1616、(本小題5分)1616、(本小題5分)第一學(xué)期期末高等數(shù)學(xué)試卷一、解答下列各題（本大題共16小題，總計(jì)80分）1、（本小題5分）求極限x3-12x+16求極限limx—22x3—9x2+12x—42、2、（本小題5分）求Jxdx.(1+x2)23、（本小題5分）4、求極限limarctanxT8（本小題5分）x-arcsin-求j仝dx.1—x5、(本小題5分)求—Jx\'1+12dt.dx06、(本小題5分)求Jcot6x-CSC4xdx.7、（本小題5分）求J；丄cos丄dx丄x2x兀8、（本小題5分）設(shè)F一eC0SSt確定了函數(shù)y二y（x）,求學(xué).[y=e21sintdx9、（本小題5分）求J3x*l+xdx.010、（本小題5分）求函數(shù)y=4+2x-x2的單調(diào)區(qū)間Y11、（本小題5分）哥sinx,求J2dx.08+sin2x12、(本小題5分)設(shè)x(t)=e—kt(3cos①t+4sin①t)，求dx.13、(本小題5分)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y2+lny2=x6所確定，求空dx14、(本小題5分)求函數(shù)y二2ex+e-x的極值15、(本小題5分)求極限limxT8+(10x+1)2(x+1)2+(2x+1)求極限limxT8+(10x+1)2(10x—1)(11x—1)求fcos2xdx刁,x.1+sinxcosx6363一cosx01、2、3、41、2、3、4、5、解:原式=lim3x12—xf26x2一18x+12

6x=limxf212x-18=2（本小題3分）Jxdx（1+x2）2_丄jd（1+x2）2（1+x2）211_-+c.21+x2（本小題3分）因?yàn)閨arctanx|<而limarcsin—=02xxT81故limarctanx-arcsin=0xfgx（本小題3分）Jxdx1-x—1-x-1dx1-x二-Jdx+Jdx1-x=—x—ln|1—x|+c.（本小題3分）二、解答下列各題（本大題共2小題，總計(jì)14分）1、（本小題7分）某農(nóng)場需建一個(gè)面積為512平方米的矩形的曬谷場,一邊可用原來的石條圍沿,另三邊需砌新石條圍沿,問曬谷場的長和寬各為多少時(shí),才能使材料最省.2、（本小題7分）求由曲線y=竺和y=三所圍成的平面圖形繞OX軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.28三、解答下列各題（本大題6分）設(shè)f（X）二x（x-1）（x-2）（x-3）,證明廣（x）二0有且僅有三個(gè)實(shí)根.學(xué)期期末高數(shù)考試（答案）一、解答下列各題（本大題共16小題，總計(jì)77分）（本小題3分）求—Jx\-1+12dt.dx0原式_2xjl+x4

6、(本小題4分)Jcot6x-CSC4xdx=-Jcot6x(1+cot2x)d(cotx)11=-cot7x一cot9x+c.797、(本小題4分)求J：丄cos丄dx丄x2x原式=-J21兀cos—x=-1=-12兀丄兀?1=一sinx8、(本小題4分)Ix=etcos12設(shè)]Iy=e21sint確定了函數(shù)y=y(x),求dydx解：dy_e21(2sint+cost)解：dxet(costJ3+cosx-2tsintJ3+cosx_et(2sint+cost)

(cos12-2tsin12)9、(本小題4分)求J=——Inx.1+=——In0令Jl+x=u原式=2J2(u4-u2)du1_U5U3i=2(了一曰2=116=10、(本小題5分)求函數(shù)y=4+2x-x2的單調(diào)區(qū)間解.函數(shù)定義域(-a,+8)y'=2-2x=2(1-x)當(dāng)x=1,y'=0當(dāng)x<1,y'>0函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為(-?1]當(dāng)x>1,y'<0函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為1,+a)11、(本小題5分)sinx8+sin2xdx．原式=-Jdcosx9-cos2x12、設(shè)二1ln26(本小題6分)x(t)=e-kt(3cos①t+4sin①t)，求dx.13、解：dx=xr(t)dt=e-kt1(4①-3k)cos①t-(4k+3①)sin①t]dt(本小題6分)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y2*+lny2*=x6所確定，求.dx14、2y'2yy'+=6x5yy'=亙y2+1(本小題6分)求函數(shù)y=2ex+e-x的極值解：定義域(-8，+8),且連續(xù)1y'二2e-x(e2x-)211駐點(diǎn)：x=In22由于y“=2ex+e-x>015、(本小題8分)15、(本小題8分)求極限lim(x+1)2+(2x+1)2+(3x+1)2+…+(10x+1)2xT8(10x-1)(11x-1)(1+=ln1+—sin2x+c)2+(2+1)2+(3+1)2+???+(10+丄)2原式=ln1+—sin2x+ci(10--)(11--)xx=10x11x21=6x10x11=7=216、(本小題10分)cos2xdx1+-—sin2x2解J[cocos2xdx1+-—sin2x21+sinxcosxdG1sin2x+1)1+￡sin2x2xx2+kx>0xx2+kx>0某農(nóng)場需建一個(gè)面積為512平方米的矩形的曬谷場,一邊可用原來的石條圍沿,另三邊需砌新石條圍沿,問曬谷場的長和寬各為多少時(shí),才能使材料最省.512設(shè)曬谷場寬為x,則長為——米，新砌石條圍沿的總長為x512L=2x+(x>0)x512L'=2———唯一駐點(diǎn)x=16x2L”=竺4>0即x=16為極小值點(diǎn)x3512故曬谷場寬為16米，長為512=32米時(shí)，可使新砌石條圍沿16所用材料最省2、(本小題8分)求由曲線y=今和y=寧所圍成的平面圖形繞ox軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積.x=0,x=4.11dx=』4(—x=0,x=4.11dx=』4(———)dx046428V=兀卜x0TOC\o"1-5"\h\z1111=兀(—?x5—?—x74564711512=兀44(—)=兀5735三、解答下列各題(本大題10分)設(shè)f(x)=x(x—1)(x—2)(x—3),證明廣(x)=0有且僅有三個(gè)實(shí)根.證明:f(x)在(—g,+s)連續(xù)，可導(dǎo),從而在[0,3];連續(xù)，可導(dǎo).又f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0則分別在[0,1],[1,2],[2,3]上對(duì)f(x)應(yīng)用羅爾定理得,至少存在:e(0,1),:￡(1,2),E￡(2,3)使ff憶)=廣憶)=廣憶)=0123123即八x)=0至少有三個(gè)實(shí)根，又f'(x)=0,是三次方程,它至多有三個(gè)實(shí)根,由上述T(x)有且僅有三個(gè)實(shí)根高等數(shù)學(xué)(上)試題及答案一、填空題(每小題3分，本題共15分)21、lim(1+3x)x=.oxt0Iexx<02、當(dāng)k=1時(shí)，f(x)=<在x=0處連續(xù).55、55、3、dx設(shè)y=x+lnx,則=dyx/x+14、曲線y二ex-x在點(diǎn)（0,1）處的切線方程是y=x+15、若Jf(x)dx=sin2x+C,C為常數(shù)，則f(x)=2Cos2X二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1、x若函數(shù)f(x)=一，則limf(x)=(D)x2、3、4、5、A、0B、-1C、1D、不存在列變量中,是無窮小量的為（B）A.ln—(xT0+)B.lnx(xT1)x滿足方程f'（x）=0的x是函數(shù)y=f（x）的A.極大值點(diǎn)B.極小值點(diǎn)C.COSX(xT0)）．C.駐點(diǎn)列無窮積分收斂的是（BA、卜sinxdx0B、C、嚴(yán)-dx0x設(shè)空間三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（1,1,1)、2,2,1)、B(2,兀A、兀B、C、三、計(jì)算題（每小題7分,本題共56分）1、求極限lim"4+x-2xT0sin2x2、求極限lim(i-^-)xT0xex-13、求極限cosxJe-t2dtlim-^xT0x24、設(shè)y=e5+ln(x+\：1+x2)，求y'設(shè)f=y(x)由已知f=ln(1+t2),Iy=arctantD.上二2(xT2)x2-4D.間斷點(diǎn)D、嚴(yán)丄少oJx1,2)。則ZAMB=_A1110110010110006、求不定積分I丄sin(2+3)dxx2x7、求不定積分Iexcosxdx18、求12f(x8、求12f(x—1)dx01、1+x四、應(yīng)用題（本題7分）求曲線y二x2與x二y2所圍成圖形的面積A以及A饒y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。五、證明題（本題7分）若f（x）在［0,1］上連續(xù)，在（o,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0，f（2）=1，證明：在（0,1）內(nèi)至少有一點(diǎn)E，使）=1。參考答案一。填空題（每小題3分，本題共15分）1、e1、e62、k=1．3、4、y=15、f(x)=2cos2x二．單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）1、D2、B3、C4、B5、A三．計(jì)算題(本題共56分，每小題7分)4+x—2x1[.2x11.解：lim二lim二二lim二石xt0sin2xx^0sin2x(j4+x+2)2x^0sin2x(J4+x+2)82.解3、解：lim(!—L)二limex—1—x二lim口二lim2.解3、解：x—0xex—1x—0x(ex—1)x—0ex—1+xexx?ex+ex+xex2cosxIe—t2dtTOC\o"1-5"\h\z—sinxe—cos2x1lim—二lim二一一xT0x2xt02x24、解：y'二1(1+1)二=x+v1+x2v'1+x2<1+x26、解：J7、解：d2ydx21cos(-+3)+C2xJexcosxdx=Jcosxdex=excosx+Jexsinxdx=excosx+Jsinxdex=excosx+exsmx-Jexcosxdx=ex(sinx+cosx)+C8、解：Jf(x-1)dx=J1f(x)dx=J0f(x)dx+J1f(x)dx8、0-1-10=J0dx,J1dx-i1+exo1+x=J0(1—上二)dx+ln(1+x)F-11+exo=1-ln(1+ex)|0+In2-1=1+ln(1+e-1)=ln(1+e)四．應(yīng)用題(本題7分)解：曲線y=x2與x=y2的交點(diǎn)為（1,1）,于是曲線y=x2與x=y2所圍成圖形的面積A為A=J(\A=J(\：x-x2)dx=[3x2-1x2]13A繞y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為