1、2017 年考研數(shù)學(xué)三真題與解析2017年考研數(shù)學(xué)三真題一、選擇題 18 小題每小題 4 分，共 32分1若函數(shù) 在 處連續(xù)，則1 cos x,x0 x0 x 0axxaxax 2ax0 x0 x0所以應(yīng)該選（）112x 0z xy(3x y)，z y(3x y)xy 3y2xy y22222z，得四個駐點對每個駐點驗證2xz2，且AC 20，ACB 30,)2所以 為函數(shù)的極大值點，所以應(yīng)該選（）,)3設(shè)函數(shù) 是可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則 f(x)f (x) 0f(x)（）（）（C）（）f(1) f(f) f() f()ff) f()2【詳解】設(shè)，則，也就是 是單 g(x)(f(x)2 g (x)

2、 2f(x)f (x) 0f(x)，所以應(yīng)該2調(diào)增加函數(shù)也就得到 f(1) f(1) f(1) f(1)22選（）4 若級數(shù)收斂，則 （） 11 kn2（）（）1212【n11 12on222顯然當(dāng)且僅當(dāng) ，也就是 時，級數(shù)的一般項是關(guān)k 11nnEnETEETT【 詳 解 】 矩 陣 的 特 征 值 為 和 個 ， 從 而0T1TTTT； 顯然只有 存在零特征值，所以不可E1,1,1, ,13,1,1, ,1T逆，應(yīng)該選（A2 0 02 1 01 0 06已知矩陣，則A 0 2 1B 0 2 0C 0 2 00 0 10 0 10 0 238設(shè)為來自正態(tài)總體 的簡單隨機樣本，N(X ,X ,

3、 ,X (n2)12n若，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）1nX Xnii1（）服從 分布（）2服從2 X Xn(X )222in1（）n(X X)222i）顯然且相互獨立，2ii服從 分布，也就是（）結(jié)論是正確的；n (n)2in2 (n 222i212n（ 4 ） 對 于 選 項 （ B ） ：1 N (X X ) n1222n12n1 6 4 24 分. 把答案填在題中橫線上）9 xx ) 232解：由對稱性知3x 2 xx )2322220510差分方程的通解為y 2y 2tt1t【詳解】齊次差分方程的通解為 ；y 2y 0t1y C2xt設(shè)的特解為 ，代入方程，得 ；1y 2y 2ty

4、at2a tt1tt21tttt1t2Q.12設(shè)函數(shù) 具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且已知f(x,y)，則df (x,y) ye dxx(1 y)e dyf(0,0) 0f(x,y)yyyyyyf(0,0) 0C 0y， 為線性無關(guān)的三維列向量，A 1 1 2, ,0 1 11231231 0 1 1 0 1 1 0 1【詳解】對矩陣進(jìn)行初等變換， A 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 10 1 10 0 0知矩陣 A 的秩為 2 , , 123的秩為 A ,A ,A123614設(shè)隨機變量 的概率分布為， 1 P X 1 aXP X 2 2，若 ，則 P X 3 bEX0 【詳解】顯然由概率

5、分布的性質(zhì)，知，解得1ab 121292222三、解答題xt0 x3xxt00 xxxext23lim lim lim003x3x3x3x0 xx 0 xx2y3D2Dxy3 y3dxxdydxdyx y )x y )24 224 200D1 dx y )24dxx4x y )24 2001 11 2dx 181x 12x 4222017 10分）7求k k 1nn n2nk1【詳解】由定積分的定義k k 1 k k xx)nn 11 1n nn n n2nn0k1k1111224011k【詳解】設(shè)1112222令222 2，所以 在 上單調(diào)減少，由于 ，所以當(dāng) 時，x (0,1)(0,1)x

6、(0,1)g(x) g(0)0 x(0,1)f(x)(0,1)，也就是得到111 lim1xx) 2ln2x0 x0 x) xx0111k ln2219 10分）8設(shè)數(shù)， 為冪級數(shù) 的和函a xn1a 1,a 0,a (na a )(n1,2,3 ),S(x)n101n1nn1nn0（）證明 的收斂半徑不小于 a xn1n（明(1x)S(x)xS(x) 0(x ( 1,1) 1(na a )(na na ann1nnnn1 nnn210n101n1na (a a )(a a ) (a a )a ( n1nn2111 11nnn n（2）所以對于冪級數(shù) ， 由和函數(shù)的性質(zhì)，可得nn1 (na x

7、 na xnnna (na na )xn1n1nn1 a x a x x a x xS(x)nn1nn1nnn1n0n0也就是有(1x)S (x) xS(x) 0(x ( 1,1) 9解微分方程Cex(1x)S (x) xS(x) 0 S(0) a 1C 1S(x)1x0所以exS(x)1x20 11分）A , ,123312，求方程組 的通解 ,1231）證明：因為矩陣有三個不同的特征值，所以 是非零矩陣，也就是 A假若 r 0，也就是 線性相關(guān)， r()2 2 0312123r()3r()2（為 以 的基礎(chǔ)解系中只有一個線性無r()2Ax0，所以基礎(chǔ)解系為 ； x 2 2 0 312 ,1

8、 123 1 k 11 21 11分）設(shè)二次型在正交變換 下f (x ,x ,x ) 2x x ax 2x x 8x x 2x xx222212313121 32 3的標(biāo)準(zhǔn)形為，求 的值及一個正交矩陣 12y yaQ222110 2 1 4【詳解】二次型矩陣A 1 1 14 1 a因為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為值，所以 ，故 有零特征12y y222A1A 0a2.41412令123i1112111 02 0 236 11 11326 Q , , 0123361112設(shè) 隨 機 變 量 相 互 獨 立 ， 且 的 概 率 分 布 為X,YXY（）求概率；Y ）（）求 的概率密度Z X Y1）123EY

9、yf (y)dyY2y dy2.011所以242P Y PY 2 .3390（） 的分布函數(shù)為Z X Y F (z) P Z z P X Y z P X Y z,X 0 P X Y z,X 2Z P X 0,Y z P X 2,Y z21212YYZZ z2,2 z3 某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做了 次測量，該物體的質(zhì)量 是已知的，設(shè) 次測nn相互獨立且均服從正態(tài)分布 該工程21nnii1nZi1）先求 的分布函數(shù)為Zi X z F (z) P Z z P X z P iZii當(dāng) 時，顯然 ；z0F (z)0Z12當(dāng) 時，； X z z z0 P Z z P X z P1F (z)Zi ii所以 的概率