0

0

1

10

1

0

，01.設(shè)二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為A

0則二次型f(x1,x2,x3)=?！窘狻縡(x1,x2,x3)=2x1x3+x22。答案2.設(shè)二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+6x2

，則二次型的矩陣2答案1260

00

0

2

00

【解】A

1A為

?！咀ⅰ?元二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為3階。

2

3

2

37

2。3.( )二次型f(x1,x2,x3)=2x12-3x1x2+7x2

的矩陣為2答案11

2

32

20

x【解】(x

,x

,x

)

32

x

0

00

3

327

0

x

。1

2

0

0

x

2

2

x1

；1

2

33

x1

2

30

x

3

4.

下列多項(xiàng)式中，( )不是二次型。(A)2x12-3x1x2+3x22；(B)y2；(C)(x

,

x

)

1(D)(x

,

x

,

x

)

2

0

20

5

x

。51

2

3【解】(x

,

x

,

x

)

2

30

x

3

0

2

3

x1

2

0

5

x5

0，不是二次型。答案D5.任一n階可逆對(duì)稱矩陣必定與n階單位矩陣()。答案C(A)合同；(B)相似；(C)等價(jià)；(D)以上都不對(duì)。

1【解】因?yàn)?階對(duì)稱的可逆實(shí)矩陣1

既不相似也1

不合同于

1。C

T

0

0 1

1

1

0

C

1 0

；C

T

0 3

0 1

2 0

C

1 0

。(C)存在可逆實(shí)矩陣C，使(D)存在可逆實(shí)矩陣C，使6.

下列命題不正確的是( )。(A)合同矩陣的秩相等；(B)A,B,

C都是可逆矩陣，且滿足CTAC=B，則A與B的符號(hào)相同；答案C7.設(shè)A,B是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A,

B是合同矩陣的充分必要條件是( )。(A)A,B均為可逆矩陣；

(B)A,

B有相同的秩；(C)A,B有相同的正慣性指數(shù)，相同的負(fù)慣性指數(shù)；

(D)A,B有相同的特征多項(xiàng)式?！窘狻恳蓝ɡ怼４鸢窩

a1

0 0

a2

0

, B

00

0a

0a

3

1

a3

0 0

a2

0

，08.設(shè)A

0答案則C=，滿足CTAC=B，即A與B合同。

0

0 1

10

10

【解】取初等矩陣C

00

，則C為所求。9.設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A

1

2

00

【解】因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為3,3,0。答案B則A與B(

2

1

1

1

0 0

2

1，B

0

1

0，

1

1

0)。(A)合同且相似；(C)不合同但相似；(B)合同但不相似；(D)既不合同也不相似。，則A與B()。1

10

0,10.設(shè)A

B

11111111

4000000

0

1111

0000

11

00

(A)合同且相似；(B)合同但不相似；

(C)不合同但相似；(D)不合同且不相似?！窘狻恳字獙?shí)對(duì)稱矩陣A,B滿足，r(A)=1=r(B)，特征值都為4,0,0,0，正慣性指數(shù)都為1，所以A與B合同且相似。答案A

2 1

11.設(shè)A

12

，則在實(shí)數(shù)域R上與A合同的矩陣為( )。

11

2

1

2 1

1 2

1

2(A)

2

；(B)

2

12

；(C)；(D)

2 1

?！窘狻恳?yàn)镋

A

122

1

(

1)(

3)，

1

2

1

A的特征值為-1,3，而如上4個(gè)矩陣只有

2的特征值為-1,3，與A具有相同的正慣性指數(shù)與秩，所以與A合同。答案DA=11

1

1

1

0 0

1

1,

B=

0

01

0

3

0 0

0

, C

0

0 0

,0

11

00

00

則( )。

答案AA~C，且A,B,C合同；A~B，但A不與C合同；A~C，但A不與B合同；

(D)B~C，且A,B,C等價(jià)。12.已知實(shí)對(duì)稱矩陣【解】A的特征值為3,0,0，秩為1，正慣性指數(shù)為1。1111

1

1,

B=,

1

1【解】實(shí)對(duì)稱A,B有r(A)=r(B)=4,

B的特征值為-1,-1,1,1。答案A

則下列結(jié)論正確的是( )。A與B等價(jià)；A與B相似；A與B在實(shí)數(shù)域上合同；以上都不對(duì)。13.設(shè)矩陣A=A=

1

1 0

,

B=

00

1

1 0

1

0 0

111

, C

0

0 3

03

00

03

1

0 0

0

0 0

1 0

, D

0

2 0

，00【解】因?yàn)閷?shí)對(duì)稱陣A的特征值為0,2,3，A的正慣性指數(shù)為2=r(A)，與C,D同，但r(B)=3r(A)。答案14.已知矩陣B,

C,D中與A等價(jià)的矩陣為

C,

D

；B,

C,

D中與A相似的矩陣為

D

；B,

C,D中與A合同的矩陣為

C,

D

。1

2

3

1

2

32

x1

0

x

1

2f

(x

,

x

,

x

)

(x

,

x

,

x

)

0

002

01

x

3

15.數(shù)域K上二次型A

1

1

00

1

0

0

1

10

1

0 0

。1的秩為

?！窘狻吭O(shè)二次型的矩陣為，

1

100答案3答案3,

216.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3)的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12-y22+4y32則二次型的秩

，正慣性指數(shù)。答案C實(shí)二次型f

(x1,

x2,

x3)

=2x1x2+3x32，則其正慣性指數(shù)s及負(fù)慣性指數(shù)t分別為( )。s=1,

t=2；

(B)

s=2,

t=0；f的標(biāo)準(zhǔn)形為s=2,

t=1。2y12-2y22+3y3

，所以22

1

23(C)s=2,t=1；(D)s=1,t=1。【解】經(jīng)可逆線性替換，

x1

y1

y2

,x

y

y

,

x

y

,

3答案21

32

3

2x

x

2x

x18.設(shè)實(shí)二次型f

(x

,

x

,

x

)

x2

3x2

x2

2x

x1

2

3

1

2

3

1

2則f的正慣性指數(shù)為

。2【解】由題設(shè)，二次型經(jīng)配方法f(x

,

x

,

x

)

(x

x

x

)21

2

3

1

2

3

2x22

23x

,

x3

,經(jīng)可逆線性替換，y1

x1

x2

y

x

,

y

3二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為f=y12+2y2

，所以2f的正慣性指數(shù)為2。19.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3)=XTAX經(jīng)正交替換化為標(biāo)準(zhǔn)。形3y

2+5y

2，則A的特征值為

，A=1

2【解】A的特征值為3,

5,

0,

A=0。答案3,

5,

00答3y案12【解】由題設(shè)，A為實(shí)對(duì)稱矩陣，A的特征值為3,0,0，則f在正交替換X=QY下的標(biāo)準(zhǔn)形為3y1

。220.設(shè)實(shí)二次型f

(x1,x2,x3)=XTAX的秩為1，A的行元和為3，則f在正交替換X=QY下的標(biāo)準(zhǔn)形為。2

3f

(x

,

x

,

x

)

x2

3x2

x2

2ax

x

2x

x

2x x

，f

(

y

,

y

,

y

)

y2

2y2，1

2

3

1

2

11

a1

0

11

0

1

a

1

1

1

13

a

1

01

3

a1

a

，21.設(shè)實(shí)二次型1

31

2

3

1

2

3

1

2在可逆替換X=PY下化為標(biāo)準(zhǔn)形【解】由題設(shè)，二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣為

a則a=

。其秩應(yīng)為2，經(jīng)初等變換，所以a=1。答案1

1

a

13

1，1

1

0

0

022

合同，則實(shí)二次型22.若實(shí)對(duì)稱矩陣A與B

0

00

答案f(x1,

x2,

x3)=XTAX的規(guī)范形為

?！窘狻坑深}設(shè)，A與B有相同的秩與正(負(fù))慣性指數(shù)，2

(

1)(

2)(

2)，

1

0

0E-B

0

0

2

可知A的秩及正慣性指數(shù)分別為3,2，所以A的二次型的規(guī)范形為z12+z2

2-z3

。2

0

0

0

1

合同，則實(shí)二次型23.

設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A與

B

0

21

02

XTAX的規(guī)范形為

?！窘狻恳?yàn)锽的特征值為1,3,0,所以B的正慣性指數(shù)為2，秩為2，又因?yàn)锳B，所以A的正慣性指數(shù)和秩均為2。答案z

2+z

21

224.已知實(shí)矩陣A=

1

2 0

,

B=

40

2

1 0

1

2

35 6