1、PAGE6生活中的優(yōu)化問題典例精析生活中的許多優(yōu)化問題，往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題?？荚囌f明要求“會利用導數(shù)解決某些實際問題”這也是導數(shù)應(yīng)用的一個重要方面。在利用導數(shù)解決這類優(yōu)化問題時，其一般步驟是：（1）設(shè)出恰當?shù)奈粗?，并確定未知量的取值范圍（即函數(shù)的定義域）；（2）依題意將所求最值的量表示為未知量的函數(shù)；（3）求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)等于零，得到導數(shù)為0的點；（4）通過單調(diào)性確定出函數(shù)的最值點及最值。舉例說明。例1某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為元（）時，一年的銷售量為萬件（）求分公司一年的利潤（萬

2、元）與每件產(chǎn)品的售價的函數(shù)關(guān)系式；（）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤最大，并求出的最大值分析：公司利潤=每件產(chǎn)品的（售價-成本-管理費銷售量，故可設(shè)出每件產(chǎn)品的售價，將分公司一年的利潤表示成售價的函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可。解：（）分公司一年的利潤（萬元）與售價的函數(shù)關(guān)系式為：（）令得或（不合題意，舍去），在兩側(cè)的值由正變負所以（1）當即時，（2）當即時，所以答：若，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當每件售價為元時，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）點評：本小題考查函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用等知識，考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力解題的關(guān)鍵

3、是要注意題目中的及的范圍，因為求解到的極值點中含有參數(shù)，所以要對參數(shù)并結(jié)合的范圍進行分類討論。例2如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（1）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（2）求面積的最大值分析：由題意可知，需將鋼板的面積表示成為變量的函數(shù)，而此梯形的面積關(guān)鍵是求出它的高，因此，應(yīng)首先建立平面直角坐標系，借助橢圓的方程進行求解。解：（1）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得，其定義域為（2）記，則令，得因為當時，；當時，所以是的最大值

4、因此，當時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為點評：本小題考查橢圓、函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用等知識，考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力本題的主要方法是首先建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，得到橢圓的方程，然后才能建立面積的一個函數(shù)表達式，其次還要注意在第一問中要標明函數(shù)的定義域，第二問中所給函數(shù)在給定的區(qū)間上只有一個極值點，那么它也是函數(shù)在該區(qū)間上的最值點，據(jù)此可求得函數(shù)的最值。例3某企業(yè)有一條價值萬元的生產(chǎn)流水線，要提高該生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，就要對流水線進行技術(shù)改造假設(shè)增加值（萬元）與技改投入（萬元）之間的關(guān)系滿足：與成正比例；當時，；其中為常數(shù)且（1）設(shè)，求出的表達式，并求其定義域；（2）求出增加值的最大值，并求出此時的的值分析：由條件可直接列出函數(shù)表達式，再根據(jù)條件提供的初始值，求出其中的比例系數(shù)，因此第一問難度不大，解決第二問要充分考慮條件中的及的范圍。解：（1）設(shè)，當時，從而有由，得（2），令，解得，或（）若，即，則當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為減函數(shù)故對于的情況，當時，取得最大值，最大值為（）若，即，則仿（1）可得在上是增函數(shù)，故當時，取得最大值，最大值為綜上可知：當時，增加值的最大值是萬元，此時技改投入為萬元；當時，增加值的最大值是萬元，此時技改投入為萬元點評：本小題考查函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力