1、 專題05 奇偶性周期性單調(diào)性對稱性的綜合應(yīng)用考情分析函數(shù)的性質(zhì)是整個高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,所有高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，都可以圍繞這一主線考查學(xué)生。單調(diào)性與奇偶性更是高考的必考內(nèi)容,在高考命題中函數(shù)常與方程、不等式等其他知識結(jié)合考查,而且考查的形式不一,簡單的題目也有出現(xiàn)，但是壓軸題目是肯定會對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行考查的。二經(jīng)驗分享1周期性的常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x),則T2a(a0)(2)若f(xa),則T2a(a0)(3)若f(xa),則T2a(a0)(4)若,則T6a(a0) (5)若f(xa),則T2a(a0)(6)若f(xa),則T4a(a0)2函數(shù)對稱性與

2、函數(shù)周期性的關(guān)系（類比三角函數(shù)）(1)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于直線對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.(2)若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.(3)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.3. 復(fù)合函數(shù)設(shè)是定義在M上的函數(shù),若與的單調(diào)性相反,則在M上是減函數(shù)；若與的單調(diào)性相同,則在M上是增函數(shù),簡稱同增異減.4. 對稱性的一般結(jié)論 = 1 * GB3 若,則圖像關(guān)于直線對稱； = 2 * GB3 ，函數(shù)關(guān)于點 對稱.三、題型分析(一) 函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用例1.【北京卷】已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（ ）

3、A. B. C.D.【答案】C【解析】依題意，有0a1且3a10，解得0a，又當(dāng)x1時，（3a1）x4a7a1，當(dāng)x1時，logax0，所以7a10解得x，故選C. 【變式訓(xùn)練1】若函數(shù)是R是的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使為R上的減函數(shù)，則，解得【變式訓(xùn)練2】已知是上的減函數(shù)， 是其圖像上兩個點，則不等式的解集是_ 【答案】(二) 函數(shù)奇偶性的靈活應(yīng)用例2.已知函數(shù),則使得的的范圍是（ ）A B C D【答案】A【解析】由于,所以函數(shù)為偶函數(shù),且在上為減函數(shù).要,則需,解得.【變式訓(xùn)練1】【2020年第一次全國大聯(lián)考（山東卷）】已知函數(shù)是

4、奇函數(shù)，則方程的根為（） A B C. ， D，【答案】B 【解析】因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以，即，解得.所以.方程，即.當(dāng)時，有，整理得，解得.綜上，方程的根為，故選B.【變式訓(xùn)練2】已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,若,則實數(shù)的取值范圍是（） A B C D【答案】D函數(shù)對稱性的靈活應(yīng)用例3.【2017屆湖南師大附中高三上學(xué)期月考三】已知兩定點和,動點在直線上移動,橢圓以為焦點且經(jīng)過點,則橢圓的離心率的最大值為（ ）A B C. D【答案】A【解析】關(guān)于直線的對稱點為,連接交直線于點,則橢圓的長軸長的最小值為,所以橢圓的離心率的最大值為,故選A.【點評】求解本題的關(guān)鍵是利用對稱性求距離的最小值

5、【變式訓(xùn)練1】已知定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù),函數(shù)關(guān)于直線對稱,則下列式子一定成立的是（ ） B. C. D.【答案】B【分析】由題中函數(shù)滿足為奇函數(shù),結(jié)合奇函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化可得：,再由條件：函數(shù)關(guān)于直線對稱,結(jié)合對稱性的規(guī)律可得：,最后由周期性的概念可轉(zhuǎn)化為：,可見函數(shù)的周期為8,即可求解.【解析】因為為奇函數(shù),所以,則又因為關(guān)于直線對稱,所以關(guān)于對稱,所以,則,于是8為函數(shù)的周期,所以,故選B【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)為奇函數(shù),且對定義域內(nèi)的任意x都有當(dāng)時, 給出以下4個結(jié)論： 函數(shù)的圖象關(guān)于點(k,0)(kZ)成中心對稱； 函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)； 當(dāng)時,； 函數(shù)在(k,k+1)( kZ

6、)上單調(diào)遞增 其一中所有正確結(jié)論的序號為 【答案】【解析】由題設(shè)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點中心對稱,又對定義域內(nèi)的任意x都有,所以其圖象還關(guān)于點,據(jù)此可判斷函數(shù)為周期函數(shù),最小正周期,又當(dāng)時,因此可畫出函數(shù)的圖象大致如下圖一所示,函數(shù)的圖象如下圖二所示,函數(shù)的圖象如下圖三所示,由圖象可知正確,不正確；另外,當(dāng)時,所以,又因為是以2這周期的奇函數(shù)所以,所以,所以,所以也正確,故答案應(yīng)填：函數(shù)周期性的靈活應(yīng)用例4設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合，則方程的解的個數(shù)是 【答案】8【解析】由于，則需考慮的情況，在此范圍內(nèi)，且時，設(shè)，且互質(zhì)，若，則由，可設(shè)，且互質(zhì)，因此，則，此時左邊為整數(shù)，右

7、邊為非整數(shù)，矛盾，因此，因此不可能與每個周期內(nèi)對應(yīng)的部分相等，只需考慮與每個周期的部分的交點，畫出函數(shù)圖象，圖中交點除外其他交點橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個周期的部分，且處，則在附近僅有一個交點，因此方程的解的個數(shù)為8【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時，則=_【答案】3【解析】函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以，又，所以，則(五) 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5.設(shè)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時，其中k0.若在區(qū)間(0，9上，關(guān)于x的方程有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是 【解析】 作出函數(shù)與的圖像如圖所示，由圖可知，函數(shù)與僅有2個實數(shù)根；要使關(guān)于

8、x的方程有8個不同的實數(shù)根，則，與，的圖象有2個不同交點，由到直線的距離為1，得，解得，因為兩點，連線的斜率，所以，即的取值范圍為.【變式訓(xùn)練1】. 設(shè)奇函數(shù),且對任意的實數(shù)當(dāng)時,都有(1)若,試比較的大小；(2)若存在實數(shù)使得不等式成立,試求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)；(2)【解析】(1)由已知得,又 ,即 (2)為奇函數(shù),等價于又由（1）知單調(diào)遞增,不等式等價于即 由于存在實數(shù)使得不等式成立, 的取值范圍為 遷移應(yīng)用1已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是A B C D【答案】A【解析】解法一 根據(jù)題意，作出的大致圖象，如圖所示當(dāng)時，若要恒成立，結(jié)合圖象，只需，即，故對

9、于方程，解得；當(dāng)時，若要恒成立，結(jié)合圖象，只需，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，綜上，的取值范圍是選A2若函數(shù)(e=271828，是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是 【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)；在上單調(diào)遞減，故不具有性質(zhì)；，令，則，當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不具有性質(zhì)；，令，則，在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)3如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形的中心為、為圓上的點，分別是以，為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以，為折痕折起，使得、重合，得到三棱錐。當(dāng)?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積(單位：)的

10、最大值為_【答案】【解析】如圖連接交于，由題意，設(shè)等邊三角形的邊長為（），則，由題意可知三棱錐的高底面，三棱錐的體積為，設(shè)，則（），令，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以是取得最大值所以4.設(shè)是定義域為R的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A（log3）（）（） B（log3）（）（）C（）（）（log3） D（）（）（log3）【答案】 C【解析】 是定義域為的偶函數(shù)，所以，因為，所以，又在上單調(diào)遞減，所以. 故選C5.關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：f(x)是偶函數(shù)f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增f(x)在有4個零點f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A BCD【答案】C【解析】，則函數(shù)是偶函數(shù)

11、，故正確.當(dāng)時， ，則為減函數(shù)，故錯誤.當(dāng)，由得,得或，由是偶函數(shù)，得在上還有一個零點，即函數(shù)在上有3個零點，故錯誤.當(dāng)時，取得最大值2，故正確，故正確的結(jié)論是. 故選C6.（2019全國理5）函數(shù)f(x)=在的圖像大致為ABCD【答案】D【解析】： 因為，所以，所以為上的奇函數(shù)，因此排除A；又，因此排除B，C；故選D7.函數(shù)在的圖像大致為ABCD【答案B【解析】 因為，所以是上的奇函數(shù)，因此排除C，又，因此排除A，D故選B8.已知實數(shù),對于定義在R上的函數(shù),有下述命題：“是奇函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱”；“是偶函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱”；“是的一個周期”的充要

12、條件是“對任意的,都有”； “函數(shù)與的圖像關(guān)于軸對稱”的充要條件是“”其中正確命題的序號是A B C D【答案】A9.【2020湖北省襄陽市四校期中聯(lián)考】設(shè)函數(shù),則是（ ）A. 奇函數(shù),且在上是增函數(shù) B. 奇函數(shù),且在上是減函數(shù)C. 偶函數(shù),且在上是增函數(shù) D. 偶函數(shù),且在上是減函數(shù)【答案】D【解析】因為,所以函數(shù)是偶函數(shù),又在上是減函數(shù),故選D10.【2017屆高三上學(xué)期調(diào)研】已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】A【解析】當(dāng)時,符合題意,排除B,D.當(dāng)時,不符合題意11. 定義在R上的奇函數(shù)和定義在上的偶函數(shù)分別滿足,若存在實數(shù),使得成立,則實數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】當(dāng)時,01,是奇函數(shù),的值域為-1,1,要使存在實數(shù),使得成立,則-1=1,解得或,故選B.12.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,若,則實數(shù)的取值范圍是A B C