1、.PAGE .三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知ACBD,ADAC于A ,BCBD于B, 求證：ADBC分析：欲證 ADBC,先證分別含有AD,BC的三角形全等,有幾種方案：ADC與BCD,AOD與BOC,ABD與BAC,但根據(jù)現(xiàn)有條件,均無法證全等,差角的相等,因此可設(shè)法作出新的角,且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA,CB,它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn),ADAC BCBD 已知CAEDBE 90 垂直的定義 在DBE與CAE中DBECAE AASEDEC EBEA 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等EDEAECEB 即：ADBC。當(dāng)條件不足時(shí),可通過添加輔

2、助線得出新的條件,為證題創(chuàng)造條件。二 、連接四邊形的對(duì)角線,把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。三、有和角平分線垂直的線段時(shí),通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖9-1：在RtABC中,ABAC,BAC90,12,CEBD的延長(zhǎng)于E 。求證：BD2CE 分析：要證BD2CE,想到要構(gòu)造線段2CE,同時(shí)CE與ABC的平分線垂直,想到要將其延長(zhǎng)。證明：分別延長(zhǎng)BA,CE交于點(diǎn)F。BECF 已知BEFBEC90 垂直的定義在BEF與BEC中,BEFBECASACE=FE=CF 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等BAC=90 BECF 已知 BACCAF901BDA901BFC90BDABFC在ABD與ACF中ABDAC

3、FAASBDCF 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 BD2CE四、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：ABDC,AD 求證：ABCDCB。分析：由ABDC,AD,想到如取AD的中點(diǎn)N,連接NB,NC,再由SAS公理有ABNDCN,故BNCN,ABNDCN。下面只需證NBCNCB,再取BC的中點(diǎn)M,連接MN,則由SSS公理有NBMNCM,所以NBCNCB。問題得證。證明：取AD,BC的中點(diǎn)N、M,連接NB,NM,NC。則AN=DN,BM=CM,在ABN和DCN中 ABNDCN SASABNDCN NBNC 全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等在NBM與NCM中NMBNCM,NBCNCB 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等N

4、BCABN NCBDCN 即ABCDCB。巧求三角形中線段的比值例1. 如圖1,在ABC中,BD：DC1：3,AE：ED2：3,求AF：FC。解：過點(diǎn)D作DG/AC,交BF于點(diǎn)G 所以DG：FCBD：BC因?yàn)锽D：DC1：3 所以BD：BC1：4 即DG：FC1：4,FC4DG因?yàn)镈G：AFDE：AE 又因?yàn)锳E：ED2：3 所以DG：AF3：2即 所以AF：FC：4DG1：6例2. 如圖2,BCCD,AFFC,求EF：FD解：過點(diǎn)C作CG/DE交AB于點(diǎn)G,則有EF：GCAF：AC因?yàn)锳FFC 所以AF：AC1：2 即EF：GC1：2,因?yàn)镃G：DEBC：BD 又因?yàn)锽CCD所以BC：BD1

5、：2 CG：DE1：2 即DE2GC因?yàn)镕DEDEF 所以EF：FD小結(jié)：以上兩例中,輔助線都作在了已知條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處,且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?讓我們感受其中的奧妙！例3. 如圖3,BD：DC1：3,AE：EB2：3,求AF：FD。解：過點(diǎn)B作BG/AD,交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。 所以DF：BGCD：CB因?yàn)锽D：DC1：3 所以CD：CB3：4 即DF：BG3：4,因?yàn)锳F：BGAE：EB 又因?yàn)锳E：EB2：3所以AF：BG2：3 即所以AF：DF例4. 如圖4,BD：DC1：3,AFFD,求EF：FC。解：過點(diǎn)D作DG/CE,交AB于點(diǎn)G所以EF：

6、DGAF：AD因?yàn)锳FFD 所以AF：AD1：2 圖4即EF：DG1：2 因?yàn)镈G：CEBD：BC,又因?yàn)锽D：CD1：3, 所以BD：BC1：4即DG：CE1：4,CE4DG因?yàn)镕CCEEF所以EF：FC1：7練習(xí)：1. 如圖5,BDDC,AE：ED1：5,求AF：FB。2. 如圖6,AD：DB1：3,AE：EC3：1,求BF：FC。 答案：1、1：10； 2. 9：1二 由角平分線想到的輔助線圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

7、對(duì)于有角平分線的輔助線的作法,一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線,構(gòu)造對(duì)稱圖形如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊。通常情況下,出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí),一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法,要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線一、截取構(gòu)全等如圖1-2,AB/CD,BE平分BCD,CE平分BCD,點(diǎn)E在AD上,求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線,可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形,即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形,同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題,在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來證明,延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段

8、長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等,延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等,截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等,進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。已知：如圖1-3,AB=2AC,BAD=CAD,DA=DB,求證DCAC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。已知：如圖1-4,在ABC中,C=2B,AD平分BAC,求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線,在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形,此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的,在長(zhǎng)的線段上截取短的線段,來證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來證明呢？二、

9、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線,利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如圖2-1,已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。如圖2-2,在ABC中,A=90,AB=AC,ABD=CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DEBC于E,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出全等三角形,從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題,從中利用了相當(dāng)于截取的方法。已知如圖2-3,ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP,證AP平分BAC即可,也就

10、是證P到AB、AC的距離相等。三：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交,則截得一個(gè)等腰三角形,垂足為底邊上的中點(diǎn),該角平分線又成為底邊上的中線和高,以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。如果題目中有垂直于角平分線的線段,則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交。已知：如圖3-1,BAD=DAC,ABAC,CDAD于D,H是BC中點(diǎn)。求證：DH=AB-AC分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證。已知：如圖3-2,AB=AC,BAC=90,AD為ABC的平分線,CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線

11、的垂線,可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交,近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ABC中,AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線,過頂點(diǎn)B作BFAD,交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC內(nèi)外角平分線,可得EAAF,從而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。已知：如圖3-4,在ABC中,AD平分BAC,AD=AB,CMAD交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AM=AB+AC分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換,作ABD關(guān)于AD的對(duì)稱AED,然后只需證DM=EC,另外由求證的結(jié)果AM=AB+AC,即2AM=AB+AC,也可嘗試作A

12、CM關(guān)于CM的對(duì)稱FCM,然后只需證DF=CF即可。三 由線段和差想到的輔助線線段和差及倍半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式,移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí),一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng),延長(zhǎng)部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式,通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊,故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí),通常將大角放在某三角形的外角位置上,小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用不等式性

13、質(zhì)證明。DAECB例1如圖,AC平分BAD,CEAB,且B+DAECB例3已知：如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,A=108,BD平分ABC。DCDCBAMBDCA例4如圖,已知RtABC中,ACB=90,AD是CAB的平分線,DMMBDCA1如圖,ABCD,AE、DE分別平分BAD各ADE,求證：AD=AB+CD。EEDCBA2.如圖,ABC中,BAC=90,AB=AC,AE是過A的一條直線,且B,C在AE的異側(cè),BDAE于D,CEAE于E。求證：BD=DE+CE四 由中點(diǎn)想到的輔助線 三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。一、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2

14、如圖3,在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結(jié)BD,并取BD的中點(diǎn)為M,連結(jié)ME、MF,ME是BCD的中位線,MECD,MEF=CHE,MF是ABD的中位線,MFAB,MFE=BGE,AB=CD,ME=MF,MEF=MFE,從而BGE=CHE。二、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3圖4,已知ABC中,AB=5,AC=3,連BC上的中線AD=2,求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,則AE=2AD=22=4。在ACD和EBD中,AD=ED,ADC=EDB,CD=BD,ACDEBD,AC=BE,從而BE

15、=AC=3。在ABE中,因AE2+BE2=42+32=25=AB2,故E=90,BD=,故BC=2BD=2。例4如圖5,已知ABC中,AD是BAC的平分線,AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD,故EB=AC,E=2,又1=2,1=E,AB=EB,從而AB=AC,即ABC是等腰三角形。三、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6,已知梯形ABCD中,AB/DC,ACBC,ADBD,求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,則DE、CE分別為RtABD,RtABC斜邊AB上的中線,故DE=CE=AB,因此CDE=DCE

16、。AB/DC,CDE=1,DCE=2,1=2,在ADE和BCE中,DE=CE,1=2,AE=BE,ADEBCE,AD=BC,從而梯形ABCD是等腰梯形,因此AC=BD。四、角平分線且垂直一線段,應(yīng)想到等腰三角形的中線例6如圖7,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,BD平分ABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA,CE交于點(diǎn)F,在BEF和BEC中,1=2,BE=BE,BEF=BEC=90,BEFBEC,EF=EC,從而CF=2CE。又1+F=3+F=90,故1=3。在ABD和ACF中,1=3,AB=AC,BAD=CAF=90,ABDACF,B

17、D=CF,BD=2CE。注：此例中BE是等腰BCF的底邊CF的中線。五中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線,常延長(zhǎng)加倍此線段,再將端點(diǎn)連結(jié),便可得到全等三角形。1 如圖,AB=CD,E為BC的中點(diǎn),BAC=BCA,求證：AD=2AE。BBECDA3 如圖,AB=AC,AD=AE,M為BE中點(diǎn),BAC=DAE=90。求證：AMDC。DDMCDEDADBDABDCABDCEF五 全等三角形輔助線一、倍長(zhǎng)中線線段造全等1：希望杯試題已知,如圖ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_.2：如圖,ABC中,E、F分別在AB、AC上,DEDF,D是中點(diǎn),

18、試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn),求證：AD平分BAE.中考應(yīng)用例題：以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系1如圖當(dāng)為直角三角形時(shí),AM與DE的位置關(guān)系是,線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；2將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0后,如圖所示,1問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求證：CDAC2：如圖,ACBD,EA,EB分別平分CAB,DBA,CD過點(diǎn)E,求證;ABAC+BD3：如圖,已知

19、在內(nèi),P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是,的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖,在四邊形ABCD中,BCBA,ADCD,BD平分,求證：5三、借助角平分線造全等1：如圖,已知在ABC中,B=60,ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE=OD2：06XX市中考題如圖,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F. 1說明BE=CF的理由；2如果AB=,AC=,求AE、BE的長(zhǎng).3.如圖,OP是MON的平分線,請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答下列問題：1如圖,在ABC中,ACB

20、是直角,B=60,AD、CE分別是BAC、BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；OPAMNEBCDOPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖四、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中,E為BC上的一點(diǎn),F為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF,求EAF的度數(shù).2：D為等腰斜邊AB的中點(diǎn),DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證DE=DF。若AB=2,求四邊形DECF的面積。3.如圖,是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,是等腰三角形,且,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角,使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,則的周長(zhǎng)為；4已知四邊形中,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交或它們

21、的延長(zhǎng)線于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖1,易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí),在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立？若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,線段,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想,不需證明圖圖1圖2圖35.已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).如圖,當(dāng)APB=45時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);當(dāng)APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.6.在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為外一點(diǎn),且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3 =

22、1 * ROMAN I如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且DM=DN時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是； 此時(shí)； = 2 * ROMAN II如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上,且當(dāng)DMDN時(shí),猜想 = 1 * ROMAN I問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； = 3 * ROMANIII 如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí),若AN=,則Q=用、L表示梯形中的輔助線1、平移一腰：例1.如圖所示,在直角梯形ABCD中,A90,ABDC,AD15,AB16,BC17. 求CD的長(zhǎng). 解：過點(diǎn)D作DEBC交AB于點(diǎn)E. 又ABCD,所以四邊形BCDE是平行四邊形. 所以DEBC

23、17,CDBE. 在RtDAE中,由勾股定理,得AE2DE2AD2,即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.例2如圖,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范圍。解：過點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M,在BCM中,BM=AD=4,CM=CDDM=CDAB=83=5,所以BC的取值范圍是：54BC54,即1BC9。2、平移兩腰： 例3如圖,在梯形ABCD中,AD/BC,BC=90,AD=1,BC=3,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),連接EF,求EF的長(zhǎng)。解：過點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線,交BC于點(diǎn)G、H,可得EGHEHG=BC

24、=90則EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn),容易證得F是GH的中點(diǎn)所以3、平移對(duì)角線：例4、已知：梯形ABCD中,AD/BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面積解：如圖,作DEAC,交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)ABDCEHABDCEHBE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4在DBE中, BD=3,DE=4,BE=5BDE=90作DHBC于H,則例5如圖,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,AD=3,BC=7,BD=,求證：ACBD。解：過點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易得四邊形BCED是平行四邊形,則DE=BC,CE=BD=,所以AE=

25、ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形ABCD中,AC=BD=,所以在ACE中,從而ACCE,于是ACBD。例6如圖,在梯形ABCD中,AD/BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm,求梯形ABCD的面積。解：過點(diǎn)D作DE/AC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則四邊形ACED是平行四邊形,即。所以由勾股定理得cmcm所以,即梯形ABCD的面積是150cm2。二、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn),可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例7如圖,在梯形ABCD中,AD/BC,B=50,C=80,AD=2,BC=5,求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。在BCE中,B=50,C=80。所以E=50,從而BC=E

26、C=5同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3例8.如圖所示,四邊形ABCD中,AD不平行于BC,ACBD,ADBC. 判斷四邊形ABCD的形狀,并證明你的結(jié)論. 解：四邊形ABCD是等腰梯形. 證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E,如圖所示. ACBD,ADBC,ABBA,DABCBA. DABCBA. EAEB. 又ADBC,DECE,EDCECD. 而EEABEBAEEDCECD180,EDCEAB,DCAB. 又AD不平行于BC,四邊形ABCD是等腰梯形. 三、作對(duì)角線即通過作對(duì)角線,使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6,在直角梯形ABCD中,AD/BC,ABAD,BC=CD,BECD于

27、點(diǎn)E,求證：AD=DE。解：連結(jié)BD,由AD/BC,得ADB=DBE；由BC=CD,得DBC=BDC。所以ADB=BDE。又BAD=DEB=90,BD=BD,所以RtBADRtBED,得AD=DE。四、作梯形的高1、作一條高例10如圖,在直角梯形ABCD中,AB/DC,ABC=90,AB=2DC,對(duì)角線ACBD,垂足為F,過點(diǎn)F作EF/AB,交AD于點(diǎn)E,求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G,則易知四邊形DGBC是矩形,所以DC=BG。因?yàn)锳B=2DC,所以AG=GB。從而DA=DB,于是DAB=DBA。又EF/AB,所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高ABCDDE

28、DFD例11、在等腰梯形ABCD中,AD/BC,AB=CD,ABC=60ABCDDEDFD求：腰AB的長(zhǎng)；梯形ABCD的面積解：作AEBC于E,DFBC于F,又ADBC,四邊形AEFD是矩形, EF=AD=3cmAB=DC在RtABE中,B=60,BE=1cmAB=2BE=2cm,五、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn),作梯形的中位線。例13如圖,在梯形ABCD中,AB/DC,O是BC的中點(diǎn),AOD=90,求證：ABCD=AD。證：取AD的中點(diǎn)E,連接OE,則易知OE是梯形ABCD的中位線,從而OE=ABCD在AOD中,AOD=90,AE=DE所以由、得ABCD=AD。2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn),

29、連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn),并延長(zhǎng)與底邊相交,使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖,在梯形ABCD中,AD/BC,E、F分別是BD、AC的中點(diǎn),求證：1EF/AD；2。證：連接DF,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,易證AFDCFG則AD=CG,DF=GF由于DE=BE,所以EF是BDG的中位線從而EF/BG,且因?yàn)锳D/BG,所以EF/AD,EF3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí),過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15、在梯形ABCD中,ADBC, BAD=900,E是DC上的中點(diǎn),連接AE和BE,求AEB=2CBE。解：分別延長(zhǎng)AE與BC ,并交于F點(diǎn)BAD=900且ADBCFBA=1800

30、BAD=900 又ADBCDAE=F AED=FEC 對(duì)頂角相等DE=EC E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)ADEFCE AAS AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBEABDCEF例16、已知：如圖,在梯形ABCD中,AD/BC,ABBC,E是CDABDCEF解：AE=BE,理由如下：延長(zhǎng)AE,與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)FDE=CE,AED=CEF,DAE=FADEFCEAE=EFABBC,BE=AE例17、已知：梯形ABCD中,AD/BC,E為DC中點(diǎn),EFAB于F點(diǎn),AB=3cm,EF=5cm,求梯形ABCD的面積解：如圖,過E點(diǎn)作MNAB,分別交AD的延長(zhǎng)線于M點(diǎn),交BC于N點(diǎn)ABCDEFMABCDEFMNDEMCNE四邊形ABNM是平行四邊形EFAB,S梯形ABCD=SABNM=ABEF=15cm2模擬試題答題時(shí)間：40分鐘2. 如圖所示,已知等腰梯形ABCD中,ADBC,B60,AD2,BC8,則此等腰梯形的周長(zhǎng)為A. 19B. 20C. 21D. 22*8. 如圖所示,梯形ABCD中,ADB