第二課時(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.通過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng).新知探究從物理學(xué)中我們知道，如果物體運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條曲線，那么該物體在每一個(gè)點(diǎn)處的瞬時(shí)速度的方向是與曲線相切的.例如，若物體的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，而且物體是順次經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的，則物體在A點(diǎn)處的瞬時(shí)速度的方向與向量v的方向相同.問(wèn)題如果設(shè)曲線的方程為y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率是什么？提示k＝f′(x0).1.切線的概念在曲線y＝f(x)上任取一點(diǎn)P(x，f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x，f(x))沿著曲線y＝f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0(x0，f(x0))時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置P0T稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0處的切線.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義“在點(diǎn)(x0，f(x0))處”的切線就是指(x0，f(x0))是切點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線y＝f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，即當(dāng)Δx→0時(shí)，k無(wú)限趨近于函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，因此，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0).3.導(dǎo)函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)確定的數(shù)，則當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)),即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).拓展深化[微判斷]1.函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個(gè)常數(shù).(√)2.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值就是曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線的斜率.(√)3.直線與曲線相切，則直線與已知的曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(×)提示也可能有多個(gè)公共點(diǎn)，如曲線y＝x3在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線y＝x3有兩個(gè)公共點(diǎn).[微訓(xùn)練]1.曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)(1，1)處切線的斜率為()A.1 B.－1C.eq\f(1,2) D.－eq\f(1,2)解析k＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,1＋Δx)－1,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,1＋Δx)＝－1.答案B2.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則()A.f′(1)>f′(2)>f′(3) B.f′(2)>f′(1)>f′(3)C.f′(3)>f′(2)>f′(1) D.f′(3)>f′(1)>f′(2)解析由函數(shù)的圖象可知，曲線在點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))處切線的斜率大小關(guān)系為kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).答案C[微思考]1.與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線嗎？提示不一定，例如直線x＝1與曲線y＝cosx只有一個(gè)公共點(diǎn)，但直線x＝1不是曲線y＝cosx的切線.2.導(dǎo)函數(shù)f′(x)與函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)相同嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示不相同.(1)兩者的區(qū)別：由導(dǎo)數(shù)的定義知，f′(x0)是一個(gè)具體的值，f′(x)是由于f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義在I上的一個(gè)新函數(shù)，所以兩者的區(qū)別是：前者是數(shù)值，后者是函數(shù).(2)兩者的聯(lián)系：在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此是函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).題型一求切線的方程【例1】已知曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線方程.解(1)∵P(2，4)在曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處切線的斜率為k＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（2＋Δx）3＋\f(4,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×23＋\f(4,3))),Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2Δx＋\f(1,3)（Δx）2))＝4.∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)設(shè)曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)與過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線相切于點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，則切線的斜率為k＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x0＋Δx）3＋\f(4,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3))),Δx)＝xeq\o\al(2,0)，∴切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).∵點(diǎn)P(2，4)在切線上，∴4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0.∴xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2.故所求的切線方程為x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.規(guī)律方法若題中所給點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.【訓(xùn)練1】求曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))處的切線方程.解曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))處的切線的斜率為k＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,2（2＋Δx）)＝－eq\f(1,4)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－2)，即x＋4y－4＝0.題型二求切點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)值【例2】(1)已知拋物線y＝f(x)＝2x2＋1在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，則該切點(diǎn)的坐標(biāo)為________.(2)若直線y＝3x＋b與曲線y＝x3相切，則b＝________.解析(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則Δy＝[2(x0＋Δx)2＋1]－(2xeq\o\al(2,0)＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx，∴f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝4x0.又∵切線的斜率為k＝tan45°＝1，∴4x0＝1即x0＝eq\f(1,4).∴y0＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋1＝eq\f(9,8)，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8))).(2)設(shè)直線y＝3x＋b與曲線y＝x3的切點(diǎn)為P(x0，y0)，由y＝x3得y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3－x3,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，所以曲線y＝x3在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率k＝3xeq\o\al(2,0)，又直線y＝3x＋b與曲線y＝x3切于點(diǎn)P，所以3xeq\o\al(2,0)＝3，因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).因?yàn)辄c(diǎn)P在直線y＝3x＋b上，所以b＝±2.答案(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8)))(2)±2規(guī)律方法解答此類題目時(shí)，所給的直線的傾斜角或斜率是解題的關(guān)鍵，由這些信息得知函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可求此點(diǎn)的橫坐標(biāo).解題時(shí)要注意解析幾何知識(shí)的應(yīng)用，如直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，平行，垂直等.【訓(xùn)練2】已知曲線f(x)＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線g(x)＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，求x0的值.解對(duì)于曲線f(x)＝x2－1，k1＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2－1－（xeq\o\al(2,0)－1）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0.對(duì)于曲線g(x)＝1－x3，k2＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(g（x0＋Δx）－g（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1－（x0＋Δx）3－（1－xeq\o\al(3,0)）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(－3x0Δx－3xeq\o\al(2,0)－(Δx)2)＝－3xeq\o\al(2,0).由k1＝k2，得2x0＝－3xeq\o\al(2,0)，∴x0＝0或x0＝－eq\f(2,3).題型三與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)的圖象問(wèn)題【例3】(1)已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是()A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能確定(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是()解析(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點(diǎn)A，B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)<f′(xB).(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)在[a，b]上是增函數(shù)，若對(duì)任意x1和x2滿足a<x1<x2<b，則有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知函數(shù)y＝f(x)的切線斜率在[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，觀察圖象.只有A選項(xiàng)符合.答案(1)B(2)A規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)的大小可以根據(jù)函數(shù)圖象，觀察對(duì)應(yīng)切線的斜率的大小.【訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝a，則下列不等式正確的是()A.f′(1)<f′(2)<a B.f′(1)<a<f′(2)C.f′(2)<f′(1)<a D.a<f′(1)<f′(2)解析由圖象可知，函數(shù)在[0，＋∞)上的增長(zhǎng)越來(lái)越快，故函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切線的斜率越來(lái)越大，∵eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝a，∴f′(1)<a<f′(2)，故選B.答案B一、素養(yǎng)落地1.通過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解切線的斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng).2.導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上.如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn).二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.若曲線y＝h(x)在點(diǎn)P(a，h(a))處的切線方程為2x＋y＋1＝0，則()A.h′(a)＝0 B.h′(a)<0C.h′(a)>0 D.h′(a)不存在解析由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知h′(a)＝－2<0.答案B2.已知曲線f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x的一條切線的斜率是3，則該切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A.－2 B.－1C.1 D.2解析∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝eq\f(1,2)(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－eq\f(1,2)x2－x＝x·Δx＋eq\f(1,2)(Δx)2＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝x＋eq\f(1,2)Δx＋1，∴f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝x＋1.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2，故選D.答案D3.設(shè)曲線f(x)＝ax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于()A.1 B.eq\f(1,2)C.－eq\f(1,2) D.－1解析因?yàn)閒′(1)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2－a×12,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋a（Δx）2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1(經(jīng)檢驗(yàn)，正確).答案A4.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________.解析由在M點(diǎn)處的切線方程y＝eq\f(1,2)x＋2，得f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2).∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.答案35.設(shè)y＝f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件eq^\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f（1）－f（1－x）,2x)＝－2，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率是________.解析由eq^\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f（1）－f（1－x）,2x)＝－2，∴eq\f(1,2)f′(x)＝－2，f′(1)＝－4.答案－4基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.在曲線y＝x2上切線傾斜角為eq\f(π,4)的點(diǎn)是()A.(0，0) B.(2，4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析∵y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x，∴令2x＝taneq\f(π,4)＝1，得x＝eq\f(1,2).∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).答案D2.若曲線y＝f(x)在其上一點(diǎn)(1，3)處的切線過(guò)點(diǎn)(0，2)，則()A.f′(1)>0 B.f′(1)＝0C.f′(1)<0 D.f′(1)不存在解析由題意知切線過(guò)點(diǎn)(1，3)，(0，2)，所以切線的斜率為k＝f′(1)＝eq\f(3－2,1－0)＝1>0.答案A3.已知函數(shù)f(x)在R上有導(dǎo)函數(shù)，f(x)圖象如圖所示，則下列不等式正確的是()A.f′(a)<f′(b)<f′(c)B.f′(b)<f′(c)<f′(a)C.f′(a)<f′(c)<f′(b)D.f′(c)<f′(a)<f′(b)解析如圖，分別作曲線在x＝a，x＝b，x＝c三處的切線l1，l2，l3，設(shè)切線的斜率分別為k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c).故選A.答案A4.曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x＋y＋1＝0，則()A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1解析將(0，b)代入切線方程可得0＋b＋1＝0，∴b＝－1，y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝2x＋a，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝a＝－1.答案D5.如圖，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線l過(guò)點(diǎn)(2，0)，且f′(1)＝－2，則f(1)的值為()A.－1 B.1C.2 D.3解析曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線l過(guò)點(diǎn)(2，0)，且f′(1)＝－2，所以切線方程為y＝－2(x－2).因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上也在切線上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故選C.答案C二、填空題6.已知函數(shù)y＝ax2＋b在點(diǎn)(1，3)處的切線斜率為2，則eq\f(b,a)＝________.解析由題意知a＋b＝3，又y′|x＝1＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2＋b－（a＋b）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a＝2，∴a＝1，b＝2，故eq\f(b,a)＝2.答案27.若函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)，則它與x軸交點(diǎn)處的切線方程為________________.解析f(x)＝x－eq\f(1,x)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，(－1，0)，f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）－\f(1,x＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x))),Δx)＝1＋eq\f(1,x2)，f′(1)＝2，f′(－1)＝2，∴所求切線方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)，即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.答案2x－y－2＝0或2x－y＋2＝08.若點(diǎn)P是拋物線y＝x2上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為________.解析由題意可得，當(dāng)點(diǎn)P到直線y＝x－2的距離最小時(shí)，點(diǎn)P為拋物線y＝x2的一條切線的切點(diǎn)，且該切線平行于直線y＝x－2，設(shè)y＝f(x)＝x2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知y′＝f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝2x＝1，解得x＝eq\f(1,2)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，故點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq\f(7\r(2),8).答案eq\f(7\r(2),8)三、解答題9.已知曲線y＝eq\f(1,3)x3上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，求：(1)點(diǎn)P處的切線的斜率；(2)點(diǎn)P處的切線方程.解(1)由y＝eq\f(1,3)x3，得y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,3)（x＋Δx）3－\f(1,3)x3,Δx)＝eq\f(1,3)eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x2Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3,Δx)＝eq\f(1,3)eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，y′|x＝2＝22＝4.所以點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.(2)在點(diǎn)P處的切線方程為y－eq\f(8,3)＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.10.在拋物線y＝x2上，哪一點(diǎn)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0？哪一點(diǎn)處的切線垂直于這條直線？解y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.設(shè)拋物線上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，則k＝2x0＝4，解得x0＝2.所以y0＝xeq\o\al(2,0)＝4，即P(2，4).設(shè)拋物線上點(diǎn)Q(x1，y1)處的切線垂直于直線4x－y＋1＝0，則k＝2x1＝－eq\f(1,4)，解得x1＝－eq\f(1,8).所以y1＝xeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,64)，即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64))).故拋物線y＝x2在點(diǎn)(2，4)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64)))處的切線垂直于直線4x－y＋1＝0.能力提升11.設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.[－1，0]C.[0，1] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2＋2（x＋Δx）＋3－（x2＋2x＋3）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（2x＋2）·Δx＋（Δx）2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x＋2)＝2x＋2，又曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[