第三章集合論第1頁(yè)1回顧6個(gè)邏輯聯(lián)接詞最小完備運(yùn)算集命題變?cè)?、命題公式永真式、永真蘊(yùn)含代入規(guī)則、替換規(guī)則永真、永假、可滿(mǎn)足對(duì)偶三個(gè)原理/定理范式基本和、基本積、極小項(xiàng)、極大項(xiàng)析取、合取主析取、主合取命題翻譯推理四規(guī)則P規(guī)則T規(guī)則CP規(guī)則F規(guī)則第2頁(yè)2回顧個(gè)體、謂詞、量詞全稱(chēng)量詞、存在量詞自由變?cè)?、約束變?cè)^詞公式、謂詞公式解釋含量詞等價(jià)式和永真蘊(yùn)含式量詞轉(zhuǎn)化律、擴(kuò)張及收縮律、量詞分配律謂詞公式翻譯推理規(guī)則約束變?cè)杂勺冊(cè)肴〈?guī)則量詞增刪規(guī)則全稱(chēng)特指（UniversalSpecification）存在特指（Existentialspecification）存在推廣（existentialgeneralization）全稱(chēng)推廣（universalgeneralization）第3頁(yè)3集合論創(chuàng)建與康托爾遭遇

19世紀(jì)末期，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了一件引人注目標(biāo)事情。一位名叫康托爾（G.Cantor，1845－1918）德國(guó)數(shù)學(xué)家提出一個(gè)令人費(fèi)解古怪理論----集合論。它內(nèi)容是如此與常識(shí)格格不入，以致于一出世就引發(fā)了一場(chǎng)軒然大波。

自從17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨）創(chuàng)建微積分理論體系之后，在近一二百年時(shí)間里，微積分理論一直缺乏一個(gè)嚴(yán)格邏輯基礎(chǔ)。它一些基本概念表述，還有一些混亂和自相矛盾之處。從19世紀(jì)開(kāi)始，柯西、魏爾斯特拉斯等人進(jìn)行了微積分理論嚴(yán)格化工作。他們建立了極限理論，并把極限理論基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論。那么，實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)又該是什么呢？康托爾試圖用集合論來(lái)作為實(shí)數(shù)理論，以至整個(gè)微積分理論體系基礎(chǔ)。第4頁(yè)4

出于這一目標(biāo)，康托爾用集合觀(guān)點(diǎn)重新考查各種數(shù)量關(guān)系，尤其是無(wú)窮數(shù)量關(guān)系。他發(fā)覺(jué)，無(wú)窮集合有著有窮數(shù)量關(guān)系所不具備性質(zhì)。比如，在無(wú)窮集合領(lǐng)域，全部整數(shù)和全部偶數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)，全部有理數(shù)和全部整數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)，平面上全部點(diǎn)和線(xiàn)段上全部點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)，……概言之，在無(wú)窮世界里，整體全部元素和部分全部元素之間能夠是一一對(duì)應(yīng)。另外，無(wú)窮集合并不都是相等，比如全部實(shí)數(shù)和全部有理數(shù)之間就不是一一對(duì)應(yīng)。因而，無(wú)窮集合是有大小。集合論用“基數(shù)”這個(gè)概念來(lái)表示無(wú)窮集合間區(qū)分。

那么，有沒(méi)有一個(gè)最大集合呢？康托爾經(jīng)過(guò)研究，否定了這個(gè)想法。因?yàn)槊總€(gè)已知集合全部子集所組成集合，其基數(shù)都大于已知集合基數(shù)。既然沒(méi)有最大基數(shù)，當(dāng)然也沒(méi)有最大集合。無(wú)窮世界里這些性質(zhì)，初看起來(lái)，真是令人頭暈?zāi)垦?。?頁(yè)5

康托爾研究結(jié)果發(fā)表之后，馬上遭致當(dāng)初一些赫赫有名數(shù)學(xué)家激烈攻擊。德國(guó)數(shù)學(xué)家克隆尼克是這些人中言辭最激烈、攻擊時(shí)間最長(zhǎng)一個(gè)。

克隆尼克比康托爾年長(zhǎng)22歲。他主張，除非一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能夠用有限步驟從自然數(shù)中結(jié)構(gòu)出來(lái)，不然不能認(rèn)為它在數(shù)學(xué)上是存在。他有一句“名言”：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余一切才是人做工作”。所以，他否定無(wú)理數(shù)存在，也否定極限理論意義。即使康托爾是他學(xué)生，但因?yàn)榧险搩?nèi)容同他主張大相徑庭，所以克隆尼克簡(jiǎn)直到了不能容忍程度。他認(rèn)為，康托爾關(guān)于超限數(shù)研究，是一個(gè)非常危險(xiǎn)數(shù)學(xué)瘋病?？寺∧峥擞绊戇€使康托爾學(xué)術(shù)論文一再延誤發(fā)表日期。第6頁(yè)6

除了克隆尼克之外，還有一些著名數(shù)學(xué)家也對(duì)集合論發(fā)表了反對(duì)意見(jiàn)。

法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒說(shuō)：“我個(gè)人，而且還不只我一人，認(rèn)為主要之點(diǎn)在于，切勿引進(jìn)一些不能用有限個(gè)文字去完全定義好東西”。他把集合論看成一個(gè)有趣“病理學(xué)情形”來(lái)談，而且預(yù)測(cè)說(shuō)：“后一代將把（Cantor）集合論看成一個(gè)疾病，而人們已經(jīng)從中恢復(fù)過(guò)來(lái)了”。

德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾認(rèn)為，康托爾關(guān)于基數(shù)等級(jí)觀(guān)點(diǎn)是霧上之霧。

菲利克斯．克萊因也不贊成集合論思想。

數(shù)學(xué)家H．A．施瓦茲原來(lái)是康托爾摯友，但他因?yàn)榉磳?duì)集合論而同康托爾斷交。第7頁(yè)7盡管有希爾伯特等著名數(shù)學(xué)家贊同他集合論，盡管他集合論實(shí)際上已取得巨大成功，仍未能使康托爾感到欣慰和滿(mǎn)足。

從1884年春天起，即在他40歲時(shí)候，他患了嚴(yán)重憂(yōu)郁癥，極度沮喪，神態(tài)不安。不過(guò)，在精神病發(fā)作間歇階段，康托爾依然頑強(qiáng)地堅(jiān)持集合論研究。而且當(dāng)每次從精神病發(fā)作中恢復(fù)過(guò)來(lái)時(shí)候，他都感到自己腦子變得格外清楚。他在集合論方面許多非常出眾結(jié)果，都是在精神病發(fā)作間歇時(shí)期取得。然而，長(zhǎng)久精神折磨所造成危害畢竟是不容忽略。因?yàn)榻】登闆r逐步惡化，19，他在哈勒大學(xué)從屬精神病院逝世。第8頁(yè)8公理化集合論建立到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們贊同。數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)結(jié)果都可建立在集合論基礎(chǔ)上前景而陶醉了。他們樂(lè)觀(guān)地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，借助集合論概念，便能夠建造起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。在19第二次國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣告“……數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了。今天，我們能夠說(shuō)絕正確嚴(yán)格已經(jīng)到達(dá)了。”然而這種自得情緒并沒(méi)能連續(xù)多久。很快，集合論有漏洞消息快速傳遍了數(shù)學(xué)界。這就是19羅素得出羅素悖論。第9頁(yè)9

羅素結(jié)構(gòu)了一個(gè)全部不屬于本身（即不包含本身作為元素）集合R?，F(xiàn)在問(wèn)R是否屬于R？如果R屬于R，則R滿(mǎn)足R定義，所以R不應(yīng)屬于自身，即R不屬于R；其次，如果R不屬于R，則R不滿(mǎn)足R定義，所以R應(yīng)屬于自身，即R屬于R。這樣，不論何種情況都存在著矛盾。

這一僅包括集合與屬于兩個(gè)最基本概念悖論如此簡(jiǎn)單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解余地。絕對(duì)嚴(yán)密數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中。這就是數(shù)學(xué)史上第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。第10頁(yè)1019，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無(wú)矛盾集合論公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)ZF公理系統(tǒng)。原本直觀(guān)集合概念被建立在嚴(yán)格公理基礎(chǔ)之上，從而防止了悖論出現(xiàn)。這就是集合論發(fā)展第二個(gè)階段：公理化集合論。與此相對(duì)應(yīng)，在19以前由康托爾創(chuàng)建集合論被稱(chēng)為樸素集合論。公理化集合論是對(duì)樸素集合論嚴(yán)格處理。它保留了樸素集合論有價(jià)值結(jié)果并消除了其可能存在悖論，因而較圓滿(mǎn)地處理了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。第11頁(yè)11主要內(nèi)容集合概念與表示方法集合基本運(yùn)算包含與排斥原理多重序元迪卡爾乘積第12頁(yè)12第13頁(yè)133.1集合概念及其表示集合是由一些特殊對(duì)象聚集在一起組成。普通來(lái)說(shuō)這些對(duì)象含有某種共同性質(zhì)。組成集合那些個(gè)體稱(chēng)為集合元素。全體中國(guó)人全部整數(shù)全國(guó)高校全部叫李明人用大寫(xiě)字母表示集合（如A），小寫(xiě)字母表示集合中事物（如a）若個(gè)體a是集合中A元素，記作“a∈A”若個(gè)體a不是集合中A元素，記作“aA”一、集合和元素集合——數(shù)學(xué)中集合論研究對(duì)象。Acollectionofwelldefinedanddistinctobjects第14頁(yè)14一、集合和元素注意：集合中元素也能夠是集合。第15頁(yè)15二、集合表示方法（1）枚舉法：把集合中元素寫(xiě)在一個(gè)花括號(hào)內(nèi)，元素間用逗號(hào)隔開(kāi)。

比如：A={2,a,b,9},B={4,5,6,7,8}（2）結(jié)構(gòu)法：結(jié)構(gòu)法又叫謂詞法。假如P(x)是表示元素x含有某種性質(zhì)P謂詞，則全部含有性質(zhì)P元素組成了一個(gè)集合，記作A={x|P(x)}。比如：集合B能夠表示成B={a|a∈N且4≤a≤8}D={2x∣x∈Z且x≤50},即D={0,2,4,6,…,98,100}第16頁(yè)16二、集合表示方法幾個(gè)常見(jiàn)集合表示符號(hào)：N：全部正整數(shù)集合。Z：全部非負(fù)整數(shù)集合。R：全部實(shí)數(shù)集合。I：全部整數(shù)集合。Q：全部有理數(shù)集合。P：全部素?cái)?shù)集合。Nm：從1到m，這m個(gè)正整數(shù)集合。Zm：從0到m-1，這m個(gè)非負(fù)整數(shù)集合。第17頁(yè)17小插曲23,29,31,37.下一個(gè)數(shù)是什么？3,5,8,13,21,()第18頁(yè)18三、集合外延和內(nèi)涵符合某個(gè)概念R那些客體集合A，叫作該概念R外延；集合A中諸客體共有本質(zhì)屬性P(x)，叫作該概念R內(nèi)涵。

外延：全部些人集合人內(nèi)涵：人所共有本質(zhì)屬性（外貌、思想等）一個(gè)概念外延越大，則內(nèi)涵越小。（人，黃種人）外延性原理：兩個(gè)集合相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同元素。記作A=B

第19頁(yè)19四、集合基數(shù)集合A中不一樣元素個(gè)數(shù)叫集合A基數(shù)，記作#A或|A|。比如：A={2,3,4},#A=3，A為有限集.

A={x|x∈Z},#A無(wú)窮大，A為無(wú)限集.，#S=4.五、空集不包含任何元素集合為空集，記作

。比如：A={x|x∈R且x2+8=0}=

注意：與區(qū)分第20頁(yè)20六、集合之間關(guān)系1.集合相等

定義：若A、B是兩個(gè)集合，當(dāng)且僅當(dāng)A、B兩集合恰恰有完全相同組員時(shí)，稱(chēng)A、B兩集合相等，記作A=B。比如：設(shè)A={x|x∈N

且

x能整除24}，

B={1,2,3,4,6,8,12,24}

則

A=B

注意：1.集合中不考慮重復(fù)元素。比如：{1,2,3}={1,2,2,3}.2.集合中不考慮元素排列次序。比如：{1,2,3}={3,2,1}.3.{1,2,3}{1,{2,3}}.第21頁(yè)21六、集合之間關(guān)系2.集合包含

定義：設(shè)有集合A、B，假如A每一個(gè)元素都是B元素，則稱(chēng)A是B子集或B是A包含集，記或。比如：能夠得出

注意：若，則有第22頁(yè)22集合包含關(guān)系應(yīng)含有以下性質(zhì)：(1)對(duì)任意集合A，都有(2)對(duì)任意集合A，都有(3)對(duì)任意集合A、B，(4)對(duì)任意集合A、B、C，若，那么證實(shí):(1)（反證法）假設(shè)是假，則最少有一個(gè)元素x，使得且，然而這與空集不包含任何元素相矛盾，所以以上假設(shè)不成立，即為真。A平凡子集第23頁(yè)23六、集合之間關(guān)系3.集合真包含定義：假如集合A每一個(gè)元素都屬于B，但集合B中最少有一個(gè)元素不屬于A，則A稱(chēng)為B真子集，或A真包含于B，記作。

比如：設(shè)A={0，1}，B={0，1，2}，C={0}

則第24頁(yè)24七、全集定義：在一定范圍內(nèi)，假如全部集合均為某一集合子集，則稱(chēng)該集合為全集，記作E。舉例：全集概念相當(dāng)于論域，如在初等數(shù)論中，全體整數(shù)組成了全集。UAAB第25頁(yè)25八、冪集定義：給定集合A，由集合A全部子集為元素組成集合稱(chēng)為集合A冪集，記為。例：設(shè)A={a}

1個(gè)元素子集：{a}則0個(gè)元素子集：

設(shè)B={a,b}

1個(gè)元素子集：{a},

2個(gè)元素子集：{a,b}則0個(gè)元素子集：

設(shè)C={a,b,c}

1個(gè)元素子集：{a},,{c}2個(gè)元素子集：{a,b},{a,c},{b,c}

3個(gè)元素子集：{a,b,c}則0個(gè)元素子集：；第26頁(yè)26九、冪集定理：假如有限集合A有n個(gè)元素，則它冪集有2n個(gè)元素。證實(shí)：A全部k個(gè)元素組成子集數(shù)為從n個(gè)元素中取k個(gè)組合數(shù)。

另外，因?yàn)?，所以總?shù)N可表示為因?yàn)榱顇=y=1，得故集合A冪集元素個(gè)數(shù)為2n第27頁(yè)27冪集編碼表示以S={a,b,c}為例說(shuō)明可得第28頁(yè)283.2集合運(yùn)算定義：由集合A和B全部公共元素所組成集合，稱(chēng)為集合A和B交集。記作一、相交運(yùn)算比如：

設(shè)A={a,b,c,d},B={d,f,a},C={e,f,g}則能夠看出AB第29頁(yè)29一、相交運(yùn)算證實(shí)：若則，對(duì)任一，則且

，即且，故，所以。集合交運(yùn)算含有以下性質(zhì)：AB第30頁(yè)30一、相交運(yùn)算類(lèi)推至多個(gè)集合情況，集合交運(yùn)算仍滿(mǎn)足結(jié)合律。假設(shè)有n個(gè)集合A1,A2,…An，那么這些集合交集可表示為：第