彰顯函數(shù)特性

滲透數(shù)學(xué)思想－－2022年高考“數(shù)列”專題解題分析重慶市教育科學(xué)研究院

張xx數(shù)列是《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》選擇性必修課程中函數(shù)主線的內(nèi)容之一，共計(jì)14課時(shí)，主要內(nèi)容為等差和等比；明確要求學(xué)生感受數(shù)列模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用；感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性，即數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系性。通過(guò)對(duì)2022年全國(guó)高考卷和地方卷中數(shù)列試題的特點(diǎn)分析和解題分析，特別是對(duì)新舊高考的數(shù)列試題對(duì)比分析，把握新高考對(duì)數(shù)列內(nèi)容考查的目標(biāo)與重點(diǎn)，掌握解決數(shù)列相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，積累分析與解決數(shù)列問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，體悟重要數(shù)學(xué)思想在解題過(guò)程中的引領(lǐng)作用，強(qiáng)調(diào)數(shù)列作為函數(shù)主線內(nèi)容的體現(xiàn)，提出淡化解題技巧、加強(qiáng)概念理解、重視函數(shù)與數(shù)列綜合、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)解題方向的復(fù)習(xí)備考建議。目錄試題特點(diǎn)分析復(fù)習(xí)備考建議010302

優(yōu)秀試題分析04

模擬試題賞析PART.01試題特點(diǎn)分析全國(guó)甲卷和乙卷中數(shù)列試題著重考查與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和常規(guī)題型，學(xué)生容易上手，不需過(guò)多分析，見(jiàn)到試題即可知道解題路徑，這類試題為結(jié)構(gòu)良好試題。全國(guó)新高考Ⅰ卷和全國(guó)新高考Ⅱ卷，以及新高考省、市地方卷與舊高考試卷的顯著區(qū)別在于結(jié)構(gòu)不良試題、開(kāi)放性問(wèn)題、情境性問(wèn)題等非常規(guī)試題的比例增大，學(xué)生初見(jiàn)試題無(wú)法入手，需要深入分析、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)解題路徑，著重考查學(xué)生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。2022年新高考數(shù)學(xué)試卷中多道數(shù)列試題為非常規(guī)試題，無(wú)固定套路，學(xué)生必須深刻理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本方法，綜合運(yùn)用知識(shí)方法解決問(wèn)題，這既體現(xiàn)了高考考查要求的基礎(chǔ)性，也體現(xiàn)了高考考查的綜合性，同時(shí)注重對(duì)學(xué)生數(shù)列模型應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的考查。1.等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)、前

項(xiàng)和及基本量的運(yùn)算首項(xiàng)、公差（比）是等差（比）數(shù)列中最為關(guān)鍵的基本量，求等差（比）數(shù)列，即是求其首項(xiàng)和公差（比）。得到了等差（比）數(shù)列的首項(xiàng)和公差（比），就得到了等差（比）數(shù)列及其通項(xiàng)、前項(xiàng)和等。具體到等差（比）數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題中，往往需要建立方程或方程組求解，方程或方程組中主要涉及a

d(q)a

Sn1，，

，

n

，

n這5個(gè)基本量，可“知三求二”。2022年高考數(shù)列試題注重考查學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解和基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，淡化技巧、回歸本質(zhì)，部分問(wèn)題通過(guò)基本量建立方程或方程組運(yùn)算即可解決，這也是高考考查要求基礎(chǔ)性的體現(xiàn)。{a

}a

a

42a例

1（全國(guó)乙卷·理

8）已知等比數(shù)列的前

3

項(xiàng)和為

168，（C）6，則

的n256值為（）（A）14（B）12（D）3{a

}q,

q

0，解：設(shè)等比數(shù)列的公比為nq

1若由q

1

，則

a

a

0.與題意矛盾，所以

.253)

a

(1

qa

96,a

a

a

168,

111231

q，解得1q

.2a

a

a

q

a

q

42,42511a

a

q

3

.5所以61故選擇選項(xiàng)

D.【評(píng)析】此題著重考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，利用首項(xiàng)、公比表示條件，建立關(guān)于首項(xiàng)、公a6比的方程組求出首項(xiàng)、公比，進(jìn)而求得

的值，屬于常規(guī)題，學(xué)生較易解決.這類關(guān)于等比(差)數(shù)列基本量計(jì)算求解的問(wèn)題在教材中較為常見(jiàn)，但因復(fù)習(xí)過(guò)程中較多使用等比(差)數(shù)列性質(zhì)求解，可能導(dǎo)致學(xué)生想方設(shè)法利用性質(zhì)求解而誤入歧途.同時(shí)，有關(guān)等比(差)數(shù)列關(guān)于基本量的方程組求解，往往因未知數(shù)的次數(shù)較高而采用方程間相除的方式消元.此類試題在歷年高考中也是常考題型，如2018年全國(guó)Ⅰ卷理科第4題，2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第1

題，201

9年全國(guó)Ⅲ卷理科第5題等.2.等差（比）數(shù)列的證明等差（比）數(shù)列的證明是高考中的常見(jiàn)題型，要求學(xué)生深刻理解相關(guān)概念，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)。證明一個(gè)數(shù)列是等差（比）數(shù)列的方法主要有定義法和中項(xiàng)法。（1）定義法：證明數(shù)列

是等差或等比數(shù)列，即證或

為常數(shù)；（2）中項(xiàng)法：證明數(shù)列

是等差或等比數(shù)列，可以證明對(duì)任意的正整數(shù)

都有或。2Snn前

項(xiàng)

和.已知S例

2（

全國(guó)

甲卷

·理

17）記

為

數(shù)列{a

}n

2a

1.

nnnn{a

}（

1）證

明：是

等

差數(shù)

列；na

,

a

,

aSn（

2）若成

等

比數(shù)

列，

求

的最

小

值.4792Snn

2a

1

2S

n

2na

n，

即

.①n

n2解

：（

1）因

為nnn

2

22

n

1

a

n

1n

1

.②當(dāng)時(shí)

，2Sn

1n

1由

①

②

，

得

2S

n2Sn

1

n

12

2na

n

2

n

1

an

n

1n

1

，2n2a

2n

1

2na

2

n

1

a

1

n1即，nn2

n

1

a

2

n

1

a

2

n

1即

.所以a

a

1

n

2n

N，且*

，nn1nn

1{a

}所

以是

以

1

為

公差

的等

差數(shù)

列

.na

a

3

a

a

6

a

a

8.（2）由（1），可得，，417191a

a

a2因?yàn)?/p>

，

，

成等比數(shù)列，所以a

a

a，47974

9

2

a

121即

a

6

a

3

a

8

，解得.111

2n

n1

1

25

625a

n13

S

12n

n所以.所以.nn22

2

8所以，當(dāng)或n

12

n

13時(shí)

S

78．nmin【評(píng)析】此題著重考查學(xué)生對(duì)等差數(shù)列概念和函數(shù)特性的理解，以及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).第（1）小題為等差數(shù)列的證明，證明等差數(shù)列一般用定義法或中項(xiàng)法，通過(guò)a

S

S

n

2

轉(zhuǎn)化條件即可用定義法證得.教材重視學(xué)生對(duì)概念的理解，等差（比）nnn1數(shù)列的判定與證明在例、習(xí)題中多有體現(xiàn).例如，人教

A

版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊(cè)（以下統(tǒng)稱“人教

A

版教材”）第四章習(xí)題

4.2第

7

題第（1）小題；習(xí)題

4

.3第

7

題第（1）小題，第

11

題第（2）小題，第

12題第（1）小題.往年高考試卷中類似試題有

201

9

年全國(guó)Ⅱ卷理科第

19題（1）小題，2021

年全國(guó)乙卷理科第

19題第（1）小題等.第（2）小題通過(guò)三數(shù)成等比數(shù)列的關(guān)系建立方程，用基本量表示方程求解可得首項(xiàng)，進(jìn)nnn而求出前

和

，

實(shí)質(zhì)是關(guān)于

的二次函數(shù)，通過(guò)配方結(jié)合

的取值可求得

的最小S

SSnnnnn值.要特別注意數(shù)列作為特殊函數(shù)的特殊性，

為整數(shù)，

不一定是最低點(diǎn)的橫坐標(biāo).求數(shù)列n的最大（小）項(xiàng)或前

項(xiàng)和的最值問(wèn)題在教材中不乏例、習(xí)題.例如，北師大版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊(cè)（以下統(tǒng)稱“北師大版教材”）選擇性必修第二冊(cè)第一章習(xí)題

1－2B

組第

5題.類似高考試題有

201

8

年全國(guó)Ⅱ卷理科第

17

題第（2）小題.3.等

差

（

比

）

數(shù)

列

性

質(zhì)

的

應(yīng)

用對(duì)等差（比）數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用是高考數(shù)列復(fù)習(xí)訓(xùn)練的重點(diǎn)，在歷年高考數(shù)列試題中也不乏靈活運(yùn)用性質(zhì)的試題，即利用基本量運(yùn)算繁雜而運(yùn)用性質(zhì)可以巧解的試題，這就導(dǎo)致高考數(shù)列復(fù)習(xí)過(guò)程中學(xué)生所記性質(zhì)越來(lái)越多。綜觀2022年高考數(shù)列試題，沒(méi)有一道試題可以運(yùn)用性質(zhì)大幅度減少運(yùn)算，大都是直接用基本量運(yùn)算即可解決且不復(fù)雜的試題。由此可以看出高考“淡化技巧、回歸本質(zhì)”的教學(xué)導(dǎo)向，但這不意味高考不考查等差（比）數(shù)列的性質(zhì)，這些主要性質(zhì)仍然需要深刻理解和靈活運(yùn)用，只是無(wú)須強(qiáng)記更多的性質(zhì)結(jié)論。等差數(shù)列的主要性質(zhì)：a

a

a

a

.特{a

}m

n

p

q(m,n,

p,q

N)時(shí)，則*（1）等差數(shù)列中，當(dāng)nmnpqm

n

2

pa

a

2a

.別地，當(dāng)時(shí)，則有mnp{a

}（

2

）

等

差

數(shù)

列中

與

首

末

兩

端

等

距

離

的

兩

項(xiàng)

之

和

均

相

等

，

即na

a

a

a

a

a.1n2n1knk1{a

}（

3）

從

等

差

數(shù)

列a

,

a

,

a

,中

抽

取

等

距

離

的

項(xiàng)

組

成

的

新

數(shù)

列

是

一

個(gè)

等

差

數(shù)

列

，

即n成等差數(shù)列.kk

mk

2m{a

}m（

4

）

等

差

數(shù)

列n

中

連

續(xù)項(xiàng)

的

和

組

成

的

新

數(shù)

列

是

等

差

數(shù)

列

，

即S

,

S

S

,

S

S

,m2mm3m2m

…成等差數(shù)列.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：（1）等比數(shù)列{a

}中，若m

n

p

q(m,n,

p,q

N

)

*

，則a

a

a

anm

np

qa

a

a

a.特別地，若m

n

2p，則

a

a

(a

)2.nmpqm

np（

2

）

等

比

數(shù)

列

{a

}

中

與

首

末

兩

端

等

距

離

的

兩

項(xiàng)

的

乘

積

相

等

，

即na

a

a

a

a

a

a

a

.1

n2

n13

n2k

nk1（

3

）

等

比

數(shù)

列

{a

}

中

連

續(xù)

k

項(xiàng)

的

和

組

成

的

新

數(shù)

列

是

等

比

數(shù)

列

，

即nS

,S

S

,S

S

,1

k…成等比數(shù)列（公比為

且

為偶數(shù)的情況除外）.k2kk3k2kn的前

項(xiàng)和．若

，則公差dS例

3（全國(guó)乙卷·文

13）記

為等差數(shù)列{a

}2S

3S

6nn32的值為．32

21

2S

3S

6

2

3a

d

3

2a

d

6解法

1：由，得

2

.32112

d

2解得

.解法

2：由，得

，1

22S

3S

6

2

a

a

+a

3

a

a

632123a

a

2a23a

3

a

a

6，得a

a

2d

2，即

.由

.化簡(jiǎn)，得13221221【評(píng)析】此題仍是對(duì)等差數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的考查，體現(xiàn)了高考考查要求的基礎(chǔ)性.可以用d基本量建立方程求解，也可以用等差中項(xiàng)的性質(zhì)化簡(jiǎn)直接獲得公差

.兩種解法的運(yùn)算量沒(méi)有多大差別，使用性質(zhì)并沒(méi)有大幅減少運(yùn)算，這恰好說(shuō)明了高考對(duì)性質(zhì)應(yīng)用技巧的淡化.但是歷年高考曾多次考查等差(比)數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，且靈活小巧，部分試題運(yùn)用性質(zhì)求解相較直接建立基本量的方程計(jì)算可減少運(yùn)算量，如2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第14題.4.利用與的關(guān)系求通項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)a

與前

項(xiàng)和

緊密相關(guān)，數(shù)列的前

項(xiàng)和本身也是數(shù)列，具有數(shù)列的一n

Snnn切性質(zhì)，通項(xiàng)a

與前

項(xiàng)和

是數(shù)列研究的主要對(duì)象.在等差數(shù)列中，直接體現(xiàn)通項(xiàng)與前n

Snnn

S

2n1

a

S

n

a

an1項(xiàng)和之間關(guān)系的有：，，解題過(guò)程中常用此實(shí)現(xiàn)等差2n1n2nnna

S

S

(n

2)，對(duì)非等差（比）數(shù)列通項(xiàng)與前

項(xiàng)和之間的轉(zhuǎn)化.而對(duì)于任何數(shù)列均有nnn1數(shù)列而言，除此公式外，等差（比）數(shù)列的所有性質(zhì)均不可用，可見(jiàn)此公式的重要性.但是

，同時(shí)還需要用

求

，以此檢驗(yàn)通a

S

Sa

S

a運(yùn)用時(shí)一定要注意適用范圍n

2nnn1111項(xiàng)公式是否適用n

1的情形.

SS{a

}n的

前

項(xiàng)

和

，已

知a

1,

n

1例

4（

全

國(guó)

新

高

考

Ⅰ

卷

·17）記的

等

差

數(shù)

列

.為

數(shù)

列是

公

差

為nna

n13{a

}（

1）

求的

通

項(xiàng)

公

式

；n1

11

2（

2）

證

明

：解

：（

1）

因

為.a

aa12nSa

1S

a

11

1.，

所

以.所

以111a1

an

Snan13n

2S11n

1

n因

為所

以是

公

差

為

的

等

差

數(shù)

列

，

所

以.33

n

2

anS

.n3

n

1

an

2S

n

1所

以

當(dāng)時(shí)

，.n

13

n

1n

2

ann

1

an

1n

2

ann

1

aS

Sa

所

以，

即.nn

133n33n

1an

1

n

1an整

理

，

得

n

1a

n

1a

.所

以.nn1a

aa

a

2

3

an1

an

n(n

1)所

以.n1

a

aaan1212n2顯

然

，

對(duì)

于n

1

也

成

立

，

n

n

1{a

}a所

以的

通

項(xiàng)

公

式

為.nn21an2

1

2

1

n

n

1

（

2）

由

（

1），

知.

n

n

11

11an

1

1

1

11

1

22

12

1

.所

以a

a

2

2

3

n

n

1

n

1

12結(jié)

論

得

證

.San【

評(píng)

析】此題

考查

等差

數(shù)列

概

念、裂項(xiàng)

相消

法

，以及

利

用

和

的

關(guān)

系求

通項(xiàng)

的基

本n方

法

.條

件

呈現(xiàn)

方式

有所

創(chuàng)新

，需要

正確

理解

等差

數(shù)列

的

概念

，用

首項(xiàng)

、公差

表示

等

差數(shù)

列，

S

n

2

a

n

{a

}的

關(guān)系

式

Sn獲

得

數(shù)列的

通

項(xiàng)公

式，進(jìn)而

得

到關(guān)

于數(shù)

列n.在

此

基礎(chǔ)

上

，第an

3nn

1ana

S

S

(n

2)a，利

用

累乘

法求

通項(xiàng)

；第（

2）（

1）小

題

需要

將轉(zhuǎn)

化為nnn1an1

n

1n小

題

需

要

用

裂

項(xiàng)

相

消

法

求

和

，

然

后

通

過(guò)

放

縮

完

成

證

明

.此

題

所

用

知

識(shí)

和

方

法

都

是

學(xué)

生

所

熟

悉

S

n

的

，但

是使

用過(guò)

程中

易犯以

下

錯(cuò)誤：一是

轉(zhuǎn)化

條件時(shí)

不

知道

如何

獲得

數(shù)列的

首

項(xiàng)

或直a

n{a

}a1接

用

數(shù)列的

首

項(xiàng)

作

為其

首項(xiàng)（

此處

未設(shè)

陷阱

，兩

數(shù)列

首

項(xiàng)均為

1）；二是

用累乘

法

求na通

項(xiàng)

時(shí)

沒(méi)

有

認(rèn)

真

觀

察

約

分

規(guī)

律

，

直

接

保

留

首

末

兩

項(xiàng)而

致

錯(cuò)

；

三

是

用

裂

項(xiàng)

相

消法

求

和

時(shí)

沒(méi)n有

認(rèn)

真

觀

察

相

互

抵

消

規(guī)

律

，

直

接

保

留

首

尾

兩

項(xiàng)

而

致

錯(cuò)

.此

題

具

有

一

定

的

綜

合

性

，

設(shè)

有

陷

阱

，學(xué)

生

易錯(cuò)

，屬

于中

等難

度試

題

.S

an利用

與

的關(guān)系求通項(xiàng)的習(xí)題在教材中也有涉及，多是直接由前

項(xiàng)和求通項(xiàng).例如nn人教A版教材第四章第24頁(yè)練習(xí)2，湘教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“湘教版教材”）第一章習(xí)題1.2第10題第(1

)小題.而在歷年高考試題中，也設(shè)a

S

Sa

S進(jìn)行轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一為

或

的遞推關(guān)系后求解的試有非等差(比)數(shù)列首先利用nnn1nn題，如2016年全國(guó)Ⅲ卷理科第17題，2018年全國(guó)Ⅰ卷理科第14題，2021年全國(guó)乙卷理科第19題等.5

.

利

用

錯(cuò)

位

相

減

等

方

法

求

和常見(jiàn)數(shù)列求和方法有公式法、分組求和法、并項(xiàng)求和法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等，求和時(shí)并不一定單一使用某種方法。倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法技巧性較強(qiáng)，適用類型均有限制，倒序相加法適用于與兩端等距的兩項(xiàng)和為定值的數(shù)列；錯(cuò)位相減法適用于等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積構(gòu)成的新數(shù)列；裂項(xiàng)相消法適用于通項(xiàng)可裂為新數(shù)列兩項(xiàng)之差的數(shù)列。c

，通過(guò)相互抵消使數(shù)列{a

}的前{c

}，恰

使a

c裂項(xiàng)相消法需要構(gòu)造新數(shù)列nnmkmn{c

}{c

}是學(xué)生的主要困難，歷年高考試卷中有很n

和為新數(shù)列有限幾項(xiàng)之和.構(gòu)造新數(shù)列nn多用裂項(xiàng)相消法求和的試題，是學(xué)生復(fù)習(xí)過(guò)程中的重點(diǎn)方法，但從

2022

年高考試題來(lái)看，對(duì)裂項(xiàng)相消法的考查有弱化趨勢(shì)，淡化新數(shù)列的構(gòu)造技巧，趨于常規(guī).因此，復(fù)習(xí)中掌握主要的裂項(xiàng)技巧即可.使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，需要弄清相互抵消的規(guī)律，不能盲目認(rèn)為只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，例

4第(2)小題即是考查裂項(xiàng)相消法的常規(guī)題型.普遍來(lái)說(shuō)，錯(cuò)位相減法的理解和運(yùn)算都具有一定難度，但是方法、步驟明確，多數(shù)學(xué)生都可以掌握.一般地，如果數(shù)列{a

}是等差數(shù)列，{b

}是等比數(shù)列，那么求數(shù)列{a

b

}的前nnn

nn和時(shí)可以用錯(cuò)位相減法.方法是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{b

}的公比，與原和式相減轉(zhuǎn)化n為等比數(shù)列求和，進(jìn)而化簡(jiǎn)可得.例

5（

天

津

卷

·18）設(shè)

{a

}

是

等

差

數(shù)

列

，{b

}

是

等

比

數(shù)

列

，且

a

b

a

b

a

b

1.nn112233（

1）

求

{a

}

與

{b

}

的

通

項(xiàng)

公

式

；nn（

2）

設(shè)

{a

}

的

前

項(xiàng)

和

為nS，

求

證

：nS

a

b

S

bn

1

n

1S

b；n

1n

1nn

nn2

n

1

a

]bk[ak

1（

3）

求.k

kk1解

：（

1

）

設(shè)

{a

}

的

公

差

為

d

，

{b

}

的

公

比

為

q

，

則nna

1

(n

1)d

,

b

qn1.nn(1

d

)

q

1,q

0，

故

解

得由

a

b

a

b

1

，

得因

為2233(1

2d

)

q

2

1.d

2,q

2.所

以

a

2n

1,b

2n1

.nn（

2）

(方

法

1)由

（

1）

及

相

關(guān)

公

式

，

易

知(a

a

)nS

n

,S

(n

1)

,

a

2

n

1,

b

2

n

1,

b

2

n

，n

1

n

n11n22n2n

1(S

a

)b

[(n

1)

2n

1]

2

n

1

(n

4n

2)

2

n

1

.22所

以因

為S

bn

1n

1n

S

b

n

1n22n

2

n

1

[2

n

1

2n

2

]

2

n

1

4n

2

2

n

1

，nn22n

1

n

1n所

以

S

a

b

S

b

S

b

.即

證

.n

1n

1nn

1

n

1nn(方

法

2)由

（

1），

知

b

2b

0

.n

1n(S

a

)b

S

b

S

b要證成立，即證成n

1n

1nn

1

n

1nn

S

n

1

2

S

n

1an

1bnS

n

12bnS

b成

立

，

即

證nnS

n

1an

1S

na

S

S成

立

.n立

，

即

證n

1n

1而

a

S

S

顯

然

成

立

，

所

以

(S

a

)b

S

b

S

b

.n

1n

1nn

1n

1nn

1

n

1nn(方

法

3)由

a

S

S

，

得n

1n

1n

S

n

1an

1

b[S

n

1S

]b

S

n

1

(2S

n

1

S

)b2b

SS

bn

1左

邊nnnnnnn

n

S

b

S

b

右

邊

.即

證

.n

1

n

1nnc[a

n

1

1na

]bn

[2

n

11n2

n

1

]2n1（

3）

(方

法

1)令，nn

n

2

,

n為

奇

數(shù)

,n

1則

c

n

2

,

n為

偶

數(shù)

.n2

n所

以[ak

1

1

k

a

]b

c1c2

c3

c4

c2

n

1

c2

nkkk

1

c

c2c2

nc3c2

n

1c4，1

L

2

n

1

2

2

n]

2

22

4

L

2

2

n

.

[1

2

2

3

2

4

4

n

42

n11

2

3

2

L

2

n

1

2

2

n

k

k

n[ak

1

1

a

]b

Q

Q24k令，

則；n3k

14Q

n

1

2

3

2

L

2

n

3

2

2

n

2

n

1

2

2n

+

2.46所

以1

4n

1

2

243Qn所

以所

以2

L

2

22

22

22

n

2n

1

22

n

2

42n

1

2

2

n

2

，

2461

46n

5

22

n

2

20

.Q

n9

3n

1

2

2

n

3

84n

1

46n

5

2

2

n

2

20

4

n

1

42

n

1a

]b[ak

1kkkQn3939k

1

8.3n

1

2

2

n

32

n

a

]bkk1[ak

1k即9k

1[a

n

1

1

n

a

]b

[2

n

1

1

n

2

n

1

]2

n

1(方

法

2)令

c，nnn當(dāng)

n

2k

時(shí)

，c

4k

1

4k

1

22

k

1

22

k

；2

k當(dāng)

n

2k

1

時(shí)

，c

4k

1

4k

3

22

k

2

2k

1

22

k

.

2

k1所

以而c

c

2k

1

22

k

22

k

2k

22

k

2k

4k

.2

k12

k2

n

[ak

1

(

1)a

]bc

c

c

cc2

n

1

c2

44

42n

4k12n.kk12342

nk1T

2

4

4

4

2n

4n

，

①12令則n4Tn

2

4

4

4

2n

4n

12n

2

423n.②由

①

－

②

，

得42

1

4

n

1

2

n

4

n

1

8

23T

8

2

4

4

4

2

n

4

n

123nn1

4

2

6

n

4

n

32

2

4

n

181

8

2

n

4

n

1

.33332

n(3n

1)22

n

3[a

(1)a

]b

k所

以

8

.k

1kk9k

1【評(píng)析】此題著重考查分組求和法、錯(cuò)位相減法等數(shù)列求和方法，以及分類討論思想和邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).第（1）小題通過(guò)基本量建立方程組運(yùn)算求解即可.第（2）小題為證明題，其中涉及

a

,S

,S

,b

,b

等

5個(gè)量，如何利用它們之間的關(guān)系完成證明，nnn1nn1需要學(xué)生認(rèn)真分析、選擇方法.方法

1

用基本量表示這

5個(gè)量，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的表達(dá)式，化簡(jiǎn)比較即證；方法

2

利用分析法，從所證結(jié)論出發(fā)，易推出顯然已知的條件a

S

S

，從而得證；方法

3

在觀察、分析的基礎(chǔ)上利用基本量之間的關(guān)系，即n1n1na

S

S

,b

2b

進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從左至右或從右至左，從消元的角度利用上述兩種關(guān)n1n1nn1n系選擇消去

5

個(gè)量中任何一個(gè)量均可證明.三種方法都需要學(xué)生從數(shù)學(xué)思想與方法的角度進(jìn)行策略性選擇，盲目運(yùn)算容易入歧途.同時(shí)，不同方法的選擇運(yùn)算量不同，體現(xiàn)了學(xué)生不同層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng).(1)k第（3）小題著重考查學(xué)生用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和.但求和符號(hào)的理解和給學(xué)生造成了干擾.尤其是對(duì)于

(

1)

，部分學(xué)生不知道要怎么處理，即使掌握了錯(cuò)位相減法也可k能

無(wú)

法

入

手

.(

1)

對(duì)

k

分

為

奇

數(shù)和

偶

數(shù)

兩

種情

形

解決

，

當(dāng)然

也

可

把

(1)

2

作

為

整體kkk

1(2)k

1

處理，從而用錯(cuò)位相減法求和，不過(guò)此時(shí)需要兩次使用錯(cuò)位相減法求和.運(yùn)算量較大，學(xué)生極可能因?yàn)檫\(yùn)算繁復(fù)而放棄或出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.方法

1

和方法

2

是對(duì)

k

分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情形后，再分別采用分組求和法與并項(xiàng)求和法，大幅減少運(yùn)算量，特別是并項(xiàng)求和法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用錯(cuò)位相減法求新數(shù)列的和這一常規(guī)問(wèn)題.不同方法的選擇可區(qū)分學(xué)生不同的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，這是一道考查基礎(chǔ)性和綜合性的優(yōu)秀試題.錯(cuò)位相減法源自等比數(shù)列前

n

項(xiàng)和的推導(dǎo)，教材例、習(xí)題亦有多題應(yīng)用此法.例如，人教

A

版教材選擇性必修第四章復(fù)習(xí)參考題第10

題，北師大版教材選擇性必修第二冊(cè)第一章復(fù)習(xí)題一

C

組第

1

題.裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求和一直是高考考查的重點(diǎn)，在歷年高考中均有體現(xiàn).例如，2020

年全國(guó)Ⅰ卷理科第

17題，2020

年全國(guó)Ⅲ卷理科第

17

題，2020

年天津卷第

19

題.6

.

數(shù)

列

函

數(shù)

特

性

的

應(yīng)

用《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》突出了數(shù)列的函數(shù)特性，將數(shù)列作為函數(shù)主線的內(nèi)容之一，北師大版教材將等差（比）數(shù)列的函數(shù)特性單列成節(jié)，可見(jiàn)其重要性。從2021年和2022年全國(guó)新高考Ⅰ、Ⅱ卷可以看出，不再注重?cái)?shù)列知識(shí)的覆蓋比例，2021年全國(guó)新高考Ⅱ卷和2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷在選擇題和填空題中未考查數(shù)列內(nèi)容，2022年全國(guó)新高考卷更注重考查數(shù)列模型的應(yīng)用和數(shù)列作為函數(shù)的特性。由此說(shuō)明，新高考數(shù)學(xué)不再把數(shù)列內(nèi)容作為獨(dú)立知識(shí)板塊考查，而是將其融入函數(shù)主線，數(shù)列內(nèi)容考什么、怎么考、考多少，取決于函數(shù)主線考查和數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查的需要。例

6（

北

京

卷

·

6）

設(shè)

{

a

}

是

公

差

不

為

0

的

無(wú)

窮

等

差

數(shù)

列

，

則

“

{

a

}

為

遞

增

數(shù)

列

”

是

“

存nn在

正

整

數(shù)

N

，

當(dāng)

n

N

時(shí)

，

a

0

”

的

（）00n（

A）

充

分

而

不

必

要

條

件（

C）

充

分

必

要

條

件（

B）

必

要

而

不

充

分

條

件（

D）

既

不

充

分

也

不

必

要

條

件解

：

設(shè)

數(shù)

列

{

a

}

的

公

差

為

d

，

則

aa

.1n

1

d

d

0d

ann若

{

a

}

為

遞

增

數(shù)

列

，

則

d

0

.令

a

0

，

有n

1

.nnd

d

a

令

N

，

則

存

在

正

整

數(shù)

N

，

當(dāng)

n

N

時(shí)

，

a

0

.1d000n所

以

“

{

a

}

為

遞

增

數(shù)

列

”

是

“

存

在

正

整

數(shù)

N

，

當(dāng)

n

N

時(shí)

，

a

0

”

的

充

分

條

件

.n00n

a若

存

在

正

整

數(shù)

N

，

當(dāng)

n

N

時(shí)

，

a

0

，

則

當(dāng)

n

N

時(shí)

，d

1

恒

成

立

.n

100n0

a當(dāng)

a

0

時(shí)

，

0

0，

即

d

0

；11n

1

a

a

a當(dāng)

a

0

時(shí)

，且

0

.要

使

d

1

恒

成

立

，

則

須

d

0

.11n

1n

1n

11綜

上

，

若

存

在

正

整

數(shù)

N

，

當(dāng)

n

N

時(shí)

，

a

0

，

則

有

d

0

，

即

{

a

}

為

遞

增

數(shù)

列

.00nn所

以

“

{

a

}

為

遞

增

數(shù)

列

”

是

“

存

在

正

整

數(shù)

N

，

當(dāng)

n

N

時(shí)

，

a

0

”

的

必

要

條

件

.n00n綜

上

，“

{

a

}

為

遞

增

數(shù)

列

”

是

“

存

在

正

整

數(shù)

N

，

當(dāng)

n

N

時(shí)

，

a

0

”

的

充

分

必

要

條n00n件

.故

選

擇

選

項(xiàng)

C.【評(píng)析】此題著重考查數(shù)列的單調(diào)性和簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，要求學(xué)生理解數(shù)列單調(diào)性和函數(shù)單調(diào)性的共性與差異.同時(shí)，創(chuàng)新問(wèn)題呈現(xiàn)方式考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解表達(dá)能力和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).多數(shù)學(xué)生對(duì)嚴(yán)格的推導(dǎo)存在困難，但作為選擇題，此題在正確理解數(shù)列單調(diào)性的基礎(chǔ)上不難解決.若{a

}為遞增數(shù)列，即使首項(xiàng)為負(fù)，在一直遞增的情況下，數(shù)列的項(xiàng)n一定會(huì)變?yōu)檎龜?shù)，且趨于無(wú)窮大，因此“存在正整數(shù)

N

，當(dāng)

n

N

時(shí)，

a

0

”，滿足充00n分性.在判斷必要性時(shí)，不易正面推斷，但可以采用反證法.如果數(shù)列{a

}是遞減數(shù)列，數(shù)列n后面的無(wú)窮多項(xiàng)終會(huì)減為負(fù)數(shù)，出現(xiàn)矛盾.新教材相較舊教材更為強(qiáng)調(diào)數(shù)列的函數(shù)特性，例、習(xí)題中判斷函數(shù)單調(diào)性、求最大（?。╉?xiàng)問(wèn)題比例有所增加.例如，北師大版選擇性必修第二冊(cè)第一章習(xí)題

1

-

3A

組第

4

題尋找等比數(shù)列為遞減數(shù)列的充分條件；湘教版選擇性必修第一冊(cè)第一章

1

.2

.2

練習(xí)第

2

題關(guān)于數(shù)列單調(diào)性判斷的真命題選擇和

1

.3

.2

練習(xí)第

2

題關(guān)于等比數(shù)列為遞增數(shù)列的充要關(guān)系判斷.類似的高考試題有

2021

年全國(guó)甲卷理科第

7

題.7.運(yùn)用數(shù)學(xué)思想突破思維阻礙點(diǎn)2022年高考數(shù)列試題給人的直觀印象是非常規(guī)試題較多，非常規(guī)試題無(wú)法直接套用復(fù)習(xí)過(guò)程中反復(fù)使用、訓(xùn)練的套路，需要學(xué)生深刻理解問(wèn)題、深入分析條件、綜合運(yùn)用知識(shí)方法解決問(wèn)題，這是考查學(xué)生關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體，也是高考考查要求綜合性和創(chuàng)新性的體現(xiàn)。面對(duì)非常規(guī)試題，學(xué)生直接套用所學(xué)套路，當(dāng)解題受阻便束手無(wú)策，此時(shí)可用數(shù)學(xué)思想調(diào)整解題策略，突破思維阻礙點(diǎn)。例如，當(dāng)正面解決問(wèn)題有困難時(shí)，可以考慮解決反面問(wèn)題或用反證法；當(dāng)問(wèn)題的一般情形不易解決時(shí)，可以考慮特殊情形或取特值、特例發(fā)現(xiàn)規(guī)律；當(dāng)問(wèn)題分析較為困難時(shí)，可以考慮畫圖直觀化發(fā)現(xiàn)某些本質(zhì)關(guān)系（數(shù)形結(jié)合思想）；當(dāng)問(wèn)題解決具有不確定性時(shí)，可考慮分多種情形逐一解決（分類討論思想）；等等。綜觀2022年高考數(shù)列壓軸試題或其他內(nèi)容壓軸試題，大都有反證法或反證思維的影子，由于推出矛盾的不確定性，需要學(xué)生具有發(fā)散思維，在深入分析、多次嘗試后確定推出的矛盾，這又需要學(xué)生具備聚合思維和批判性思維，而這恰恰是創(chuàng)新能力的主要體現(xiàn)。下面著重舉例說(shuō)明反證思想在學(xué)生調(diào)整解題策略解決問(wèn)題中的重要性。例

7（

北

京

卷

·

15）

已

知

數(shù)

列

{a

}

的

各

項(xiàng)

均

為

正

數(shù)

，

其

前

項(xiàng)

和

滿

足nSnna

S

9(n

1,

2,)

.給出下列四個(gè)結(jié)論：nn①{a

}的第

2項(xiàng)小于

3；n②{a

}為等比數(shù)列；n③{a

}為遞減數(shù)列；n1④{a

}中存在小于的項(xiàng).n100其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【評(píng)析】此題是對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合考查，著重考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想、邏輯推理能力

n1a

S

9a

S

S

n2轉(zhuǎn)化為遞推關(guān)系和創(chuàng)新能力.對(duì)于條件，可以利用n

nnn9

9a

，不難判斷結(jié)論①②③的正誤，但是對(duì)結(jié)論④的判斷難度較大.依據(jù)正難則反na

ann1原則，考慮反證法，假設(shè)結(jié)論不成立，后推出矛盾.由于囿于日常訓(xùn)練的定式思維，學(xué)生的反證思維和反證意識(shí)不足，解題受阻后不能及時(shí)調(diào)整策略，這是其未能正確判斷的主要原因.a，0

.

n

N解

：

由

題

意

可

知

，nn

1n

29

，

得

；當(dāng)當(dāng)時(shí)

，a29a3119999an1SSa

時(shí)

，

由，

得.兩

式

作

差

，

得.nan1anann1n99a

a

a

3

3a

9

0

.所

以因

為，

則.整

理

，

得

a22aan22n1n23

5

3a

03

.所

以

①

正

確

.，

所

以

解

得

a

22298

1S

S1

3q為

等

比

數(shù)

列

，

設(shè)

其

公

比

為

，

則aa

a

，

即

(3)

2.{a

}假

設(shè)

數(shù)

列2Sn212

222a

1

q

q22所

以S

S

S

.可

得

a

1

q，21311{a

}不n解

得

q

0

.不

合

乎

題

意

，

故

數(shù)

列等

比

數(shù)

列

.所

以

②

錯(cuò)

誤

.

999

aan

2a0a

a，

可

得n

n1n1n當(dāng)時(shí)

，.naaa

ann1nn1{a

}所

以

數(shù)

列為

遞

減

數(shù)

列

.所

以

③

正

確

.n11n

N

aS，

則

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

.假

設(shè)

對(duì)

任

意

的，

有n1

0

011

0

0

0

0

01

0

099a所

以.與

假

設(shè)

矛

盾

，

假

設(shè)

不

成

立

.所

以

④

正

確

.1

0

0

0

0

0S1

0

0

0

1

0

01

0

0

0

0

0故

答

案

為

①

③

④

.PART.02優(yōu)秀試題分析AA',

BB',CC',

DD'例

8（全國(guó)新高考Ⅱ卷·3）圖

1

是中國(guó)古代建筑中的舉家結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰的桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖

2

是某古代建筑屋頂?shù)氖疽鈭D，其中DD

,CC

,

BB

,AAOD

,

DC

,CB

,

BA是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為11111111DDCCD

C1BBAA10.5,k

,1k

,k111k

,

k

,

k.已知是公差為

0.1

的等差數(shù)列，且直線ODCB2BA3123111OA

的斜率為

0.725，則

k

的值為（）.3圖

1圖

2（

A）

0.75（

B）

0.8（

C）

0.85（

D）

0.9【

評(píng)

析

】

此

題

是

以

中

國(guó)

古

建

筑

為

背

景

，

滲

透

數(shù)

學(xué)

文

化

、

數(shù)

學(xué)

審

美

，

引

導(dǎo)

學(xué)

生

感

受

數(shù)

列

模型

的

應(yīng)

用

價(jià)

值

.考

查

了

等

差

數(shù)

列

和

直

線

斜

率

的

基

本

知

識(shí)

，

對(duì)

學(xué)

生

數(shù)

學(xué)

符

號(hào)

語(yǔ)

言

和

圖

形

語(yǔ)

言

的理

解

能

力

要

求

較

高

.學(xué)

生

需

要

結(jié)

合

圖

形

理

解

條

件

和

問(wèn)

題

、

綜

合

運(yùn)

用

相

關(guān)

知

識(shí)

解

題

.題

中

主

要

條D

DC

CB

BA

A1

0

.5,

k

,

k

,

k；3111k

,k

,k是

公

差

為

0

.1

的

等

差

數(shù)

列

；1

2

3件

有

三

個(gè)

：

O

DD

C1

C

B2

B

A1111O

A直

線可

以

從

直

線坐

標(biāo)

之

商

，而

由

圖

形

可

知

，點(diǎn)

A

的

橫

坐

標(biāo)

等

于

線

段的

斜

率

為

0.725.如

何

結(jié)

合

所

學(xué)

知

識(shí)

把

這

三

條

件

結(jié)

合

起

來(lái)

是

學(xué)

生

解

題

的

難

點(diǎn)

，

對(duì)

此

，O

AO

A的

斜

率

即

為

點(diǎn)

A

縱

坐

標(biāo)

與

橫的

斜

率

表

達(dá)

著

手

.根

據(jù)

斜

率

公

式

可

知

，

直

線O

D

,

D

C

,

C

B

,

B

A之

和

，點(diǎn)

A

的

縱

坐

標(biāo)1111D

D

C

C

B

B

A

A1D

D

,

C

C

,

B

B

,

A

Ak111恰

等

于

線

段之

和

，

所

以.后

由

條

件D

C

C

BB

A1111O

AO

D1111D

DC

CB

BA

A10

.5

3k

0

.3

0

.5,

k

,

k

,

k代

入

，

可

得

方

程30

.7

2

5（

若

令1113O

DD

C1

C

B2

B

A14111O

D

D

C

C

B

B

A

1可

減

少

運(yùn)

算

量

），

后

解

之

可

得

.盡

管

此

題

具

有

一

定

的

綜

合

性

，

亦1111無(wú)

套

路

可

用

，

需

學(xué)

生

認(rèn)

真

分

析

、

選

擇

方

法

，

但

解

題

路

徑

比

較

清

楚

.不

過(guò)

也

有

很

多

學(xué)

生

因

為

不能

正

確

理

解

題

意

而

無(wú)

法

入

手

，

還

有

部

分

學(xué)

生

受

條

件D

DC

CB

BA

A1

0

.5,

k

,

k

,

k的

干

擾

，

認(rèn)

為

條

件

告

知

了

直

線3111O

D

,

D

C

,

C

B

,

B

AO

DD

C1

C

B2

B

A1111O

A果

陷

入

困

境

.此

題

情

景

新

穎

，

具

有

基

礎(chǔ)

性

和

綜

合

性

，

雖

然

難

度

較

大

，

但

區(qū)

分

度

較

高

，

利

于

考的

斜

率

，然

后

想

盡

辦

法

尋

找

這

四

條

直

線

的

斜

率

與

直

線斜

率

之

間

的

關(guān)

系

建

立

方

程

求

解

，結(jié)查

學(xué)

生

的

數(shù)

學(xué)

抽

象

素

養(yǎng)

和

直

觀

想

象

素

養(yǎng)

.OD

DC

CB

BA

1

CC

k,BB

k

,

AA

k.解：設(shè)，則1111111213DD

CC

BB

AA

0.725.k

0.2

k

,k

0.1

k1111依題意，有，且3132

OD

DC

CB

BA11110.53k

0.30.725

k

0.9.故

.3所以34故選擇選項(xiàng)

D.{a

}{b

}例

9（全國(guó)新高考Ⅱ卷·17）已知是等差數(shù)列，是公比為

2的等比數(shù)列，且nna

b

a

b

b

a.223344a

b（1）證明：（2）求集合；11{k

|

b

a

a

,1

m

500}中元素的個(gè)數(shù).km1{a

}d的公差為

.解：（1）（方法

1）設(shè)數(shù)列n

a

d

2b

a

2d

4b

,

d

2b,①11111由條件，得即

2a

4d

10b

.

②a

d

2b

8b

a

3d

,1111112a

42b

10ba

b.化簡(jiǎn)，得

.即證.將①代入②，得11111{a

}d的

公

差

為

.（

方

法

2）

設(shè)

數(shù)

列n

a

d

2b

a

2

d

4b

,

d

2b

,①②11111由

條

件

，

得即a

d

2b

8b

a

3d

,

2

a

4

d

10b

.1

11111d2d2d2b

12a

4d

10

a

.化

簡(jiǎn)

，

得1由

①

，

得.代

入

②

，

得.1d2a

b

所

以.即

證

.11a

b

b

aa

a

b

b.2

4

2

4（

方

法

3）

由，

得2244522a

b

4bab.2則

有，

即322355232a

b

a

b

a

b

a

bb

2b

.化

簡(jiǎn)

，

得

a2b.2將代

入，

得32為3222332222aa

,

a2a

a

a因

為所

以因

為的

等

差

中

項(xiàng)

，

即，2132135212

b

a

ba

b1

2.化

簡(jiǎn)

，

得.22122b

2ba