1、第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型-靜態(tài)優(yōu)化模型3.1 存貯模型 3.2 生豬的出售時(shí)機(jī) 3.3 森林救火3.4 消費(fèi)者的選擇3.5 生產(chǎn)者的決策3.6 血管分支3.7 冰山運(yùn)輸3.3 森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量.隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小.綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量.問題分析問題記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 時(shí)刻t森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t2)決定. 救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小

2、. 關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問題分析失火時(shí)刻t=0, 開始救火時(shí)刻t1, 滅火時(shí)刻t2, 畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形.t1t2OtBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時(shí)間燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度).模型假設(shè) 3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0tt1, dB/dt 與 t成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速度). 2）t1tt2, 降為x (為隊(duì)員的平均滅火速度). 4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用c3 .假設(shè)1）的解釋rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比.面積 B與

3、t2 成正比dB/dt與 t 成正比模型建立bOt1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用模型求解求 x使 C(x)最小結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數(shù)bOt1t2t模型應(yīng)用c1,c2,c3已知, t1可估計(jì), c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果解釋c1燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開始救火時(shí)刻, 火勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么? ,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量 x3.4 消費(fèi)者的選擇背景消費(fèi)者在市場(chǎng)里如何分配手里一定數(shù)量

4、的錢，選擇購(gòu)買若干種需要的商品. 根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的一條最優(yōu)化原理“消費(fèi)者追求最大效用” ，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助消費(fèi)者決定他的選擇. 假定只有甲乙兩種商品供消費(fèi)者購(gòu)買， 建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況.當(dāng)消費(fèi)者購(gòu)得數(shù)量分別為x1, x2的甲乙兩種商品時(shí)，得到的效用可用函數(shù)u (x1, x2)度量，稱為效用函數(shù).效用函數(shù) 利用等高線概念在x1, x2平面上畫出函數(shù)u 的等值線, u (x1, x2)=c 稱為等效用線等效用線就是“ 實(shí)物交換模型”中的無(wú)差別曲線，效用就是那里的滿意度. Ox2u(x1,x2) = cx1c增加 一族單調(diào)減、下凸、互不相交的曲線. 效用最大化模型 p1, p2甲乙

5、兩種商品的單價(jià), y消費(fèi)者準(zhǔn)備付出的錢 x1, x2 購(gòu)得甲乙兩種商品數(shù)量QABy/p2y/p1x1x2幾何分析 x2u(x1,x2) = cx1Oc增加u(x1, x2) = c 單調(diào)減、下凸、互不相交.在條件 p1 x1+p2 x2 =y 下使效用函數(shù)u(x1, x2)最大. AB必與一條等效用線相切于Q點(diǎn) (消費(fèi)點(diǎn)).Q (x1, x2) 唯一.消費(fèi)線AB模型求解引入拉格朗日乘子構(gòu)造函數(shù)與幾何分析得到的 Q 一致等效用線u (x1, x2)=c的斜率 消費(fèi)線AB的斜率結(jié)果解釋效用函數(shù)的構(gòu)造等效用線u (x1, x2)=c 所確定的函數(shù) x2(x1)單調(diào)減、下凸. 解釋條件中正負(fù)號(hào)的實(shí)際意

6、義充分條件當(dāng)商品邊際效用之比等于它們價(jià)格之比時(shí)效用函數(shù)最大. 邊際效用商品數(shù)量 增加一個(gè)單位時(shí)效用的增量 效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式 購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比, 比例系數(shù)是參數(shù)與之比的平方根. u(x1,x2)中參數(shù) , 分別度量甲乙兩種商品對(duì)消費(fèi)者的效用，或者消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛 . 購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比只取決于, 與價(jià)格無(wú)關(guān). u(x1,x2)中, 分別度量?jī)煞N商品的效用或者偏愛.實(shí)際應(yīng)用時(shí)根據(jù)對(duì)最優(yōu)解的分析，決定采用哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定其參數(shù).效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式效用最大化模型應(yīng)用舉例 例1 征銷售稅還是征收入稅 政府

7、從消費(fèi)者身上征稅的兩種辦法: 銷售稅 根據(jù)消費(fèi)者購(gòu)買若干種商品時(shí)花的錢征稅 收入稅 根據(jù)消費(fèi)者的收入征收所得稅 利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論 征稅前設(shè)甲乙兩種商品的單價(jià)為p1, p2，消費(fèi)者準(zhǔn)備花的錢為y, 等效用線為u (x1, x2)=c，消費(fèi)點(diǎn)為Q(x1, x2) .l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1, x2) =cOx2x1l 例1 征銷售稅還是征收入稅 對(duì)甲商品征銷售稅, 稅率為p0 征稅前的消費(fèi)點(diǎn)Q 消費(fèi)線AB1, B1在B的左邊 AB1與l1相切于Q1(x1*, x2*) 若改為征 收入稅 政府得到的銷售稅額 p0 x1* 征收的稅額與銷售稅額 p0

8、 x1*相同 消費(fèi)線A2B2與l2相切于Q2, 可證B2在B1的右邊. l2在l1上？l2在l1下？ 如果l2在l1上方，Q2的效用函數(shù)值將大于Q1, 對(duì)消費(fèi)者來(lái)說征收入稅比征銷售稅好. 例2 價(jià)格補(bǔ)貼給生產(chǎn)者還是消費(fèi)者政府為鼓勵(lì)商品的生產(chǎn)或者減少消費(fèi)者的負(fù)擔(dān)所采取的兩種價(jià)格補(bǔ)貼辦法： 把補(bǔ)貼款直接給生產(chǎn)者 把補(bǔ)貼款發(fā)給消費(fèi)者而讓商品漲價(jià) 鼓勵(lì)商品生產(chǎn),對(duì)消費(fèi)者無(wú)影響 讓甲商品價(jià)格漲到p1+p0, 補(bǔ)貼消費(fèi)者多花的錢 p0 x1*,使仍達(dá)到消費(fèi)點(diǎn)Q lQABu (x1, x2) =cOx1x2lQABx1x2補(bǔ)貼前的消費(fèi)點(diǎn)Q 消費(fèi)線 過Q, 與l相切于Q 的效用函數(shù)值大于Qx1 x2* 對(duì)消費(fèi)

9、者更有利 對(duì)甲商品生產(chǎn)不利3.5 生產(chǎn)者的決策背景根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的又一條最優(yōu)化原理“生產(chǎn)者追求最大利潤(rùn)” ，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助生產(chǎn)者或供銷商做出決策.生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入，按照商品的銷售情況制訂價(jià)格. 在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中“消費(fèi)者追求最大效用”，生產(chǎn)者呢？最大利潤(rùn)模型 x產(chǎn)品產(chǎn)量f (x) 邊際產(chǎn)值 x變化一個(gè)單位時(shí)產(chǎn)值的改變量 c(x) 邊際成本 x變化一個(gè)單位時(shí)成本的改變量最大利潤(rùn)在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時(shí)達(dá)到. 假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入 f(x) 產(chǎn)值(收入), c(x) 成本 利潤(rùn) 達(dá)到最大利潤(rùn)的產(chǎn)量 x*在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大. 產(chǎn)量

10、x等于銷量，數(shù)量無(wú)限制. 收入與x 成正比，系數(shù) p 即價(jià)格. 成本與 x 成正比，系數(shù) c 即邊際成本. 銷量x 依于價(jià)格 p, x(p)是減函數(shù).簡(jiǎn)化假設(shè)求p使 r(p) 最大最優(yōu)定價(jià)模型 利潤(rùn)c / 2 成本的一半b 彈性系數(shù)價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下降幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）a 絕對(duì)需求( p很小時(shí)的需求)b p* a p* a, b可由p和x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作擬合得到 利潤(rùn)達(dá)到最大的定價(jià)利潤(rùn)最優(yōu)定價(jià)模型 投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型 x1, x2 甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量c1, c2 甲乙產(chǎn)品的單位成本s總投資費(fèi)用f (x1, x2) 產(chǎn)值函數(shù) 在條件 下求x1, x2使產(chǎn)值 f (x1, x2)

11、最大. QABs/c2s/c1x1x2x2f(x1,x2) = vx1Ov增加等產(chǎn)值線f (x1, x2)=v單調(diào)減、下凸、互不相交.幾何分析 投資線AB必與一條等產(chǎn)值線相切于Q點(diǎn).與效用最大化模型類似下凸稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高 投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型 最優(yōu)解(x1, x2)滿足 在條件 下求x1, x2使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大. 用拉格朗日乘子法求條件極值邊際產(chǎn)值當(dāng)兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的價(jià)格之比時(shí)，產(chǎn)值達(dá)到最大. 產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小的對(duì)偶關(guān)系 x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) 投資費(fèi)用一定的產(chǎn)值最大模型 g(s,c)給定的單位成本c下費(fèi)用不超過s的最大產(chǎn)

12、值. 產(chǎn)值一定的投資費(fèi)用最小模型 s(v,c)給定的單位成本c下產(chǎn)值不低于v的最小費(fèi)用. 對(duì)偶極值問題 只要解決其中之一, 另一個(gè)就迎刃而解 成本函數(shù)是簡(jiǎn)單的線性函數(shù) c(x). 產(chǎn)值函數(shù)f(x) 在實(shí)際生產(chǎn)過程中常常難以確定. 從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小對(duì)偶關(guān)系的應(yīng)用 Qf (x) vlABOx1x2 給定v和c求得最小費(fèi)用s(v,c)=s 畫出直線AB: cx=sx=(x1, x2)T, c =(c1, c2) f (x)v的點(diǎn)在AB上方, 且AB上有一點(diǎn)Q位于l: f (x)=v上 改變c重復(fù)上述過程, 得到一系列不同斜率的直線 區(qū)域f (x)v在直線上方, 其邊界

13、是等產(chǎn)值線l: f (x)=v 包絡(luò)線 改變v重復(fù)上述過程, 得到一系列等產(chǎn)值線 3.6 血 管 分 支背景機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng).給血管壁以營(yíng)養(yǎng).克服血液流動(dòng)的阻力.消耗能量取決于血管的幾何形狀.在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)達(dá)到能量最小原則.研究在能量最小原則下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度.問題模型假設(shè)一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面.血液流動(dòng)近似于黏性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng).血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度d近似與血管半徑r成正比.qq1q1ABBCHLll1rr1q=2q1r/r1, ?考察血管AC與CB, CB黏性流體在剛性管道中運(yùn)動(dòng) pA,C壓力差， 黏性系數(shù)克服阻力消耗能量E1 提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量E2 管壁內(nèi)表面積 2rl管壁體積(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比模型假設(shè)qq1q1ABBCHLll1rr1模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1克服阻力消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量機(jī)體為血流提供能量模型求解qq1q1A