1、PAGE5平面向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示疑難點(diǎn)撥一、準(zhǔn)確理解平面向量基本定理1實(shí)質(zhì):平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解,即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式,且分解是唯一的2轉(zhuǎn)化與化歸思想:平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,用向量解決幾何問(wèn)題時(shí),我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?將問(wèn)題中涉及的向量向基底化歸,使問(wèn)題得以解決3推廣:由共線向量定理知,任意一個(gè)向量可以用一個(gè)與它共線的非零向量線性表示,且這種表示唯一,故平面向量基本定理是共線向量定理的從一維到二維的推廣練1平行四邊形中,是的中點(diǎn),若,則ABCD思路分析選基底,利用三角形法則用,表示把用基底,表示出來(lái)利

2、用唯一性求值二、平面向量基本定理的應(yīng)用1用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路1先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式,再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決注:基底的判定方法:兩個(gè)向量能否作為基底,關(guān)鍵是看它們是否共線題中的向量是否共線,主要看它們所在的線段是否在同一條直線上或是否平行2在基底未給出的情況下,合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便另外,要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理2應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題1只要兩個(gè)向量不共線,就可以作為平面向量的一組基底,基底可以有無(wú)窮多組2利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)上就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算練2在中,與交于點(diǎn),

3、設(shè),以、為基底表示思路分析設(shè)、三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線與的關(guān)系式求出,求出三、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別:1當(dāng)且僅當(dāng)向量的始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)相同2在直角坐標(biāo)系中有雙重含義,既可以表示一個(gè)點(diǎn),也可以表示個(gè)向量,為了區(qū)分,一般說(shuō)點(diǎn),向量3向量的坐標(biāo)前一般帶“=”,而點(diǎn)的坐標(biāo)前不帶“=”練3已知向量的方向與軸的正方向的夾角是,且,則的坐標(biāo)為_(kāi)思路分析利用三角函數(shù)的定義求向量對(duì)應(yīng)有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)參考答案:練1答案:D解析:因?yàn)?又因?yàn)?由平面向量基本定理得,解得,所以點(diǎn)撥:一個(gè)重要結(jié)論:設(shè),是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,若,則有,這是平面向量基本定理的主要應(yīng)用,能提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)練2答案:見(jiàn)解析解析:設(shè),易知,因?yàn)?三點(diǎn)共線,所以,即又易知,因?yàn)?、三點(diǎn)共線,所以,即由,解得,所以點(diǎn)撥:在用基底表示向量時(shí),一定要注意共線向量定理的應(yīng)用,合理地把向量轉(zhuǎn)化到基底對(duì)應(yīng)的向量上,可提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)練3答案:見(jiàn)解析解析:設(shè),則,故點(diǎn)撥:求點(diǎn)、向量坐標(biāo)的方法1在平面內(nèi),互相垂直的兩個(gè)單位向量組成的基底可以表示該平面內(nèi)任一向量2求點(diǎn)的坐標(biāo):一般過(guò)該點(diǎn)作,軸的垂線,常利用三角函數(shù)