1、廣東省廣州市欖核中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 若關(guān)于x的方程：9x+（4+a）?3x+4=0有解，則實數(shù)a的取值范圍為( )A（，8）0，+）B（8，4）C8，4D（，8參考答案：D【考點】指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域 【專題】計算題【分析】可分離出a+4，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=的值域問題，令3x=t，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求值域即可【解答】解：a+4=，令3x=t（t0），則=因為4，所以4，a+44，所以a的范圍為（，8故選D【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、

2、定義域和值域、方程有解問題、基本不等式求最值問題，同時考查轉(zhuǎn)化思想和換元法2. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組，所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為（）ABC1D2參考答案：A【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】由約束條件作出可行域，求出可行域內(nèi)使直線OM斜率取最小值的點M，由兩點求斜率公式得答案【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得M（3，1），直線OM斜率的最小值為k=故選：A3. 直線mxy2=0與直線2x+y+2=0垂直的充要條件是( )Am=Bm=Cm=2Dm=2參考答案：A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系 專題：直線與圓

3、；簡易邏輯分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合直線垂直的等價條件進(jìn)行求解即可解答：解：直線mxy2=0與直線2x+y+2=0的斜率分別是m，和2，若兩直線垂直則2m=1，解得m=，當(dāng)m=時，滿足兩直線垂直，故直線mxy2=0與直線2x+y+2=0垂直的充要條件m=，故選：A點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)直線垂直的等價條件是解決本題的關(guān)鍵4. 設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列命題，正確的是（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則參考答案：B5. 經(jīng)過點M(2,2)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程是（ ）ABCD參考答案：C解：與漸近線相同，所以設(shè)為，將代入可

4、得，則為故選6. 已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ）.參考答案：D略7. 命題“若，則”的逆否命題是（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則 參考答案：C命題“若，則”的逆否命題是“若，則，”故命題“若，則”的逆否命題是若，則 ，故選C.8. 中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，則此人第二天走的路程為（ ）A. 96里B. 189里C. 192里D. 288里參考答案：A【分析】設(shè)此人第一天走的路程為x,則，求出x即得解.【詳解】設(shè)此人第一天走的

5、路程為x,則，解之得，所以，所以第二天走的路程為96.故選：A.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.9. 給出下列3個命題：命題p：若a220，則方程x2+y2+ax+5=0表示一個圓命題q：?m（，0），方程0.1x+msinx=0總有實數(shù)解命題r：?m（1，3），msinx+mcosx=3那么，下列命題為真命題的是（）AprBp（q）C（q）（r）D（p）q參考答案：D【考點】復(fù)合命題的真假【分析】命題p：由方程x2+y2+ax+5=0化為： +y2=5表示一個圓，則50，a220，即可判斷出命題的真假命題q：?xR，0.1x0，m，m，可知

6、：?m（，0），方程0.1x+msinx=0總有實數(shù)解，即可判斷出真假命題r：由m（1，3），則msinx+mcosx=msin3，即可判斷出真假【解答】解：命題p：由方程x2+y2+ax+5=0化為： +y2=5表示一個圓，則50，a220，由a220是方程x2+y2+ax+5=0表示一個圓的必要不充分條件，因此是假命題命題q：?xR，0.1x0，msinxm，m，可知：?m（，0），方程0.1x+msinx=0總有實數(shù)解，是真命題命題r：若m（1，3），則msinx+mcosx=msin3，因此r是假命題那么，下列命題為真命題的是：D故選：D10. 已知角的終邊過點P（3a，4a），且a0

7、，那么cos等于（ ）A. B. C. D. 參考答案：C由題意得，選C.二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 曲線y=cosx在點處的切線斜率等于_參考答案：略12. 如圖所示的長方體中，AB=AD=，=，則二面角的大小為_;參考答案：略13. 已知函數(shù)f（x）=+2bx+c在區(qū)間（0，1）內(nèi)取極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取極小值，則z=（a+3）2+b2的取值范圍為參考答案：（，9）【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】由題意可得x1，x2是導(dǎo)函數(shù)f（x）=x2+ax+b的兩根，由于導(dǎo)函數(shù)f（x）=x2+ax+b的圖象開口朝上且x1（0，1），x2（1，2）即，畫出

8、滿足以上條件的實數(shù)對（a，b）所構(gòu)成的區(qū)域，z=（a+3）2+b2的表示點（a，b）到點（3，0）的距離平方，即可求解【解答】解：設(shè)f（x）的極大值點是x1，極小值點是x2，函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值，x1，x2是導(dǎo)函數(shù)f（x）=x2+ax+b的兩根，由于導(dǎo)函數(shù)f（x）=x2+ax+b的圖象開口朝上且x1（0，1），x2（1，2），則滿足以上條件的實數(shù)對（a，b）所構(gòu)成的區(qū)域如圖所示：由，得A（3，2），z=（a+3）2+b2的表示點（a，b）到點（3，0）的距離平方，又因為PA2=（33）2+（20）2=4，PB2=9，P到直線4+2a

9、+b=0的距離等于，則z=（a+3）2+b2的取值范圍為（），故答案為：（，9）14. 對于函數(shù)有以下說法：是的極值點.當(dāng)時，在上是減函數(shù). 的圖像與處的切線必相交于另一點. 若且則有最小值是. 其中說法正確的序號是_.參考答案：15. 橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|=4，則|PF2|= 參考答案：2【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)橢圓方程，得到橢圓的長軸為2a=6，再由橢圓的定義得橢圓上點P滿足：|PF1|+|PF2|=2a=6，結(jié)合題意|PF1|=4，則不難得到PF2的長度【解答】解：橢圓方程為a2=9，b2=2，得橢圓的長軸

10、長2a=6點P在橢圓上，|PF1|+|PF2|=2a=6，得|PF2|=6|PF1|=64=2故答案為：2【點評】本題給出橢圓上一點到左焦點的距離，求它到右焦點的距離，著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，屬于基礎(chǔ)題16. 已知曲線，其中；過定點 參考答案：略17. 已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則_.參考答案：10三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 平面向量，若存在不同時為的實數(shù)和，使且，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。參考答案：由得所以增區(qū)間為；減區(qū)間為 19. 極坐標(biāo)系中，已知圓=10cos（1）求圓的直角坐標(biāo)方程（2）設(shè)P是圓上任一點，求點P到直線距

11、離的最大值參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互換的公式，即可化解（2）P是圓上任一點，點P到直線距離的最大值為：d+r，即可得答案【解答】解（1）圓=10cos化簡可得：=10coscos+10sinsin2=5cos+5sin故得圓的直角坐標(biāo)方程為：（2）由（1）可知圓的圓心為（，），半徑r=5，題意：點P到直線距離的最大值為：圓心到直線的距離+半徑，即d+rd=最大距離為：1+5=620. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB交PB于點F（1）證明PA平面EDB；（2）證明P

12、B平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題【分析】法一：（1）連接AC，AC交BD于O，連接EO要證明PA平面EDB，只需證明直線PA平行平面EDB內(nèi)的直線EO；（2）要證明PB平面EFD，只需證明PB垂直平面EFD內(nèi)的兩條相交直線DE、EF，即可；（3）必須說明EFD是二面角CPBD的平面角，然后求二面角CPBD的大小法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=a（1）連接AC，AC交BD于G，連接EG，求出，即可證明PA平面EDB；（2）證明EFPB，即可證明PB平面EFD；（3）求出，利

13、用，求二面角CPBD的大小【解答】解：方法一：（1）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO底面ABCD是正方形，點O是AC的中點在PAC中，EO是中位線，PAEO而EO?平面EDB且PA?平面EDB，所以，PA平面EDB（2）證明：PD底面ABCD且DC?底面ABCD，PDDCPD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，DEPC同樣由PD底面ABCD，得PDBC底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC而DE?平面PDC，BCDE由和推得DE平面PBC而PB?平面PBC，DEPB又EFPB且DEEF=E，所以PB平面EFD（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二

14、面角CPBD的平面角由（2）知，DEEF，PDDB設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則， 在RtPDB中，在RtEFD中，所以，二面角CPBD的大小為方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=a（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG依題意得底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為且，這表明PAEG而EG?平面EDB且PA?平面EDB，PA平面EDB（2）證明；依題意得B（a，a，0），又，故PBDE由已知EFPB，且EFDE=E，所以PB平面EFD（3）解：設(shè)點F的坐標(biāo)為（x0，y0，z0），則（x0，y0，z0a）=（a，a，a）從而x0=a，y0=a，z0

15、=（1）a所以由條件EFPB知，即，解得點F的坐標(biāo)為，且，即PBFD，故EFD是二面角CPBD的平面角，且，所以，二面角CPBD的大小為【點評】本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力21. 已知橢圓+=1（ab0）的離心率為，且過點（，）（1）求橢圓方程；（2）設(shè)不過原點O的直線l：y=kx+m（k0），與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率依次為k1、k2，滿足4k=k1+k2，試問：當(dāng)k變化時，m2是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【專題】圓錐曲

16、線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（1）利用已知條件列出方程組求解橢圓的幾何量，得到橢圓的方程（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）利用韋達(dá)定理，通過直線OP、OQ的斜率依次為k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可【解答】解：（1）依題意可得，解得a=2，b=1所以橢圓C的方程是（2）當(dāng)k變化時，m2為定值，證明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）則x1+x2=，x1x2=（?） 直線OP、OQ的斜率依次為k1，k2，且4k=k1+k2，4k=，得2kx1x2=m（x1+x2），將（?）代入得：m2=，經(jīng)檢驗滿足0【點評】本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用22. （12分）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在個時間段內(nèi)的頻率如下表：時間（分鐘）10202030304040505060的頻率的頻率0現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站（1）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)