1、費(fèi)馬點(diǎn)一、研究目的費(fèi)馬點(diǎn)是17世紀(jì)法國有名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的。所指的是在三角形所在的平面上，有一個點(diǎn)到三角形三個極點(diǎn)距離之和最小。而費(fèi)馬點(diǎn)有很多存心義的性質(zhì)，即為此，自己以費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)為因來進(jìn)行一系列的檢查與研究。二、研究結(jié)果（一）費(fèi)馬點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)者費(fèi)馬點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)者是費(fèi)馬Fermat,Pierrede,1601-1665，17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家。1601年8月17日在法國南部圖盧茲周邊波蒙-德洛馬涅出生。從前于家鄉(xiāng)受教育，后入圖盧茲大學(xué)供讀法律，畢業(yè)后任職律師。自1631年起任圖盧茲議會議員。任職時期，他利用工余時間研究數(shù)學(xué)，并常常以書信與笛卡兒、梅森、惠更斯等有名學(xué)者交往，討論數(shù)學(xué)識題。他飽覽群書，

2、精曉數(shù)國文字，掌握多門自然科學(xué)的知識。雖年近三十才仔細(xì)注意數(shù)學(xué)，但成就累累。最后于1665年1月12日在卡斯特爾去世。他生前因?yàn)樾郧榈?，為人謙虛，所以較少宣布論著，大多成就只留在手稿、通訊或冊頁之空白處。他的兒子于1679年把這些遺作整理齊聚成書共兩卷，在圖盧茲第一版。因?yàn)樗跀?shù)論、解析幾何、概率論等方面貢獻(xiàn)良多，被后代譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王。（二）費(fèi)馬點(diǎn)的求法ABC需是三個內(nèi)角皆小于120三角形，分別以AB、BC、CA為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABD、ACE，此后連結(jié)DC、BE，則二線交于一點(diǎn)，記作點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)。（三）費(fèi)馬點(diǎn)的考證ABC是等邊三角形，以邊AB、AC分別向ABC

3、外側(cè)作等邊三角形，連結(jié)DC、EB，交點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)。則可得出結(jié)論：AP=BP=CP；APB=BPC=APC=120；點(diǎn)P是心里，是在三角形三個內(nèi)角的角均分線的交點(diǎn)；點(diǎn)P是垂心，是ABC各邊的高線的交點(diǎn)；ABP、ACP、BCP全等。點(diǎn)P是ABC各邊的中線的交點(diǎn)；ABC的三極點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)時和最小。ABC是等腰三角形，以邊AB、AC分別向ABC外側(cè)作等邊三角形，連結(jié)DC、EB，交點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)。則可得出結(jié)論：ABC的三極點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時和最??；APB=BPC=APC=120；ABP與ACP全等；BCP為等腰三角形。ABC

4、是直角三角形，以邊AB、AC分別向ABC外側(cè)作等邊三角形，連結(jié)DC、EB，交點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)。則可得出結(jié)論：ABC的三極點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時和最小；APB=BPC=APC=120（四）費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個極點(diǎn)距離之和最小費(fèi)馬點(diǎn)連結(jié)三極點(diǎn)所成的三夾角皆為120費(fèi)馬點(diǎn)為三角形中能量最低點(diǎn)。（檢查得悉）4.三力均衡時三力夾角皆為120，所以費(fèi)馬點(diǎn)是三力均衡的點(diǎn)。（檢查得悉）（五）費(fèi)馬點(diǎn)的應(yīng)用在實(shí)質(zhì)生活中，若三角形的三個極點(diǎn)分別是在三個地方，而要求是在“三角形”內(nèi)建一處車站等，且假如車站到三個地方的公路行程和最短，可利用費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個極點(diǎn)距

5、離之和最小。則這車站應(yīng)建在費(fèi)馬點(diǎn)上。三、結(jié)論由此次研究可讓我們知道，若想要在某方面做出偉大成就必先努力、持之以恒的研究，就如胡適所言：“做學(xué)識要再不疑處有疑”。而且，將成就運(yùn)用于生活，服務(wù)生活，方便生活，才是他們的價值所在！二、找費(fèi)馬點(diǎn)在平面上一三角形ABC，試找出內(nèi)部一點(diǎn)P，使得PAPBPC為最小。第一，讓我們先找到P點(diǎn)的性質(zhì)，再來研究怎么做出P點(diǎn)。點(diǎn)有什么性質(zhì)呢？它的地點(diǎn)能否有什么特別意義呢？在中學(xué)里，我們學(xué)過三角形的心里、外心、重心以及垂心，P點(diǎn)和這些心之間相關(guān)系嗎？仍是和有些線段長、角度大小相關(guān)系呢？APB、BPC和CPA很湊近，這三個角度有何關(guān)系？【解法1】1APB旋轉(zhuǎn)60到CBP如

6、右圖，以B點(diǎn)為中心，將因?yàn)樾D(zhuǎn)60，且PBPB，所以PPB為一個正三角形PBPP所以，PAPBPCPCPPPC由此可知當(dāng)C、P、P、C四點(diǎn)共線時，PAPBPCPCPPPC為最小2若CPP共線時，則BPP60CPBAPB120同理，若PPC共線時，則BPP60所以P點(diǎn)為知足APBBPCCPA120的點(diǎn)。可是，該用什么方法找出P點(diǎn)呢？以ABC三邊為邊，分別向外作正三角形ABC、ABC、ABC連結(jié)AA、BB、CCAA、BB、CC三線共點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為P，即為所求【證明1】(在解法1曾提到若PAPBPCPCPPPC，即CPPC四點(diǎn)共線時，PAPBPCCC有最小值，所以P要在CC上。)ABBACC12則DPBDAC，得3460在PC上取點(diǎn)P，使得BPBPBPP為正三角形則ABPCBP，得APCP所以PAPBPCPCPPPCCC【證明2】APBBPCCPA120，又ABPC四點(diǎn)共圓(BPCBAC180)所以CPA60故APCCPA180，所以P在AA上同理可證P在BB、CC上，故P為AA、BB、CC三線交點(diǎn)三、畫出費(fèi)馬點(diǎn)經(jīng)過上邊的討論，能夠知道，在平面上ABC，想找出一點(diǎn)P，使PAPBPC為最小，方法為：分別以AB