(diǎn)（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；（2）在y=-x2中，a=-10，拋物線開(kāi)口向下；拋物線y=ax2的對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；（3）作函數(shù)y=ax2的草圖如下：舉一反三：【變式】已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)（1）求m的值（2）當(dāng)m為何值時(shí)，該函數(shù)圖像的開(kāi)口向下？（3）當(dāng)m為何值時(shí)，該函數(shù)有最小值，最小值是多少？【答案】（1）m14，m21；（2）當(dāng)m

9、4時(shí)，該函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；（3）當(dāng)m1時(shí)，函數(shù)為，該函數(shù)有最小值，最小值為0【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義求出m的值即可解決問(wèn)題（2）運(yùn)用當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；（3）運(yùn)用當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)大于0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，圖象有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值；解：（1）函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，m23m22，m30，解得：m14，m21；（2）函數(shù)圖象的開(kāi)口向下，m30，m3，當(dāng)m4時(shí)，該函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；（3）m4或1，當(dāng)m30時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，m3，m4或1，當(dāng)m1時(shí)，函數(shù)為，該函數(shù)有最小值，最小值為0【點(diǎn)撥】該題主要考查了二次函數(shù)的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；牢固掌握定義及其性質(zhì)

10、是解題的關(guān)鍵類型四、4、已知是關(guān)于x的二次函數(shù).(1)求滿足條件的k的值；(2)k為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)？求出這個(gè)最低點(diǎn).當(dāng)x為何值時(shí)，y的值隨x值的增大而增大？(3)k為何值時(shí)，函數(shù)有最大值？最大值是多少？當(dāng)x為何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減小？【答案】(1)k=2；(2) 見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析.【分析】（1）直接利用二次函數(shù)定義得出符合題意的k的值；（2）拋物線有最低點(diǎn)，所以開(kāi)口向上，k+1大于0，再根據(jù)（1）中k的值即可確定滿足條件的值，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，即可得最低點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）函數(shù)有最大值，可得拋物線的開(kāi)口向下，k+1小于0，再根據(jù)（1）中k的值即可確定滿足條件的

11、值，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最大值和函數(shù)單調(diào)區(qū)間解：(1) 根據(jù)二次函數(shù)的定義得 解得k=2.當(dāng)k=2時(shí)，原函數(shù)是二次函數(shù). (2) 根據(jù)拋物線有最低點(diǎn)，可得拋物線的開(kāi)口向上，k+10，即k-1，根據(jù)第(1)問(wèn)得：k=2.該拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)為(0，0)，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大.(3) 根據(jù)二次函數(shù)有最大值，可得拋物線的開(kāi)口向下，k+10，即k-1，根據(jù)第(1)問(wèn)得：k=-2.該拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，當(dāng)k=-2時(shí)，函數(shù)有最大值為0. 當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小.【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的定義，正確掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，是基

12、礎(chǔ)題型舉一反三：【變式1】已知 是二次函數(shù)，且函數(shù)圖象有最高點(diǎn)（1）求k的值；（2）求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，并說(shuō)明當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而減少【答案】（1）k=3；（2）當(dāng)k=3時(shí)，y=x2頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減少【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義得出k2+k4=2，再利用函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，得出k+20，即可得出k的值；（2）利用（1）中k的值得出二次函數(shù)的解析式，利用形如y=ax2（a0）的二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），對(duì)稱軸是y軸即可得出答案試題解析：解：（1）是二次函數(shù)，k2+k4=2且k+20，解得k=3或k=2函數(shù)有最高點(diǎn)，拋物線的開(kāi)口向下，k+2

13、0，解得k2，k=3；當(dāng)k=3時(shí)，二次函數(shù)為y=x2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減少【變式2】已知函數(shù)y（k2）是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：（1）滿足條件的k的值；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，拋物線有最高點(diǎn)？求出這個(gè)最高點(diǎn)，這時(shí)，x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大？（3）當(dāng)k為何值時(shí)，函數(shù)有最小值？最小值是多少？這時(shí)，當(dāng)x為何值時(shí)，y與x的增大而減小？【答案】（1）；（2）k1，最高點(diǎn)為（0，0），當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大；（3）k3，最小值為0，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小【分析】（1）由于函數(shù)是二次函數(shù)，所以x的次數(shù)為2，且系數(shù)不為0，即可求得滿足條件的k的值；（2）

14、拋物線有最高點(diǎn)，所以開(kāi)口向下，系數(shù)小于0，再根據(jù)（1）中k的值即可確定滿足條件的值，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）函數(shù)有最小值，則開(kāi)口向上，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最小值，即可知函數(shù)單調(diào)區(qū)間 解：（1）函數(shù)y（k2）是關(guān)于x的二次函數(shù)，k滿足，且k20，解得：；（2）拋物線有最高點(diǎn)，圖象開(kāi)口向下，即k20，結(jié)合（1）所得，k1，最高點(diǎn)為（0，0），當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大（3）函數(shù)有最小值，圖象開(kāi)口向上，即k20，k3，最小值為0，當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的定義、待定系數(shù)法求解析式、解一元二次方程以及二次函數(shù)圖像的性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵在于知道

15、二次函數(shù)的表達(dá)形式，用待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)類型五、5、如圖，梯形ABCD的頂點(diǎn)都在拋物線上，且軸.A點(diǎn)坐標(biāo)為（a,-4），C點(diǎn)坐標(biāo)為（3,b）.（1）求a，b的值；（2）求B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求梯形的面積.【答案】（1）,；（2），；（3）25.【分析】（1）把點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)分別代入解析式，即可求出a，b的值；（2）由B與A的縱坐標(biāo)相等，D與C的縱坐標(biāo)相等，由對(duì)稱關(guān)系，即可求出B，D的坐標(biāo)；（3）分別求出AB，CD和梯形的高，即可得到答案.解：（1）當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)A在第三象限，.當(dāng)時(shí)，.（2）軸，A點(diǎn)與B點(diǎn)，C點(diǎn)與D點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.關(guān)于y軸對(duì)稱，.（3）由題意，得梯形的高為5，.【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)與四邊形的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì).舉一反三：【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，其中，點(diǎn)為原點(diǎn)，求的面積.【答案】.【分析】首先求得兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案解：由題意得：解得：或點(diǎn)和點(diǎn)，其中，直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1）【點(diǎn)撥】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解如何求得兩個(gè)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)【變式2】拋物線yax2(a0 )上有A 、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1，2求a為何值時(shí)，AOB為直角三角形【答案】【分析】先求出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根