（三）ARMA模型的自相關函數(shù)

由ARMA(p,q)的自協(xié)方差公式可以看出，只有的q個自相關的值同時依賴于和；當時，具有與AR(p)模型相同的自相關函數(shù)差分公式或者1若，，自相相關函數(shù)數(shù)是是指數(shù)或或正弦波波衰減的的，具體體由多項項式和初始值值決定。。若，，就會會有個個初初始值不遵從一一般的衰衰減變化化形式。。ARMA(p,q)的自相關關函數(shù)是是步步拖尾尾的。這這一事實實在識別別ARMA模型時也也非常有有用。2ARMA(1,,1)過過程3二、偏自自相關函函數(shù)（partialautocorrelationfunction，PACF）時間序列列過程的的偏自相相關函數(shù)數(shù)就是時時間序列列在兩個個時間隨隨機變量量之間，，排除了了其間各各個時間間隨機變變量影響響的相關關系數(shù)。。4（一）AR(p)模型的偏偏自相關關函數(shù)AR(p)的模型偏自相關關函數(shù)定定義為計算方法法把對對回回歸，得得到回歸歸方程其中最后后一項的的回歸系系數(shù)就是是要求的的偏自相相關系數(shù)數(shù)。。5根據(jù)線性性回歸法法計算偏偏自相關關函數(shù)，，運用最最小二乘乘法進行行參數(shù)估估計，得得到正規(guī)規(guī)方程組組該方程組組也可以以認為是是利用的的協(xié)方差差和自相相關函數(shù)數(shù)導出。。尤勒——沃克方程程如下6分別求解解，得到到偏自相相關系數(shù)數(shù)：7由于AR(p)模型意味味著與與以以后的滯滯后項不不相關，，因此大大于p階的偏自自相關系系數(shù)必然然都等于于0。這意味著著AR(p)模型的偏偏自相關關函數(shù)有有在處截尾的的特征。。這也是識識別自回回歸模型型及其自自回歸階階數(shù)的重重要依據(jù)據(jù)。8（二）MA(q)和ARMA模型的偏偏自相關關函數(shù)MA(1)的偏自相相關函數(shù)數(shù)

該函數(shù)，，且被衰衰減指數(shù)數(shù)控制，，因此具具有拖尾尾性?？赡娴腗A())過程等價價于無限限階的AR過程，因因此它們們的偏自自相關函函數(shù)會無無限延伸伸，被指指數(shù)衰減減和（或或）正弦弦波衰減減所控制制。總之之都具有有拖尾的的特征。。9自回歸移移動平均均混合過過程ARMA(p,q)，是由自自回歸過過程和移移動平均均過程兩兩部分組組成，因因此它們們的偏自自相關函函數(shù)也是是無限延延伸的，，其特征征就像純純移動平平均過程程的偏自自相關函函數(shù)?；旌线^程程的偏自自相關函函數(shù)被復復合的衰衰減指數(shù)數(shù)和（或或）衰減減正弦波波所控制制。衰減減特性主主要由移移動平均均過程的的階數(shù)和和具體參參數(shù)決定定。10三、模型型識別方方法1、基本ARMA模型自相相關和偏偏自相關關函數(shù)的的基本特特征（1）AR(p)模型的自自相關函函數(shù)是拖拖尾的，，即會按按指數(shù)衰衰減，或或正弦振振蕩衰減減，偏自自相關函函數(shù)是截截尾的，，截尾處處為自回回歸階數(shù)數(shù)p；（2）MA(q)模型的自自相關函函數(shù)是截截尾的，，截尾處處對應移移動平均均階數(shù)q。偏自相相關函數(shù)數(shù)則是拖拖尾的；；11（3）ARMA(p,q)模型的自自相關函函數(shù)和偏偏自相關關函數(shù)都都是拖尾尾的，自自相關函函數(shù)是步步拖尾尾，偏自自相關函函數(shù)是步步拖尾。。122、樣本自自相關函函數(shù)和樣樣本偏自自相關函函數(shù)假設有一一組觀測測樣本，，一一般認為為近似自自相關函函數(shù)最好好的樣本本自相關關函數(shù)為為：其中13計算樣本本偏自相相關函數(shù)數(shù)（SPACF）的方法法：直接把樣樣本自相相關值代代入尤勒勒——沃克方程程進行計計算，或或者用公公式回歸的方方法計算算。14第三節(jié)自自回歸歸移動平平均模型型的估計計ARMA模型的參參數(shù)估計計常用的的方法是是利用均均值（期期望）、、自相關關函數(shù)，，包括Yule-Walker方程的矩矩估計方方法。這這些矩估估計方法法是一致致估計，，但未必必有效。。充分有效效的估計計方法是是最大似似然法，，但最大大似然法法比較復復雜。在樣本容容量較大大時矩估估計與最最大似然然估計是是接近的的。15一、移動動平均模模型參數(shù)數(shù)估計MA(q)模型的自自協(xié)方差差函數(shù)為為自相關函函數(shù)為16首先利用用樣本數(shù)數(shù)據(jù)計算算出的的估計計值把這q+1個樣本自自協(xié)方差差代自協(xié)協(xié)方差函函數(shù)中的的，，或或者根據(jù)據(jù)這些再再計計算出的的估估計代代入自自相關函函數(shù)，并并用和和分分別代代自協(xié)方方差或自自相關函函數(shù)中的的待定參參數(shù)和和，，可得到到q+1個方程的的聯(lián)立方方程組。。17如果可以以從這個個方程組組解出和和，，就是我我們要求求的參數(shù)數(shù)估計值值。也可以先先解出真真實參數(shù)數(shù)與自協(xié)協(xié)方差、、自相關關的關系系，再代代入樣本本估計值值。因為是是時時間序列列過程的的二階矩矩，上述述估計量量是通過過q+1個樣本矩矩方程求求出的，，所以是是矩估計計量，具具有一致致估計的的性質。。18q=1時的參數(shù)數(shù)估計方法一：：直接利利用一階階自相關關函數(shù)進進行參數(shù)數(shù)估計19由于可逆逆性條件件要求的的絕對值值小于1，因此只只有滿足要求求。把樣本自自相關系系數(shù)作作為的的估計計代入上上式，就就可以解解得模型型參數(shù)的的估計量量20方法二：：利用自自協(xié)方差差函數(shù)進進行估估計MA(1)模型有求解上述述方程組組，并利利用，，可可解得21代入樣本本自相關關和自協(xié)協(xié)方差得得模型參參數(shù)和模模型誤差差項方差差的的估計量量由于上述述矩估計計的方程程組是非非線性的的，因此此只有當當q較?。╭=1、2、3）時，直直接進行行解析求求解才可可行，當當更大時時解析求求解越來來越困難難，一般般應使用用迭代方方法求近近似解。。22最簡單的的迭代方方法把MA(q)模型的自自協(xié)方差差公式代代入估計計量，并并變換為為23首先給出出參數(shù)的的一組初初始值：：將它們和和代代入入上述兩兩個迭代代公式，，計算出出參數(shù)的的第一次次迭代值值，，，再再將這些些參數(shù)值值代入迭迭代公式式反復迭迭代，直直到收斂斂。最后后得到迭迭代值作作為參數(shù)數(shù)估計值值。24二、自回回歸模型型參數(shù)估估計（一）普普通最小小二乘估估計OLS根據(jù)模型型，，殘殘差平方方和為根據(jù)最小小二乘原原理，利利用一階階條件求求上述最最小二乘乘函數(shù)最最小化的的參數(shù)值值，，即為為最小二二乘估計計。25（二）利利用樣本本自協(xié)方方差方程程的矩估估計對于一般般的平穩(wěn)穩(wěn)AR(p)模型，有有關于自自相關的的一組關關系，即即Yule-Walker方程：26利用樣本本數(shù)據(jù)計計算出樣樣本自相相關，代入上上述Yule-Walker方程，可可以解得得的“Yule-Walker估計”：：27該模型中中修正項項的的方方差則可可以用下下式估計計：因為計算算估計量量的方程程組是樣樣本自相相關函數(shù)數(shù)，也是是二階樣樣本矩方方程，因因此Yule-Walker估計同樣樣是矩估估計量，，也是一一致估計計。28當樣本容容量足夠夠大時，，OLS法和矩估估計方法法的結果果是很相相似的。。在使用OLS法時需要要注意的的是，AR(p)模型回歸歸用的是是一個時時間序列列的數(shù)據(jù)據(jù)，各期期滯后之之間相關關性較強強，因此此回歸結結果的有有效性往往往有問問題，必必須時間間序列的的樣本容容量比較較大，而而且還要要排斥存存在共線線性問題題。29三、自回回歸移動動平均模模型參數(shù)數(shù)估計ARMA(p,q)模型的個個參數(shù)可可分兩步步進行估估計步驟一：：先估計計出其中中的自回回歸參數(shù)數(shù)；步驟二：：估計移移動平均均系數(shù)和和。。30（一）估估計自回回歸參數(shù)數(shù)因為當時時，，ARMA(p,q)模型的自自相關函函數(shù)與AR(p)相同的性性質，因因此31利用樣本本自相關關函數(shù)值值，可計計算出的的估計量量：32（二）估估計移動動平均系系數(shù)模型改寫寫成令，，并讓讓作作為為一個變變量代入入，則模模型近似似為就是一個個MA(q)模型，可可以利用用前面介介紹的MA(q)模型矩方方法估計計其中的的參數(shù)和和33可以利用用原時間間序列的的自協(xié)方方差和前前面得到到的自回回歸系數(shù)數(shù)估計，，計算出出的的自自協(xié)方差差，進而而計算出出自相關關系數(shù)。。再代入MA(q)模型矩估估計的樣樣本自相相關函數(shù)數(shù)，就可可以用前前面介紹紹的方法法得到和和的的參數(shù)估估計。34第四節(jié)ARMA模型檢驗驗和預測測一、ARMA模型檢驗驗ARMA模型最主主要的檢檢驗是殘殘差序列列隨機性性檢驗，，也就是是在用所所選擇的的模型進進行參數(shù)數(shù)估計以以后，確確定殘差差序列是是無序列列相關的的白噪聲聲，還是是存在序序列相關關性：如果仍然然存在明明顯的序序列相關關性，意意味著選選擇的模模型沒有有把原時時間序列列中的信信息全部部模擬出出來，或或者說存存在一定定的偏差差，模型型需要修修正。如果殘差差序列已已經(jīng)是白白噪聲，，則所選選擇的模模型比較較合理。。35檢驗殘差差是否白白噪聲的的方法（一）是是根據(jù)殘殘差序列列的樣本本自相關關函數(shù)SACF，樣本偏偏自相關關函數(shù)SPACF，看它們們是否在在統(tǒng)計上上具有顯顯著性。。（二）利利用SACF，用專門門的統(tǒng)統(tǒng)計量~36一般的參參數(shù)顯著著性t檢驗，確確定模型型及其階階數(shù)的信信息準則則SIC和AIC，也都對對ARMA模型的選選擇，對對自回歸歸、移動動平均階階數(shù)的確確定有參參考價值值。在應應用時應應該綜合合考慮這這些因素素。BOX等建議采采用“過過擬合方方法”進進行檢驗驗。即先先設定參參數(shù)較多多，階數(shù)數(shù)較高的的模型，，然后根根據(jù)顯著著性和模模型選擇擇、判斷斷準則逐逐步簡化化。這種種方法有有一定道道理，但但有時也也有問題題。37二、ARMA模型預測測（一）ARMA模型預測測原理預測的前前提是已已確定了了模型，，并且已已經(jīng)作了了參數(shù)估估計和進進行了基基本的檢檢驗。檢驗評估估模型的的預測往往往把觀觀測數(shù)據(jù)據(jù)分成兩兩部分，，一部分分用于估估計參數(shù)數(shù)，另一一部分則則用于檢檢驗模型型的預測測效果，，從而判判斷模型型的有效效性。時間序列列模型預預測的一一般準則則是均方方誤（MSE）最小，，而均方方誤最小小的預測測就是條條件期望望預測。。38（二）MA模型預測測MA模型預測測的前提提是移動動平均參參數(shù)、擾擾動方差差，以及及不可觀觀測的擾擾動都得得到了估估計，后后者通常常是利用用AR形式進行行估計的的。方便起見見，在預預測分析析中仍然然用原來來符號表表示參數(shù)數(shù)和擾動動項的估估計值，，并只討討論無常常數(shù)項模模型的預預測。391、MA(1)模型預測測（1）一步預預測因此一步步預測為為預測誤差差的方差差為40（2）二步預預測因此二步步預測為為預測誤差差的方差差為對于任意意h>2，MA(1)模型的h步預測也也都為0，預測方方差則都都為412、MA(2)模型預測測（1）一步預預測因此一步步預測為為預測誤差差的方差差為42（2）二步預預測因此二步步預測為為預測誤差差的方差差為對于任意意h>2，MA(2)模型的h步預測也也都為0，預測方方差則都都為。。433、MA(q)模型預測測h步預測的的公式:其中，，且對于于，，。。h步預測誤誤差的方方差44