1、1.5.1全稱量詞與存在量詞學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義.3.會(huì)判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會(huì)判斷它們的真假導(dǎo)語同學(xué)們，生活中，我們經(jīng)常聽到“全體起立，所有人到操場集合，全都不許說話”；我們還經(jīng)常聽到“有的同學(xué)考上了清華大學(xué)，有的同學(xué)沒有交作業(yè)”而這里出現(xiàn)了一些在我們數(shù)學(xué)中非常重要的量詞，“全體，所有的，任意的，有的，存在”等，今天我們就對(duì)含有這些量詞的命題展開討論一、全稱量詞與全稱量詞命題問題1下列語句是命題嗎？比較(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系？(1)x3；(2)2x1是整數(shù)；(3)對(duì)所有的xR，x

2、3；(4)對(duì)任意一個(gè)xZ,2x1是整數(shù)提示語句(1)(2)中含有變量x，由于不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷它們的真假，所以它們不是命題語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“所有的”對(duì)變量x進(jìn)行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語“任意一個(gè)”對(duì)變量x進(jìn)行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語句，因此語句(3)(4)是命題知識(shí)梳理全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給符號(hào)表示全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”，可用符號(hào)簡記為“xM，p(x)”注意點(diǎn)：(1)從集合的觀點(diǎn)看全稱量詞命題是陳述某集合中的所有的元素都具有某種性質(zhì)的命題

3、，全稱量詞表示的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由題目而定(2)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時(shí)需要把它補(bǔ)充出來，例如：命題“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”應(yīng)理解為“所有的平行四邊形的對(duì)角線都互相平分”(3)要判定全稱量詞命題“xM，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立(4)要判定全稱量詞命題“xM，p(x)”是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可例1判斷下列命題是否為全稱量詞命題，并判斷真假(1)對(duì)任意直角三角形的兩銳角A，B，都有sin Acos B；(2)自然數(shù)的平方大于或等于零；(3)所有的二次函數(shù)的圖象的開口都向上解(1)含有全稱量詞“任意”，故是全稱量

4、詞命題，真命題(2)全稱量詞命題表示為nN，n20.真命題(3)全稱量詞命題對(duì)于任意二次函數(shù)，它的圖象的開口都向上假命題反思感悟(1)判斷一個(gè)命題是否為全稱量詞命題，主要看命題中是否有“所有的，任意一個(gè)，一切，每一個(gè)，任給”等表示全體的量詞，有些命題的全稱量詞是隱藏的，要仔細(xì)辨別(2)判斷真假時(shí)用直接法或間接法，直接法就是對(duì)陳述的集合中每一個(gè)元素都要使結(jié)論成立，間接法就是找到一個(gè)元素使結(jié)論不成立即可跟蹤訓(xùn)練1判斷下列全稱量詞命題的真假(1)每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360；(2)任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；(3)xy|y是無理數(shù)，x2是無理數(shù)解(1)真命題(2)負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，假命題(3)xeq

5、r(2)是無理數(shù)，但x22是有理數(shù)，假命題二、存在量詞與存在量詞命題問題2下列語句是命題嗎？比較(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系？(1)2x13；(2)x能被2和3整除；(3)存在一個(gè)xR，使2x13；(4)至少有一個(gè)xZ，x能被2和3整除提示容易判斷，(1)(2)不是命題語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“存在一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用“至少有一個(gè)”對(duì)變量x的取值進(jìn)行限定，從而使(3)(4)變成了可以判斷真假的陳述句，因此(3)(4)是命題知識(shí)梳理存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)，有些、有的、對(duì)某些符號(hào)表示存在量詞

6、命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號(hào)簡記為“xM，p(x)”注意點(diǎn)：(1)從集合的角度看，存在量詞命題是陳述某集合中有或存在一些或至少一個(gè)元素具有某種性質(zhì)的命題(2)有些命題可能沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”“有一個(gè)”等特征的命題都是存在量詞命題(3)要判斷存在量詞命題“xM，p(x)”是真命題，只需要在集合M中找到一個(gè)元素x，使p(x)成立即可(4)要判斷一個(gè)存在量詞命題是假命題，需對(duì)集合M中的任意一個(gè)元素x，證明p(x)都不成立例2判斷下列命題是否為存在量詞命題，并判斷真假(1)有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除；(2)某個(gè)四邊形不是平行四邊形；(3

7、)方程3x2y10有整數(shù)解；(4)有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x22x40.解(1)存在量詞命題，表示為xZ，x既能被2整除，又能被3整除真命題(2)存在量詞命題，表示為xy|y是四邊形，x不是平行四邊形真命題(3)可改寫為存在一對(duì)整數(shù)x，y，使3x2y10成立故為存在量詞命題真命題(4)存在量詞命題，由于2244120，因此方程無實(shí)根假命題反思感悟(1)判斷一個(gè)命題是否為存在量詞命題，主要看命題中是否有“存在一個(gè)，至少有一個(gè)，有些，有一個(gè)，對(duì)某些，有的”等表示部分的量詞，有些命題的存在量詞是隱藏的，要仔細(xì)辨別(2)判斷真假時(shí)用直接法或間接法，直接法就是對(duì)陳述的集合中有一個(gè)元素使結(jié)論成立即可，間接法就是對(duì)

8、集合中所有的元素使結(jié)論不成立跟蹤訓(xùn)練2判斷下列存在量詞命題的真假(1)存在一個(gè)四邊形，它的兩條對(duì)角線互相垂直；(2)至少有一個(gè)整數(shù)n，使得n2n為奇數(shù)；(3)xy|y是無理數(shù)，x2是無理數(shù)解(1)菱形的對(duì)角線互相垂直，真命題(2)n2nn(n1)，故n和n1必為一奇一偶，其乘積為偶數(shù)，假命題(3)當(dāng)x時(shí)，x2仍是無理數(shù)，真命題三、依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B，若命題p：“xB，xA”是真命題，求m的取值范圍解由于命題p：“xB，xA”是真命題，所以BA，因?yàn)锽，所以eq blcrc (avs4alco1(m12m1，,m12，,2m15

9、，)解得2m3.即m的取值范圍為m|2m3延伸探究1把本例中命題p改為“xA，xB”，求m的取值范圍解p為真，則AB，因?yàn)锽，所以m2.所以eq blcrc (avs4alco1(2m15，,m2)或eq blcrc (avs4alco1(22m15，,m2，)解得2m4.2把本例中的命題p改為“xA，xB”，是否存在實(shí)數(shù)m，使命題p是真命題？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由解由于命題p：“xA，xB”是真命題，所以AB，B，所以eq blcrc (avs4alco1(m12m1，,m12，,2m15，)無解，所以不存在實(shí)數(shù)m，使命題p是真命題反思感悟依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)

10、取值范圍問題的求解方法(1)首先根據(jù)全稱量詞和存在量詞的含義透徹地理解題意(2)其次根據(jù)含量詞命題的真假把命題的真假問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系或函數(shù)的最值問題，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)的取值范圍跟蹤訓(xùn)練3若命題“xR，x24xa0”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解命題“xR，x24xa0”為真命題，方程x24xa0存在實(shí)數(shù)根，則(4)24a0，解得a4.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a41知識(shí)清單：(1)全稱量詞、全稱量詞命題、存在量詞、存在量詞命題的概念(2)含量詞的命題的真假判斷(3)依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍2方法歸納：定義法、轉(zhuǎn)化法3常見誤區(qū)：有些命題省略了量詞；全稱量詞命題

11、強(qiáng)調(diào)“整體、全部”，存在量詞命題強(qiáng)調(diào)“個(gè)別、部分”1(多選)下列命題是全稱量詞命題的是()A任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)B有的菱形是正方形C梯形有兩邊平行DxR，x210答案AC解析選項(xiàng)A中的命題含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞命題；選項(xiàng)C中，“梯形有兩邊平行”是全稱量詞命題2下列命題中是存在量詞命題的是()A任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0B任意一個(gè)負(fù)數(shù)都比零小C每一個(gè)正方形都是矩形D存在沒有最大值的二次函數(shù)答案D解析D選項(xiàng)是存在量詞命題3下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()A每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開口向上B存在一條直線與已知直線不平行C對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，若ab0，則abD存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使等式

12、x22x10成立答案C解析B，D是存在量詞命題，故應(yīng)排除；對(duì)于A，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象開口向下，也應(yīng)排除，故應(yīng)選C.4命題p：xR，x22x50是_(填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”)，它是_命題(填“真”或“假”)答案存在量詞命題假解析命題p是存在量詞命題，因?yàn)榉匠蘹22x50的判別式22453”的另一種表述方式的是()A有一個(gè)xR，使得x23B對(duì)有些xR，使得x23C任選一個(gè)xR，使得x23D至少有一個(gè)xR，使得x23答案C解析“”表示“任意的”2下列命題中既是全稱量詞命題又是真命題的是()AxR,2x10B若2x為偶數(shù)，則xNC菱形的四條邊都相等D是無理數(shù)答案C解析對(duì)

13、A，是全稱量詞命題，但不是真命題，故A不正確；對(duì)B，是全稱量詞命題，但不是真命題，故B不正確；對(duì)C，是全稱量詞命題，也是真命題，故C正確；對(duì)D，是真命題，但不是全稱量詞命題，故D不正確3下列命題中的假命題是()AxR，|x|0 BxR,2x101CxR，x30 DxR，x210答案C解析當(dāng)x0時(shí)，x30，故選項(xiàng)C為假命題4下列存在量詞命題是假命題的是()A存在xQ，使4x20B存在xR，使x2x10C有的素?cái)?shù)是偶數(shù)D有的有理數(shù)沒有倒數(shù)答案B解析對(duì)于任意的xR，x2x1eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2eq f(3,4)0恒成立5以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是

14、()A銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x20C兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使eq f(1,x)2答案B解析A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱量詞命題；B中當(dāng)x0時(shí)，x20，所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中因?yàn)閑q r(3)(eq r(3)0，所以C是假命題；D中對(duì)于任一個(gè)負(fù)數(shù)x，都有eq f(1,x)0”用“”寫成存在量詞命題為_答案x0解析存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡記為“xM，p(x)”8若命題“二次函數(shù)yx23x9a的圖象恒在x軸上方”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(

15、1,4)，)解析由題意，“二次函數(shù)yx23x9a的圖象恒在x軸上方”為真命題，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得(3)249a0，解得aeq f(1,4)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，).9判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假性(1)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)t，eq r(t)為正且eq r(t)0；(4)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等解(1)為全稱量詞命題，且為假命題，如取t1，則eq r(t)0，所以存在實(shí)數(shù)x，使得x23x40.(3)為存在量詞命題，且為真命題，如取實(shí)數(shù)對(duì)(2,0)，則3x4y50成立(4)為全稱量詞命題

16、，且為真命題10已知命題“3x2,3ax20”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由3ax20，得3a2x，3x2，2x3，23a23，即0aeq f(5,3)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(ablc|rc (avs4alco1(0af(5,3).11下列命題中形式不同于其他三個(gè)的是()AxZ，x29x2BxR，x22x10C每一個(gè)正數(shù)的倒數(shù)都大于0Dx2，x31 Ba1Ca1 Da1答案B解析依題意得，方程x22xa0無實(shí)根，所以必有44a0，解得a3，xa恒成立，則a的取值范圍是_答案a3解析對(duì)于任意x3，xa恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，所以a3.15能夠說明“存在不相等的實(shí)數(shù)a，b，使得a2abb0”