正弦定理

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欄目鏈接情景導入在雷達兵的訓練中，有一個項目叫“捉鬼”(戰(zhàn)士語)，即準確地發(fā)現(xiàn)敵臺的位置．在該項目訓練中，追尋方的安排都是兩個小組作為一個基本單位去執(zhí)行任務，用戰(zhàn)士的話說就是兩條線(即兩臺探測器分別探出了敵臺的方向)一交叉就把敵人給叉出來了，想藏想跑，門都沒有．其實這里面不僅僅是兩線交叉確定交點的問題，還隱藏了一個數(shù)學問題，即兩個探尋小組之間的位置是已知的，它們和敵臺構成了一個三角形，在戰(zhàn)士探明了敵臺方向的時候，也就是知道了該三角形的兩個內(nèi)角，再利用正弦定理就可以算出敵人的準確位置．

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欄目鏈接1．通過探索任意三角形的邊角關系，掌握正弦定理．2．會利用正弦定理解三角形．

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欄目鏈接要點導航

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欄目鏈接知識點一正弦定理及其用途

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欄目鏈接知識點二判斷三角形解的個數(shù)已知兩邊a、b和其一邊的對角A，解三角形時，解的情況如下：

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欄目鏈接已知三角形兩邊和其中一邊的對角判斷解的個數(shù)的步驟：第一步，根據(jù)邊角關系判斷是否有解；第二步，若可能有解，用正弦定理求出所求角的正弦值；第三步，下結論．

(1)若所得值不在(0，1]內(nèi)，則此三角形不存在．

(2)若所得值在(0，1]內(nèi)，①若是特殊角的三角函數(shù)值，求出所對應的角，注意用∠A＋∠B<180°判斷解的個數(shù)；②若所求角的三角函數(shù)值不是特殊值，則利用單位圓中的三角函數(shù)線判斷解的個數(shù)．

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欄目鏈接典例解析題型1利用正弦定理解三角形

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欄目鏈接名師點評：已知三角形的兩角和任一邊解三角形，基本思路是：(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角．(2)若所對邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊．

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欄目鏈接名師點評：已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時的方法．(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值．(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一．(3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論．

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欄目鏈接題型2利用正弦定理進行邊角轉換題

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欄目鏈接名師點評：在三角形中恒等變形時，常有如下的邊角轉換：①a＝b?sinA＝sinB?A＝B；②a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；③2b＝a＋c?2sinB＝sinA＋sinC；④sin

2B＝sinAsinC?b2＝ac等．

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欄目鏈接題型3三角形形狀的判斷

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欄目鏈接例4在△ABC中，若tanA∶tanB＝a2∶b2，試判斷△ABC的形狀．分析：判斷三角形形狀的問題是一類典型問題．其基本思路是以變形為基本方法，將它化為邊的等式，或者化為角的等式，不論化為哪一種形式，都應該用方程的思想看待得到的等式．