第一章 靜電場§1.1靜電的基本現(xiàn)象和基本規(guī)律思考題：1、 給你兩個金屬球，裝在可以搬動的絕緣支架上，試指出使這兩個球帶等量異號電荷的方向。你可以用絲綢摩擦過的玻璃棒，但不使它和兩球接觸。你所用的方法是否要求兩球大小相等？答：先使兩球接地使它們不帶電，再絕緣后讓兩球接觸，將用絲綢摩擦后帶正電的玻璃棒靠近金屬球一側(cè)時，由于靜電感應(yīng)，靠近玻璃棒的球感應(yīng)負(fù)電荷，較遠(yuǎn)的球感應(yīng)等量的正電荷。然后兩球分開，再移去玻璃棒，兩金屬球分別帶等量異號電荷。本方法不要求兩球大小相等。因?yàn)樗鼈儽緛聿粠щ?，根?jù)電荷守恒定律，由于靜電感應(yīng)而帶電時，無論兩球大小是否相等，其總電荷仍應(yīng)為零，故所帶電量必定等量異號。2、 帶電棒吸引干燥軟木屑，木屑接觸到棒以后，往往又劇烈地跳離此棒。試解釋之。答：在帶電棒的非均勻電場中，木屑中的電偶極子極化出現(xiàn)束縛電荷，故受帶電棒吸引。但接觸棒后往往帶上同種電荷而相互排斥。3、 用手握銅棒與絲綢摩擦，銅棒不能帶電。戴上橡皮手套，握著銅棒和絲綢摩擦，銅棒就會帶電。為什么兩種情況有不同結(jié)果？答：人體是導(dǎo)體。當(dāng)手直接握銅棒時，摩擦過程中產(chǎn)生的電荷通過人體流入大地，不能保持電荷。戴上橡皮手套，銅棒與人手絕緣，電荷不會流走，所以銅棒帶電。計算題：1、 真空中兩個點(diǎn)電荷q1=1.0×10-10C，q2=1.0×10-11C，相距100mm，求q1受的力。解：2、 真空中兩個點(diǎn)電荷q與Q，相距5.0mm,吸引力為40達(dá)因。已知q=1.2×10-6C,求Q。解：1達(dá)因=克·厘米/秒=10-5牛頓3、 為了得到一庫侖電量大小的概念，試計算兩個都是一庫侖的點(diǎn)電荷在真空中相距一米時的相互作用力和相距一千米時的相互作用力。解：4、 氫原子由一個質(zhì)子（即氫原子核）和一個電子組成。根據(jù)經(jīng)典模型，在正常狀態(tài)下，電子繞核作圓周運(yùn)動，軌道半徑是r=5.29×10-11m。已知質(zhì)子質(zhì)量M=1.67×10-27kg，電子質(zhì)量m=9.11×10-31kg。電荷分別為e=±1.6×10-19C,萬有引力常數(shù)G=6.67×10-11N·m2/kg2。（1）求電子所受的庫侖力；（2）庫侖力是萬有引力的多少倍？（3）求電子的速度。解：5、 盧瑟福實(shí)驗(yàn)證明：當(dāng)兩個原子核之間的距離小到10-15米時，它們之間的排斥力仍遵守庫侖定律。金的原子核中有79個質(zhì)子，氦的原子核（即α粒子）中有2個質(zhì)子。已知每個質(zhì)子帶電e=1.6×10-19C，α粒子的質(zhì)量為6.68×10-27kg.。當(dāng)α粒子與金核相距為6.9×10-15m時（設(shè)這時它們?nèi)远伎僧?dāng)作點(diǎn)電荷）。求（1）α粒子所受的力；（2）α粒子的加速度。解：6、 鐵原子核里兩質(zhì)子間相距4.0×10-15m,每個質(zhì)子帶電e=1.6×10-19C。（1）求它們之間的庫侖力；（2）比較這力與所受重力的大小。解：7、 兩個點(diǎn)電荷帶電2q和q，相距l(xiāng)，第三個點(diǎn)電荷放在何處所受的合力為零？解：設(shè)所放的點(diǎn)電荷電量為Q。若Q與q同號，則三者互相排斥，不可能達(dá)到平衡；故Q只能與q異號。當(dāng)Q在2q和q聯(lián)線之外的任何地方，也不可能達(dá)到平衡。由此可知，只有Q與q異號，且處于兩點(diǎn)荷之間的聯(lián)線上，才有可能達(dá)到平衡。設(shè)Q到q的距離為x.8、 三個相同的點(diǎn)電荷放置在等邊三角形的各頂點(diǎn)上。在此三角形的中心應(yīng)放置怎樣的電荷，才能使作用在每一點(diǎn)電荷上的合力為零？解：設(shè)所放電荷為Q，Q應(yīng)與頂點(diǎn)上電荷q異號。中心Q所受合力總是為零，只需考慮q受力平衡。平衡與三角形邊長無關(guān)，是不穩(wěn)定平衡。9、 電量都是Q的兩個點(diǎn)電荷相距為l，聯(lián)線中點(diǎn)為O；有另一點(diǎn)電荷q，在聯(lián)線的中垂面上距O為r處。（1）求q所受的力；（2）若q開始時是靜止的，然后讓它自己運(yùn)動，它將如何運(yùn)動？分別就q與Q同號和異號兩種情況加以討論。解：(1)(2)q與Q同號時，F(xiàn)背離O點(diǎn)，q將沿兩Q的中垂線加速地趨向無窮遠(yuǎn)處。q與Q異號時，F(xiàn)指向O點(diǎn)，q將以O(shè)為中心作周期性振動，振幅為r.<討論>：設(shè)q是質(zhì)量為m的粒子，粒子的加速度為因此，在r<<l和q與Q異號的情況下，m的運(yùn)動近似于簡諧振動。10、 兩小球質(zhì)量都是m，都用長為l的細(xì)線掛在同一點(diǎn)，若它們帶上相同的電量，平衡時兩線夾角為2θ。設(shè)小球的半徑都可以略去不計，求每個小球上的電量。解：小球靜止時，作用其上的庫侖力和重力在垂直于懸線方向上的分量必定相等。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------§1.2電場電場強(qiáng)度思考題：1、 在地球表面上通常有一豎直方向的電場，電子在此電場中受到一個向上的力，電場強(qiáng)度的方向朝上還是朝下？答：電子受力方向與電場強(qiáng)度方向相反，因此電場強(qiáng)度方向朝下。2、 在一個帶正電的大導(dǎo)體附近P點(diǎn)放置一個試探點(diǎn)電荷q0(q0>0),實(shí)際測得它受力F。若考慮到電荷量q0不是足夠小的，則F/q0比P點(diǎn)的場強(qiáng)E大還是??？若大導(dǎo)體帶負(fù)電，情況如何？答：q0不是足夠小時，會影響大導(dǎo)體球上電荷的分布。由于靜電感應(yīng)，大導(dǎo)體球上的正電荷受到排斥而遠(yuǎn)離P點(diǎn)，而F/q0是導(dǎo)體球上電荷重新分布后測得的P點(diǎn)場強(qiáng)，因此比P點(diǎn)原來的場強(qiáng)小。若大導(dǎo)體球帶負(fù)電，情況相反，負(fù)電荷受吸引而靠近P點(diǎn)，P點(diǎn)場強(qiáng)增大。3、 兩個點(diǎn)電荷相距一定距離，已知在這兩點(diǎn)電荷連線中點(diǎn)處電場強(qiáng)度為零。你對這兩個點(diǎn)電荷的電荷量和符號可作什么結(jié)論？答：兩電荷電量相等，符號相反。4、 一半徑為R的圓環(huán)，其上均勻帶電，圓環(huán)中心的電場強(qiáng)度如何？其軸線上場強(qiáng)方向如何？答：由對稱性可知，圓環(huán)中心處電場強(qiáng)度為零。軸線上場強(qiáng)方向沿軸線。當(dāng)帶電為正時，沿軸線向外；當(dāng)帶電為負(fù)時，沿軸線向內(nèi)，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------計算題：1、 在地球表面上某處電子受到的電場力與它本身的重量相等，求該處的電場強(qiáng)度（已知電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg,電荷為-e=-1.610-19C）.解：2、 電子所帶的電荷量（基本電荷-e）最先是由密立根通過油滴實(shí)驗(yàn)測出的。密立根設(shè)計的實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示。一個很小的帶電油滴在電場E內(nèi)。調(diào)節(jié)E，使作用在油滴上的電場力與油滴的重量平衡。如果油滴的半徑為1.64×10-4cm,在平衡時，E=1.92×105N/C。求油滴上的電荷（已知油的密度為0.851g/cm3）解：3、 在早期（1911年）的一連串實(shí)驗(yàn)中，密立根在不同時刻觀察單個油滴上呈現(xiàn)的電荷，其測量結(jié)果（絕對值）如下：6.568×10-19庫侖13.13×10-19庫侖19.71×10-19庫侖8.204×10-19庫侖16.48×10-19庫侖22.89×10-19庫侖11.50×10-19庫侖18.08×10-19庫侖26.13×10-19庫侖根據(jù)這些數(shù)據(jù)，可以推得基本電荷e的數(shù)值為多少？解：油滴所帶電荷為基本電荷的整數(shù)倍。則各實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可表示為kie。取各項(xiàng)之差點(diǎn)兒4、 根據(jù)經(jīng)典理論，在正常狀態(tài)下，氫原子中電子繞核作圓周運(yùn)動，其軌道半徑為5.29×10-11米。已知質(zhì)子電荷為e=1.60×10-19庫,求電子所在處原子核（即質(zhì)子）的電場強(qiáng)度。解：5、 兩個點(diǎn)電荷，q1=+8微庫侖，q2=-16微庫侖（1微庫侖=10-6庫侖），相距20厘米。求離它們都是20厘米處的電場強(qiáng)度。解：與兩電荷相距20cm的點(diǎn)在一個圓周上，各點(diǎn)E大小相等，方向在圓錐在上。6、 如圖所示，一電偶極子的電偶極矩P=ql.P點(diǎn)到偶極子中心O的距離為r,r與l的夾角為。在r>>l時，求P點(diǎn)的電場強(qiáng)度E在r=OP方向的分量Er和垂直于r方向上的分量Eθ。解：其中--7、 把電偶極矩P=ql的電偶極子放在點(diǎn)電荷Q的電場內(nèi)，P的中心O到Q的距離為r(r>>l),分別求：（1）P//QO和（2）P⊥QO時偶極子所受的力F和力矩L。解：（1）F的作用線過軸心O，力矩為零（2）8、 附圖中所示是一種電四極子，它由兩個相同的電偶極子P=ql組成，這兩偶極子在一直線上，但方向相反，它們的負(fù)電荷重合在一起。證明：在它們的延長線上離中心為r處，解：9、附圖中所示為另一種電四極子，設(shè)q和l都已知，圖中P點(diǎn)到電四極子中心O的距離為x.PO與正方形的一對邊平行。求P點(diǎn)的電場強(qiáng)度E。當(dāng)x>>l時，E=？解：10、均勻帶電細(xì)棒（1）在通過自身端點(diǎn)的垂直面上和（2）在自身的延長線上的場強(qiáng)分布，設(shè)棒長為2l，帶電總量為q.解：（1）一端的垂直面上任一點(diǎn)A處（2）延長線上任一點(diǎn)B處11、 兩條平行的無限長直均勻帶電線，相距為a,電荷線密度分別為±ηe,（1）求這兩線構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)（設(shè)這點(diǎn)到其中一線的垂直距離為x）的場強(qiáng)；（2）求兩線單位長度間的相互吸引力。解：（1）根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，任一點(diǎn)場強(qiáng)為兩無限長直帶電線產(chǎn)生場強(qiáng)的矢量和（2）12、 如圖所示，一半徑為R的均勻帶電圓環(huán)，電荷總量為q。（1）求軸線上離環(huán)中心O為x處的場強(qiáng)E；（2）畫出E-x曲線；（3）軸線上什么地方場強(qiáng)最大？其值是多少？解：（1）由對稱性可知，所求場強(qiáng)E的方向平行于圓環(huán)的軸線 （2）由場強(qiáng)表達(dá)式得到E-X曲線如圖所示（3）求極大值：13、 半徑為R的圓面上均勻帶電，電荷面密度為σe，（1）求軸線上離圓心的坐標(biāo)為x處的場強(qiáng)；（2）在保持σe不變的情況下，當(dāng)R→0和R→∞時結(jié)果各如何？（3）在保持總電荷Q=πR2σe不變的情況下，當(dāng)R→0和R→∞時結(jié)果各如何？解：（1）由對稱性可知，場強(qiáng)E沿軸線方向利用上題結(jié)果（2）保持σe不變時，（3）保持總電量不變時，14、 一均勻帶電的正方形細(xì)框，邊長為l，總電量為q,求這正方形軸線上離中心為x處的場強(qiáng)。解：根據(jù)對稱性，所求場強(qiáng)沿正方形的軸線方向?qū)τ谝欢伍L為l的均勻帶電直線，在中垂面上離中點(diǎn)為a處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為正方形四邊在考察點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為15、 證明帶電粒子在均勻外電場中運(yùn)動時，它的軌跡一般是拋物線。這拋物線在什么情況下退化為直線？解：（1）設(shè)帶電粒子的初速度方向與電場方向夾角為θ，其運(yùn)動方程為（2）當(dāng)E為均勻電場且粒子的初速度為零時，或初速度平行于電場方向時，初速度沒有垂直于場強(qiáng)方向的分量，拋物線退化為直線。16、 如圖所示，示波管偏轉(zhuǎn)電極的長度l=1.5cm,兩極間電場是均勻的，E=1.2×104V/m(E方向垂直于管軸)，一個電子以初速度v0=2.6×107m/s沿管軸注入。已知電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg,電荷為e=-1.6×10-19.C.（1） 求電子經(jīng)過電極后所發(fā)生的偏轉(zhuǎn)；（2） 若可以認(rèn)為一出偏轉(zhuǎn)電極的區(qū)域后，電場立即為零。設(shè)偏轉(zhuǎn)電極的邊緣到熒光屏的距離D=10厘米，求電子打在熒光屏上產(chǎn)生的光點(diǎn)偏離中心O的距離。解：（1）電子的運(yùn)動方程得(2)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------§1.3高斯定理思考題：1、 一般地說，電力線代表點(diǎn)電荷在電場中運(yùn)動的軌跡嗎？為什么？答：一般情況下，電力線不代表點(diǎn)電荷在電場中運(yùn)動的軌跡。因?yàn)殡娏€一般是曲線，若電荷沿電力線作曲線運(yùn)動，應(yīng)有法向力存在；但電力線上各點(diǎn)場強(qiáng)只沿切線方向，運(yùn)動電荷必定偏離彎曲的電力線。僅當(dāng)電力線是直線，且不考慮重力影響時，初速度為零的點(diǎn)電荷才能沿著電力線運(yùn)動。若考慮重力影響時，靜止的點(diǎn)電荷只能沿豎直方向電力線運(yùn)動。2、 空間里的電力線為什么不相交？答：電力線上任一點(diǎn)的切線方向即為該點(diǎn)場強(qiáng)方向。如果空間某點(diǎn)有幾條電力線相交，過交點(diǎn)對每條電力線都可作一條切線，則交點(diǎn)處的場強(qiáng)方向不唯一，這與電場中任一點(diǎn)場強(qiáng)有確定方向相矛盾。3、 一個點(diǎn)電荷q放在球形高斯面的中心處，試問在下列情況下，穿過這高斯面的電通量是否改變？（1） 如果第二個點(diǎn)電荷放在高斯球面外附近；（2） 如果第二個點(diǎn)電荷放在高斯球面內(nèi)；（3） 如果將原來的點(diǎn)電荷移離了高斯球面的球心，但仍在高斯球面內(nèi)。答：由于穿過高斯面的電通量僅與其內(nèi)電量的代數(shù)和有關(guān)，與面內(nèi)電荷的分布及面外電荷無關(guān)，所以（1）；（2）；（3）4、（1）如果上題中高斯球面被一個體積減小一半的立方體表面所代替，而點(diǎn)電荷在立方體的中心，則穿過該高斯面的電通量如何變化？（2）通過這立方體六個表面之一的電通量是多少？答：（1）立方形高斯面內(nèi)電荷不變，因此電通量不變；（2）通過立方體六個表面之一的電通量為總通量的1/6。即5、 附圖所示，在一個絕緣不帶電的導(dǎo)體球的周圍作一同心高斯面S。試定性地回答，在將一正點(diǎn)荷q移至導(dǎo)體表面的過程中，（1） A點(diǎn)的場強(qiáng)大小和方向怎樣變化？（2） B點(diǎn)的場強(qiáng)大小和方向怎樣變化？（3） 通過S面的電通量如何變化？答：由于電荷q的作用，導(dǎo)體上靠近A點(diǎn)的球面感應(yīng)電荷-q′，遠(yuǎn)離A點(diǎn)的球面感應(yīng)等量的+q′,其分布與過電荷q所在點(diǎn)和球心O的聯(lián)線成軸對稱，故±q′在A、B兩點(diǎn)的場強(qiáng)E′沿AOB方向。（1） E=E0+E′，q移到A點(diǎn)前，E0和E′同向，隨著q的移近不斷增大，總場強(qiáng)EA也不斷增大。q移過A點(diǎn)后，E0反向，且E0>E′，EA方向與前相反。隨著q的遠(yuǎn)離A點(diǎn)，E0不斷減小，±q′和E′增大，但因E′始終小于E0，所以EA不斷減小。（2） 由于q及±q′在B點(diǎn)的場強(qiáng)始終同向，且隨著q移近導(dǎo)體球，二者都增大，所以EB不斷增大。（3） q在S面外時，面內(nèi)電荷代數(shù)和為零，故Φ=0；q在S面內(nèi)時，Φ=q/ε0；當(dāng)q在S面上時，它已不能視為點(diǎn)電荷，因高斯面是無厚度的幾何面，而實(shí)際電荷總有一定大小，此時Φ=△q/ε0，△q為帶電體處于S面內(nèi)的那部分電量。6、 有一個球形的橡皮氣球，電荷均勻分布在表面上，在此氣球被吹大的過程中，下列各處的場強(qiáng)怎樣變化？（1） 始終在氣球內(nèi)部的點(diǎn)；（2）始終在氣球外部的點(diǎn)；（3）被氣球表面掠過的點(diǎn)。答：氣球在膨脹過程中，電荷始終均勻分布在球面上，即電荷成球?qū)ΨQ分布，故場強(qiáng)分布也呈球?qū)ΨQ。由高斯定理可知：始終在氣球內(nèi)部的點(diǎn)，E=0，且不發(fā)生變化；始終在氣球外的點(diǎn)，場強(qiáng)相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場強(qiáng)，也不發(fā)生變化；被氣球表面掠過的點(diǎn)，當(dāng)它們位于面外時，相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場強(qiáng)；當(dāng)位于面內(nèi)時，E=0，所以場強(qiáng)發(fā)生躍變。7、 求均勻帶正電的無限大平面薄板的場強(qiáng)時，高斯面為什么取成兩底面與帶電面平行且對稱的柱體的形狀？具體地說，（1） 為什么柱體的兩底面要對于帶電面對稱？不對稱行不行？（2） 柱體底面是否需要是圓的？面積取多大合適？（3） 為了求距帶電平面為x處的場強(qiáng)，柱面應(yīng)取多長？答：（1）對稱性分析可知，兩側(cè)距帶電面等遠(yuǎn)的點(diǎn)，場強(qiáng)大小相等，方向與帶電面垂直。只有當(dāng)高斯面的兩底面對帶電面對稱時，才有E1=E2=E，從而求得E。如果兩底在不對稱，由于不知E1和E2的關(guān)系，不能求出場強(qiáng)。若已先證明場強(qiáng)處處相等，就不必要求兩底面對稱。（2） 底面積在運(yùn)算中被消去，所以不一定要求柱體底面是圓，面積大小也任意。（3） 求距帶電面x處的場強(qiáng)時，柱面的每一底應(yīng)距帶電面為x，柱體長為2x。同樣，若已先證明場強(qiáng)處處相等，則柱面的長度可任取。17、 求一對帶等量異號或等量同號電荷的無限大平行平面板之間的場強(qiáng)時，能否只取一個高斯面？答：如果先用高斯定理求出單個無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)，再利用疊加原理，可以得到兩個無限大均勻帶電平面間的場強(qiáng)。在這樣的計算過程中，只取了一個高斯面。18、 已知一高斯面上場強(qiáng)處處為零，在它所包圍的空間內(nèi)任一點(diǎn)都沒有電荷嗎？答：不一定。高斯面上E=0，S內(nèi)電荷的代數(shù)和為零，有兩種可能：一是面內(nèi)無電荷，如高斯面取在帶電導(dǎo)體內(nèi)部；二是面內(nèi)有電荷，只是正負(fù)電荷的電量相等，如導(dǎo)體空腔內(nèi)有電荷q時，將高斯面取在導(dǎo)體中，S包圍導(dǎo)體內(nèi)表面的情況。19、 要是庫侖定律中的指數(shù)不恰好是2（譬如為3），高斯定理是否還成立？答：不成立。設(shè)庫侖定律中指數(shù)為2+δ，穿過以q為中心的球面上的電通量為，此時通量不僅與面內(nèi)電荷有關(guān)，還與球面半徑有關(guān)，高斯定理不再成立。――――――――――――――――――――――――――――――――――――――習(xí)題：１、 設(shè)一半徑為５厘米的圓形平面，放在場強(qiáng)為３００Ｎ／Ｃ的勻強(qiáng)電場中，試計算平面法線與場強(qiáng)的夾角θ取下列數(shù)值時通過此平面的電通量。（１）θ＝００；（２）θ＝３００；（３）θ＝９００；（４）θ＝１２００；（５）θ＝１８００。解：２、 均勻電場與半徑為a的半球面的軸線平行，試用面積分計算通過此半球面的電通量。解：通過半球面的電通量與通過半球面在垂直于場強(qiáng)方向上的投影面積的電通量相等。３、 如附圖所示，在半徑為Ｒ１和Ｒ２的兩個同心球面上，分別均勻地分布著電荷Ｑ１和Ｑ２，求：（１）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)分布；（２）若Ｑ１＝－Ｑ２，情況如何？畫出此情形的Ｅ－r曲線。解：（１）應(yīng)用高斯定理可求得三個區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)為E－r曲線(r<R1);(R1<r<R2)(r>R2)(2)若Ｑ１＝－Ｑ２，E1=E3=0,E－r曲線如圖所示。４、 根據(jù)量子理論，氫原子中心是一個帶正電子qe的原子核（可以看成是點(diǎn)電荷），外面是帶負(fù)電的電子云。在正常狀態(tài)（核外電子處在Ｓ態(tài)）下，電子云的電荷密度分布是球?qū)ΨQ的：式中a0為一常數(shù)（它相當(dāng)于經(jīng)典原子模型中s電子圓形軌道的半徑，稱為玻爾半徑）。求原子內(nèi)電場的分布。解：電子云是球?qū)ΨQ分布，核外電子的總電荷量為可見核外電荷的總電荷量等于電子的電荷量。應(yīng)用高斯定理：核外電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)為原子核與核外電荷產(chǎn)生的總場強(qiáng)為５、 實(shí)驗(yàn)表明：在靠近地面處有相當(dāng)強(qiáng)的電場，Ｅ垂直于地面向下，大小約為１００Ｎ／Ｃ；在離地面1.5千米高的地方，Ｅ也是垂直地面向下的，大小約為２５Ｎ／Ｃ。（１） 試計算從地面到此高度大氣中電荷的平均密度；（２） 如果地球上的電荷全部均勻分布在表面，求地面上電荷的面密度。解：（１）以地心為心作球形高斯面，恰好包住地面，由對稱性和高斯定理得（２） 以地球表面作高斯面６、 半徑為Ｒ的無窮長直圓筒面上均勻帶電，沿軸線單位長度的電量為λ.求場強(qiáng)分布，并畫出E－r曲線。解：應(yīng)用高斯定理，求得場強(qiáng)分布為Ｅ＝０r<Rr>RE－r曲線如圖所示。７、 一對無限長的共軸直圓筒，半徑分別為Ｒ１和Ｒ２，筒面上都均勻帶電。沿軸線單位長度的電量分別為λ１和λ２，（１） 求各區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)分布；（２） 若λ１＝－λ２，情況如何？畫出此情形的E－r曲線。解：（１）由高斯定理，求得場強(qiáng)分布為r<R1E１=0R1<r<R2r>R2（２）若λ１＝－λ２，Ｅ１＝Ｅ３＝０，Ｅ２不變。此情形的E－r曲線如圖所示。８、 半徑為Ｒ的無限長直圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷的體密度為ρ，求場強(qiáng)分布，并畫出Ｅ-r曲線。解：應(yīng)用高斯定理，求得場強(qiáng)分布為圓柱體內(nèi)圓柱體外E－r曲線如圖所示９、 設(shè)氣體放電形成的等離子體圓柱內(nèi)的體電荷分布可用下式表示，式中r是到軸線的距離，ρ０是軸線上的密度值，a是常數(shù)，求場強(qiáng)的分布。解：應(yīng)用高斯定理，作同軸圓柱形閉合柱面為高斯面。Ｅ方向沿矢徑r方向。１０、 兩無限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度分別為±σ，求各區(qū)域的場強(qiáng)分布。解：無限大均勻帶電平面所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為根據(jù)場強(qiáng)的疊加原理，各區(qū)域場強(qiáng)分別為可見兩面外電場強(qiáng)度為零，兩面間電場是均勻電場。平行板電容器充電后，略去邊緣效應(yīng)，其電場就是這樣的分布。１１、 兩無限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度都是σ，求各區(qū)域的場強(qiáng)分布。解：與上題同理，無限大均勻帶電平面所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為應(yīng)用場強(qiáng)疊加原理，場強(qiáng)在各區(qū)域的分布為可見兩面間電場強(qiáng)度為零，兩面外是均勻電場，電場強(qiáng)度大小相等，方向相反。１２、 三個無限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度分別為σ１、σ２、σ３，求下列情況各處的場強(qiáng)：（１）σ１＝σ２＝σ３＝σ；（２）σ１＝σ３＝σ；σ２＝－σ；（３）σ１＝σ３＝－σ；σ２＝σ；（４）σ１＝σ；σ２＝σ３＝－σ。解：無限大均勻帶電平面所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為各區(qū)域場強(qiáng)為各帶電面產(chǎn)生場強(qiáng)的疊加 Ｅ１ Ｅ２ Ｅ３ Ｅ４（１）

（２）

（３）

（４）

１３、 一厚度為d的無限大平板，平板體內(nèi)均勻帶電，電荷的體密度為ρ，求板內(nèi)、板外場強(qiáng)的分布。解：根據(jù)對稱性，板內(nèi)外的電場強(qiáng)度方向均垂直于板面，并對中心對稱。應(yīng)用高斯定理可求得：板內(nèi)（r<d/2）板外（r>d/2）１４、 在半導(dǎo)體p-n結(jié)附近總是堆積著正、負(fù)電荷，在n區(qū)內(nèi)有正電荷，P區(qū)內(nèi)有負(fù)電荷，兩區(qū)電荷的代數(shù)和為零。把p-n結(jié)看成是一對帶正、負(fù)電荷的無限大平板，它們相互接觸。取坐標(biāo)x的原點(diǎn)在p、n區(qū)的交界面上，n區(qū)的范圍是-xn≤x≤0,p區(qū)的范圍是０≤x≤xP.設(shè)兩區(qū)內(nèi)電荷體密度分布都是均勻的：n區(qū)，P區(qū)(突變結(jié)模型)這里ＮＤ、ＮＡ是常數(shù)，且ＮＡxp=NDxn(兩區(qū)電荷數(shù)量相等)。試證明電場的分布為：n區(qū)，P區(qū)并畫出ρ和Ｅ隨x變化的曲線。解：將帶電層看成無數(shù)無限大均勻帶電平面的疊加，由疊加原理可知，在p-n結(jié)以外區(qū)域，E=0（１） 對高斯面S1，應(yīng)用高斯定理（2）對高斯面S2，應(yīng)用高斯定理（3）ρ和Ｅ隨x變化的曲線如圖所示。-１５、 如果在上題中電荷的體分布為p-n結(jié)外ρ（x）=0-xn≤x≤xpρ（x）=-eax(線性緩變結(jié)模型)這里a是常數(shù)，xn=xp（為什么？），統(tǒng)一用xm/2表示。試證明電場分布為并畫出ρ和Ｅ隨x變化的曲線。解：正負(fù)電荷代數(shù)和仍為零，p-n結(jié)外E=0作高斯面ρ和Ｅ隨x變化的曲線如圖所示。----------------------------------------------------------------------§1.4電位及其梯度思考題：１、 假如電場力的功與路徑有關(guān)，定義電位差的公式還有沒有意義？從原則上說，這時還能不能引入電位差、電位的概念？答：如果電場力的功與路徑有關(guān)，積分在未指明積分路徑以前就沒有意義，路徑不同，積分結(jié)果也不同，相同的位置，可以有無限多取值，所以就沒有確定的意義，即不能根據(jù)它引入電位、電位差的概念來描寫電場的性質(zhì)。２、 （1）在附圖a所示的情形里，把一個正電荷從P點(diǎn)移動到Q，電場力的功APQ是正還量負(fù)？它的電位能是增加還是減少？P、Q兩點(diǎn)的電位哪里高？（2）若移動負(fù)電荷，情況怎樣？（3）若電力線的方向如附圖b所示，情況怎樣？答：(1)正電荷在電場中任一點(diǎn)受電場力F=qE，方向與該點(diǎn)E方向相同，在ＰＱ路徑上取任一微元，dA>0P→Q，電場力的功APQ>0，APQ=q(UP-UQ)=Wp-WQ>0,所以電位能減少，q>o,A>0,所以ＵＰ>UQ（２）負(fù)電荷受力與電場方向相反，P→Q，電場力的功APQ<0，電位能增加，但仍有ＵＰ>UQ（３）由于場強(qiáng)方向與前述相反，則所有結(jié)論與（１）（２）相反。３、 電場中兩點(diǎn)電位的高低是否與試探電荷的正負(fù)有關(guān)？電位差的數(shù)值是否與試探電荷的電量有關(guān)？答：電位高低是電場本身的性質(zhì)，與試探電荷無關(guān)。電位差的數(shù)值也與試探電荷的電量無關(guān)。４、 沿著電力線移動負(fù)試探電荷時，它的電位能是增加還是減少？答：沿著電力線移動負(fù)試探電荷時，若dl與Ｅ同向，電場力作負(fù)功，電位能增加；反之電位能減少。５、 說明電場中各處的電位永遠(yuǎn)逆著電力線方向升高。答：在任何情況下，電力線的方向總是正電荷所受電場力的方向，將單位正電荷逆著電力線方向由一點(diǎn)移動到另一點(diǎn)時，必須外力克服電場力作功，電位能增加。電場中某點(diǎn)的電位，在數(shù)值上等于單位正電荷在該點(diǎn)所具有的電位能，因此，電位永遠(yuǎn)逆著電力線方向升高。６、 （1）將初速度為零的電子放在電場中時，在電場力作用下，這電子是向電場中高電位處跑還是向低電位處跑？為什么？（2）說明無論對正負(fù)電荷來說，僅在電場力作用下移動時，電荷總是從電位能高處移向電位能低處。答：（１）電子帶負(fù)電，被電場加速，逆著電力線方向運(yùn)動，而電場中各點(diǎn)的電位永遠(yuǎn)逆著電力線方向升高--電子向高電位處移動。（２）若電子初速度為零，無論正負(fù)電荷，單在電場力作用下移動，電場力方向與位移方向總是一致的，電場力作正功，電位能減少，所以電荷總是從電位能高處向電位能低處移動。７、 可否規(guī)定地球的電位為+100伏，而不規(guī)定它為零？這樣規(guī)定后，對測量電位、電位差的數(shù)值有什么影響？答：可以。因?yàn)殡娢涣泓c(diǎn)的選擇是任意的，假如選取地球的電位是100V而不是0V，測量的電位等于以地為零電位的數(shù)值加上100V，而對電位差無影響。８、 若甲、乙兩導(dǎo)體都帶負(fù)電，但甲導(dǎo)體比乙導(dǎo)體電位高，當(dāng)用細(xì)導(dǎo)線把二者連接起來后，試分析電荷流動的情況。答：在電場力作用下，電荷總是從電位能高處向電位能低處移動。負(fù)電荷由乙流向甲，直至電位相等。９、 在技術(shù)工作中有時把整機(jī)機(jī)殼作為電位零點(diǎn)。若機(jī)殼未接地，能不能說因?yàn)闄C(jī)殼電位為零，人站在地上就可以任意接觸機(jī)殼？若機(jī)殼接地則如何？答：把整機(jī)機(jī)殼作為零電位是對機(jī)上其他各點(diǎn)電位而言，并非是對地而言。若機(jī)殼未接地，它與地之間可能有一定的電位差，而人站在地上，與地等電位，這時人與機(jī)殼接觸，就有一定電位差加在人體上。當(dāng)電壓較高時，可能造成危險，所以一般機(jī)殼都要接地，這樣人與機(jī)殼等電位，人站在地上可以接觸機(jī)殼。１０、 （1）場強(qiáng)大的地方，是否電位就高？電位高的地方是否場強(qiáng)大？（２） 帶正電的物體的電位是否一定是正的？電位等于零的物體是否一定不帶電？（３） 場強(qiáng)為零的地方，電位是否一定為零？電位為零的地方，場強(qiáng)是否一定為零？（４） 場強(qiáng)大小相等的地方電位是否相等？等位面上場強(qiáng)的大小是否相等？以上各問題分別舉例說明之。答：（１） 不一定。E僅與電勢的變化率有關(guān)，場強(qiáng)大僅說明U的變化率大，但U本身并不一定很大。例如平行板電容器，B板附近的電場可以很強(qiáng)，但電位可以很低。同樣電位高的地方，場強(qiáng)不一定大，因?yàn)殡娢桓卟灰欢娢坏淖兓蚀?。如平行板電容器A板的電位遠(yuǎn)高于B板電位，但A板附近場強(qiáng)并不比B板附近場強(qiáng)大。（２） 當(dāng)選取無限遠(yuǎn)處電位為零或地球電位為零后，孤立的帶正電的物體電位恒為正，帶負(fù)電的物體電位恒為負(fù)。但電位的正負(fù)與零電位的選取有關(guān)。假如有兩個電位不同的帶正電的物體，將相對于無限遠(yuǎn)電位高者取作零電位，則另一帶電體就為負(fù)電位，由引可說明電位為零的物體不一定不帶電。（３） 不一定。場強(qiáng)為零僅說明U的變化率為零，但U本身并不一定為零。例如兩等量同號電荷的連線中點(diǎn)處，E=0而U≠0。U為零時，U的變化率不一定為零，因此E也不一定為零。例如兩等量異號電荷的連線中點(diǎn)處，U=0而E≠0（４） 場強(qiáng)相等的地方電位不一定相等。例如平行板電容器內(nèi)部，E是均勻的，但U并不相等。等位面上場強(qiáng)大小不一定相等。如帶電導(dǎo)體表面是等位面，而表面附近的場強(qiáng)與面電荷密度及表面曲率有關(guān)。１１、 兩個不同電位的等位面是否可以相交？同一等位面是否可以與自身相交？答：在零電位選定之后，每一等位面上電位有一確定值，不同等位面U值不同，故不能相交。同一等位面可與自身相交。如帶電導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)為零，電位為一常量，在導(dǎo)體內(nèi)任意作兩個平面或曲面讓它們相交，由于其上各點(diǎn)的電位都相同，等于導(dǎo)體的電位，這種情況就屬于同一等位面自身相交。習(xí)題：１、 在夏季雷雨中，通常一次閃電里兩點(diǎn)間的電位差約為100MV（十億伏特），通過的電量約為30C。問一次閃電消耗的能量是多少？如果用這些能量來燒水，能把多少水從00C加熱到1000C？解：一次閃電消耗的能量為W=QU=30×109=3×1010（J）所求的水的質(zhì)量為M=W/J=72（t）２、 已知空氣的擊穿場強(qiáng)為2×106V/m,測得某次閃電的火花長100米，求發(fā)生這次閃電時兩端的電位差。解：U=2×106×100=2×108（V）３、 證明：在真空靜電場中凡是電力線都是平行直線的地方，電場強(qiáng)度的大小必定處處相等；或者凡是電場強(qiáng)度的方向處處相同的地方，電場強(qiáng)度的大小必定處處相等。證明：在電場中作任意矩形閉合回路abcd，移動電荷q一周，電場力作功為４、 求與點(diǎn)電荷q=1.0×10-6C分別相距為a=1.0m和b=2.0m的兩點(diǎn)間的電位差。解：５、 一點(diǎn)電荷q在離它10厘米處產(chǎn)生的電位為100V，求q。解：６、 求一對等量同號電荷聯(lián)線中點(diǎn)的場強(qiáng)和電位，設(shè)電荷都是q,兩者之間距離為2l.解：７、 求一對等量異號電荷聯(lián)線中點(diǎn)的場強(qiáng)和電位，設(shè)電荷分別是±q,兩者之間距離為2l.解：８、 如圖所示，AB=2l,OCD是以B為中心，l為半徑的半圓，A點(diǎn)有正點(diǎn)電荷+q，B點(diǎn)有負(fù)點(diǎn)電荷-q。（１） 把單位正電荷從O點(diǎn)沿OCD移到D點(diǎn)，電場力對它作了多少功？（２） 把單位負(fù)電荷從D點(diǎn)沿AB的延長線移到無窮遠(yuǎn)去，電場力對它作了多少功？解：電荷在電場中移動時，電場力作功等于電勢能減少的值。（1）（2）９、 兩個點(diǎn)電荷的電量都是q，相距為l，求中垂面上到兩者聯(lián)線中點(diǎn)為x處的電位。解：根據(jù)電勢的疊加原理１０、 有兩個異號點(diǎn)電荷me和-e(n>1),相距為a,（１） 證明電位為零的等位面是一個球面；（２） 證明球心在這兩個點(diǎn)電荷的延長線上，且在-e點(diǎn)電荷的外邊；（３） 這球的半徑是多少？解：以-e為原點(diǎn)O，兩電荷的聯(lián)線為x軸，取坐標(biāo)系如圖所示。根據(jù)電勢疊加原理，空間任一點(diǎn)的電勢為１１、 求電偶極子p=ql電位的直角坐標(biāo)表達(dá)式，并用梯度求出場強(qiáng)的直角分量表達(dá)式。解：（1）取坐標(biāo)系如圖所示，根據(jù)電勢疊加原理當(dāng)r>>l時，（2）由電勢梯度求得場強(qiáng)為１２、 證明如圖所示電四極子在它的軸線延長線上的電位為，并由梯度求場強(qiáng)。解：取坐標(biāo)系如圖所示，根據(jù)電勢的疊加原理１３、 一電四極子如圖所示，證明：當(dāng)r>>l時，它在P（r,θ）點(diǎn)產(chǎn)生的電位為圖中的極軸通過正方形中心O點(diǎn)，且與一邊平行。解：（1）根據(jù)電勢疊加原理當(dāng)r>>l時，（2）由電勢梯度求場強(qiáng)此題也可以將平面電四極子當(dāng)作兩個電偶極子，由電偶極子產(chǎn)生的電勢疊加求U及E。１４、 求均勻帶電圓環(huán)軸線上電位的分布，并畫U-x曲線。解：（1）P點(diǎn)的電勢及場強(qiáng)為（2）由電勢表達(dá)式得因此得U-x曲線為１５、 求均勻帶電圓面軸線上的電位分布，并畫U-x曲線。解：（1）利用上題結(jié)果，求得電位及場強(qiáng)分布為（2）由電勢表達(dá)式得U-X曲線如圖所示１６、 求兩個均勻帶電的同心球面在三個區(qū)域內(nèi)的電位分布，并畫U-r曲線。解：（1）已知均勻帶電球面產(chǎn)生的電場中電位的分布為由電勢疊加原理可知：（2）U-r曲線如圖所示１７、 在上題中，保持內(nèi)球上電量Q1不變，當(dāng)外球電量Q2改變時，試討論三個區(qū)域內(nèi)的電位有何變化？兩球面之間的電位差有何變化？解：保持Q1不變，當(dāng)外球電量Q2變化時，各區(qū)域電位隨之變化１８、 求均勻帶電球體的電位分布。并畫U-x曲線。解：（1）由高斯定理可求得場強(qiáng)分布為（2）由場強(qiáng)求得電勢為（3）U-r曲線如圖所示１９、 金原子核可當(dāng)作均勻帶電球，半徑約為6.9×10-15米，電荷為Ze=79×1.6×10-19C,求它表面上的電位。解：２０、 （1）一質(zhì)子（電荷為e=1.6×10-19C,質(zhì)量為1.67×10-27kg）,以1.2×102m/s的初速從很遠(yuǎn)的地方射向金原子核，求它能達(dá)到金原子核的最近距離。（2）α粒子的電荷為2e，質(zhì)量為6.7×10-27kg,以1.6×102m/s的初速度從很遠(yuǎn)的地方射向金原子核，求它能達(dá)到金原子核的最近距離。解：由能量守恒定律得（1）（2）21、在氫原子中，正常狀態(tài)下電子到質(zhì)子的距離為5.29×10-11m,已知?dú)湓雍耍ㄙ|(zhì)子）和電子帶電各為±e。把氫原子中的電子從正常狀態(tài)下離核的最近距離拉開到無窮遠(yuǎn)處所需的能量，叫做氫原子核的電離能。求此電離能是多少電子伏和多少焦耳。解：設(shè)電子的質(zhì)量為m，速度為v,氫原子基態(tài)的能量為負(fù)號是因?yàn)?，以電子和質(zhì)子相距無窮遠(yuǎn)時為電勢能的零點(diǎn)，要把基態(tài)氫原子的電子和質(zhì)子分開到相距無窮遠(yuǎn)處，需要外力做功。這功的最小值便等于氫原子的電離能量EE=-W=-13.6eV一摩爾氫原子的電離能量為Emol=NAE=8.19eV=1.31×106(J)22、輕原子核（如氫及其同位素氘、氚的原子核）結(jié)合成為較重原子核的過程，叫做核聚變。核聚變過程可以釋放出大量能量。例如，四個氫原子核（質(zhì)子）結(jié)合成一個氦原子核（α粒子）時，可釋放出28MeV的能量。這類核聚變就是太陽發(fā)光、發(fā)熱的能量來源。如果我們能在地球上實(shí)現(xiàn)核聚變，就可以得到非常豐富的能源。實(shí)現(xiàn)核聚變的困難在于原子核都帶正電，互相排斥，在一般情況下不能互相靠近而發(fā)生結(jié)合。只有在溫度非常高時，熱運(yùn)動的速度非常大，才能沖破庫侖排斥力的壁壘，碰到一起發(fā)生結(jié)合。這叫做熱核反應(yīng)。根據(jù)統(tǒng)計物理學(xué)，絕對溫度為T時，粒子的平均平動動能為，k=1.38×10-23J/K.試計算：（１） 一個質(zhì)子以怎樣的動能（以eV表示）才能從很遠(yuǎn)的地方達(dá)到與另一個質(zhì)子接觸的距離？（２） 平均熱運(yùn)動動能達(dá)到此數(shù)值時，溫度（以K表示）需為多少？解：（1）設(shè)兩個質(zhì)子迎頭相碰，碰撞時兩者中心距離為2r(2)實(shí)際上，由于量子力學(xué)的隧道效應(yīng)，使質(zhì)子不需要那么大的動能就可以穿過靜電壁壘而達(dá)到互相接觸，故發(fā)生熱核聚變所需的溫度可以低一些，據(jù)估算，108K即可。２３、在絕對溫度為T時，微觀粒子熱運(yùn)動能量具有KT的數(shù)量級。有時人們把能量KT折合成電子伏，就說溫度T為若干電子伏。問：（１） T=1eV相當(dāng)于多少開？（２） T=50keV相當(dāng)于多少開？（３） 室溫（T=300K）相當(dāng)于多少eV?解：（1）（2）（3）又如：太陽表面溫度約為6000K，T=0.52eV熱核反應(yīng)時溫度高達(dá)108K，T=8.6(keV)２４、電量q均勻地分布在長為2l的細(xì)直線上，求下列各處的電位U：（１） 中垂面上離帶電線段中心O為r處，并利用梯度求Er;（２） 延長線上離中心O為Z處，并利用梯度求EZ；（３） 通過一端的垂面上離該端點(diǎn)為r處，并利用梯度求Er.解：（１）中垂面上離中心為r1處，（２）延長線上離中心為r2處(3)端垂面上離該端為r3處，２５、如圖所示，電量q均勻地分布在長為2l的細(xì)直線上，（１） 求空間任一點(diǎn)P（r,z）的電位U(0<r<+∞,-∞<z<∞);（２） 利用梯度求任一點(diǎn)P（r,z）的場強(qiáng)分量Er和EZ;（３） 將所得結(jié)果與上題中的特殊位置相比較。解：(１)在圖示坐標(biāo)系中，（２）由電勢梯度求場強(qiáng)（３）與上題比較：r＝r1,z=0時,得中垂面上任一點(diǎn)的電位與場強(qiáng)r=0,Z=r2時，得延長線上任一點(diǎn)的電位與場強(qiáng)r＝r3,Z=|l|時，得端面上任一點(diǎn)的電位與場強(qiáng)２６、一無限長直線均勻帶電，線電荷密度為η，求離這線分別為r1和r±兩點(diǎn)的兩點(diǎn)之間的電位差。解：２７、如附圖所示，兩條均勻帶電的無限長平行直線（與圖紙垂直），電荷的線密度分別為±η，相距為2a。求空間任一點(diǎn)P（x,y）的電位。解：?。宵c(diǎn)為電勢零點(diǎn)時，空間任一點(diǎn)的電勢為兩無限長帶電線電勢的疊加若以無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，一條無限長帶電線所產(chǎn)生的電勢是無窮大，但兩條無限長帶等量異號電荷的直線產(chǎn)生的電勢是有限值，因?yàn)閱挝婚L度的電荷量大小相等而符號相反，結(jié)果電勢在相加時，消去無窮大，而成為有限值。２８、證明在上題中電位為U的等位面是半徑為的圓筒面，筒的軸線與兩直線共面，位置在處，其中。Ｕ＝０的等位面是什么形狀？解：P點(diǎn)的電勢為由于對稱性，U與z無關(guān)。為方便，令，在三維空間，這是一個圓柱同，軸線在z-x平面內(nèi)并與Z軸平行，位置在處，其半徑為。U=0的等位面為X=0的Y-Z平面。２９、求兩無限長共軸圓筒間的電勢分布和兩筒間的電位差（設(shè)），并畫出Ｕ-r曲線。解：根據(jù)高斯定理可求得兩筒間的電場強(qiáng)度為３０、求無限長直圓柱體的電位分布（以軸線為參考點(diǎn)，設(shè)它電位為零）。解：由高斯定理可求得圓柱體內(nèi)的場強(qiáng)分布為３１、求電荷密度為的無限長等離子體柱的電勢分布（以軸線為參考點(diǎn)，設(shè)它的電位為零）解：由高斯定理可求得場強(qiáng)分布為以軸線為電勢零點(diǎn)，其電位分布為３２、一電子二極管由半徑a=0.50mm的圓柱形陰極Ｋ和套在陰極外同軸圓筒形的陽極Ａ構(gòu)成，陽極半徑Ｒ＝0.45cm。陽極電位比陰極電位高３００Ｖ。設(shè)電子從陰極發(fā)射出來時速度很小，可忽略不計。求：（１） 電子從Ｋ向Ａ走過2.0mm時的速度；（２） 電子到達(dá)Ａ?xí)r的速度。解：設(shè)離陰極K的軸線為r處的電勢為U，則３３、如圖所示，一對均勻、等量異號的平行帶電平面。若其間距離d遠(yuǎn)小于帶電平面的線度時，這對帶電面可看成是無限大的。這樣的模型可叫做電偶極層。求場強(qiáng)和電位沿垂直兩平面的方向x的分布，并畫出Ｅ-x曲線和Ｕ-x曲線（取離兩平面等距的Ｏ點(diǎn)為參考點(diǎn)，令該處的電位為零）。解：由高斯定理可求得電偶極層內(nèi)部電偶極層外部以O(shè)點(diǎn)為電勢的參考點(diǎn)Ｅ－x曲線為Ｕ－x曲線為３４、證明半導(dǎo)體突變型p-n結(jié)內(nèi)的電位分布為n區(qū),p區(qū)這公式是以哪里作為電位參考點(diǎn)的？p-n結(jié)兩側(cè)的電位差是多少？解：n區(qū)p區(qū)以交界面處為電勢的零點(diǎn)。P-n結(jié)兩側(cè)的電勢差為３５、證明半導(dǎo)體線性緩變p-n結(jié)內(nèi)的電位分布為這公式是以哪里作為電位參考點(diǎn)的？p-n結(jié)兩側(cè)的電位差是多少？解：（１）此電位是以Ｏ點(diǎn)為參考點(diǎn)的。（２）p-n結(jié)兩側(cè)的電位差為３６、在示波管中，若已知的不是偏轉(zhuǎn)電極間的場強(qiáng)Ｅ，而是兩極板間的距離d=1.0cm和電壓１２０伏，其余尺寸相同。求偏轉(zhuǎn)距離y和y′.解：示波器內(nèi)部（與§２習(xí)題１６結(jié)果相同）３７、電視顯象管的第二和第三陽極是兩個直徑相同的同軸金屬圓筒。兩電極間的電場即為顯象管中的主聚焦電場。圖中所示為主聚焦電場中的等位面，數(shù)字表示電位值。試用直尺量出管軸上各等位面間的距離，并求出相應(yīng)的電場強(qiáng)度。解：用直尺量出管軸上各等位面間的距離根據(jù)可求出各等位間的電場強(qiáng)度--場強(qiáng)分布是非均勻電場，但具有對稱性。從左至右各等位面間的場強(qiáng)分布為（單位：伏／米）4.449.0922.2233.3350665033.3322.229.094.44３８、帶電粒子經(jīng)過加速電壓加速后，速度增大。已知電子的質(zhì)量為,電荷絕對值為（１） 設(shè)電子質(zhì)量與速度無關(guān)，把靜止電子加速到光速c=3×108m/s要多高的電壓？（２） 對于高速運(yùn)動的物體來說，上面的算法不對，因?yàn)楦鶕?jù)相對論，物體的動能不是，而是。按照這公式，靜止電子經(jīng)過上述電壓加速后，速度v是多少？它是光速c的百分之幾？（３） 按照相對論，要把電子從靜止加速到光速，需要多高的電壓？這可能嗎？解：（１）根據(jù)能量守恒定律（２）對于高速運(yùn)動的物體，根據(jù)能量守恒定律（３）根據(jù)所需電壓為因此，根據(jù)狹義相對論，不可能把帶電粒子加速到光速。―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――§1.5帶電體系的靜電能思考題：１、 為什么在點(diǎn)電荷組相互作用能的公式中有因子１／２，而點(diǎn)電荷在外電場中的電位能公式Ｗ(P)＝qU(P)中沒有這個因子？答：在計算點(diǎn)電荷組的相互作用能時，每一對點(diǎn)電荷之間的相互作用能計算了兩兩次，所以求和公式中有因子１／２。點(diǎn)電荷在外電場中的電位能公式?jīng)]有重復(fù)計算。２、 在電偶極子的位能公式Ｗ＝－Ｐ·Ｅ中是否包括偶極子的正、負(fù)電荷間的相互作用能？答：公式中的電場是外電場，因此此位能不包括偶極子正負(fù)電荷之間的相互作用能。――――――――――――――――――――――――――――――――――――習(xí)題：１、 計算三個放在等邊三角形三個頂點(diǎn)的點(diǎn)電荷的相互作用能。設(shè)三角形的邊長為l，頂點(diǎn)上的點(diǎn)電荷都是q。解：根據(jù)點(diǎn)電荷組的相互作用能公式２、 計算上題三角形中心的電荷q′=處在其余頂點(diǎn)上三個電荷產(chǎn)生的外電場中的電位能。解：３、 求均勻帶電球體的電位能，設(shè)球的半徑為Ｒ，帶電總量為q。解：根據(jù)靜電能量公式４、 利用虛功概念計算電偶極子放在點(diǎn)電荷Ｑ的電場中時，偶極子所受的力和力矩。解：（１）P//QO時（２）Ｐ⊥QO時當(dāng)r與Ｐ成夾角θ時，５、 利用虛功概念證明：均勻帶電球殼在單位面積上受到的靜電排斥力為σ２／２ε０。解：均勻帶電球殼的自能為第一章結(jié)束靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)§2.1靜電場中的導(dǎo)體思考題：試想放在勻強(qiáng)外電場Ｅ０中的不帶電導(dǎo)體單獨(dú)產(chǎn)生的電場E′的電力線是什么樣子（包括導(dǎo)體內(nèi)和導(dǎo)體外的空間）。如果撤去外電場Ｅ０，E′的電力線還會維持這個樣子嗎？答：電場Eˊ的特征有：（1）靜電平衡時，在導(dǎo)體內(nèi)部，E0和Eˊ的矢量和處處為零。因此Eˊ的電力線在導(dǎo)體內(nèi)部是與E0反向的平行直線；（2）導(dǎo)體上的等量異號電荷，在離導(dǎo)體足夠遠(yuǎn)處激發(fā)的場，等效于一個電偶極子激發(fā)的場，因此其電力線也等效于電偶極子電場的電力線；（3）導(dǎo)體上電荷密度大的地方，電力線的數(shù)密度較大；（4）在導(dǎo)體表面附近，E0和Eˊ的矢量和的方向一定垂直于導(dǎo)體表面。因此，Eˊ的方向相對于E0一定位于表面法線的另一側(cè)。Eˊ的電力線分布如圖所示。值得注意的是，單獨(dú)考慮感應(yīng)電荷的場Eˊ時，導(dǎo)體并非等位體，表面也并非等位面，所以感應(yīng)電荷激發(fā)的場的電力線在外表面上會有一些起于正電荷而止于負(fù)電荷。如果撤去外電場E0，靜電平衡被破壞，，Eˊ的電力線不會維持這個樣子。最后Eˊ將因?qū)w上的正、負(fù)電荷中和而消失。無限大帶電面兩側(cè)的場強(qiáng)，這個公式對于靠近有限大小帶電面的地方也適用。這就是說，根據(jù)這個結(jié)果，導(dǎo)體表面元△S上的電荷在緊靠它的地方產(chǎn)生的場強(qiáng)也應(yīng)是，它比導(dǎo)體表面處的場強(qiáng)小一半。為什么？答：可以有兩種理解：（1）為了用高斯定理求場強(qiáng)，需作高斯面。在兩種情形下，通過此高斯面的電通量都是，但在前一種情況，由于導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)為零，通過位于導(dǎo)體內(nèi)部的底面的電通量為零，因而造成兩公式不同；（2）如果兩種情況面電荷密度相同，無限大帶電平面的電力線對稱地分布在帶電面兩側(cè)，而導(dǎo)體表面電力線只分布在導(dǎo)體外側(cè)，因此電力線的密度前者為后者的二分之一，故場強(qiáng)也為后者的二分之一。根據(jù)式，若一帶電導(dǎo)體面上某點(diǎn)附近電荷面密度為σ，這時該點(diǎn)外側(cè)附近場強(qiáng)為，如果將另一帶電體移近，該點(diǎn)的場強(qiáng)是否改變？公式是否仍成立？答：場強(qiáng)是所有電荷共同激發(fā)的。另一帶電體移近時，由于它的影響和導(dǎo)體上電荷分布的變化，該點(diǎn)的場強(qiáng)E要發(fā)生變化。當(dāng)達(dá)到靜電平衡時，因?yàn)楸砻娓浇膱鰪?qiáng)總與導(dǎo)體表面垂直，應(yīng)用高斯定理，可以證明仍然成立，不過此時的σ是導(dǎo)體上的電荷重新分布后該點(diǎn)的電荷密度。把一個帶電物體移近一個導(dǎo)體殼，帶電體單獨(dú)在導(dǎo)體空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場是否等于零？靜電屏蔽效應(yīng)是怎樣體現(xiàn)的？答：帶電體單獨(dú)在導(dǎo)體空腔內(nèi)產(chǎn)生的場強(qiáng)不為零。靜電平衡的效應(yīng)表現(xiàn)在，這個場強(qiáng)與導(dǎo)體外表面感應(yīng)電荷激發(fā)的場強(qiáng)，在空腔內(nèi)的矢量和處處為零，從而使空腔內(nèi)的場不受殼外帶電體電場的影響。萬有引力和靜電力都服從平方反比定律，都存在高斯定理。有人幻想把引力場屏蔽起來，這能否作到？引力場和靜電力有什么重要差別？答：產(chǎn)生靜電平衡的關(guān)鍵，在于導(dǎo)體中存在兩種電荷，而且負(fù)電荷（電子）在電場力作用下能夠自由移動，因此在外電場作用下，能夠形成一附加電場，使得在導(dǎo)體殼內(nèi)總場強(qiáng)為零。引力場與此不同，引力場的源只有一種，因此在外部引力場的作用下不可能產(chǎn)生一附加引力場，使得物質(zhì)殼內(nèi)部的引力場處處為零，所以屏蔽引力場是不可能的。兩種場的重要差別在于：靜電場的源有兩種，相應(yīng)的電荷之間的作用力也有兩種，引力和斥力；引力場的源只有一種，相應(yīng)的物質(zhì)的引力相互作用只有一種引力。（1）將一個帶正電的導(dǎo)體A移近一個不帶電的絕緣導(dǎo)體B時，導(dǎo)體B的電位是升高還是降低？為什么？（2）試論證：導(dǎo)體B上每種符號感應(yīng)電荷的數(shù)量不多于A上的電量。答：（１）A移近時，B的電位將升高。因?yàn)閹щ婓wA移近時，B上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，靠近A的一邊感應(yīng)電荷為負(fù)，遠(yuǎn)離A的一邊為正。從A上正電荷發(fā)出的電力線，一部分終止于負(fù)的感應(yīng)電荷上，正的感應(yīng)電荷發(fā)出的電力線延伸至無限遠(yuǎn)，由于同一電力線其起點(diǎn)的電位總是高于終點(diǎn)的電位，若選取無限遠(yuǎn)處的電位為零，則正的感應(yīng)電荷所在處（導(dǎo)體Ｂ）的電位大于零。靜電平衡時，導(dǎo)體Ｂ為等位體，因此整個導(dǎo)體Ｂ的電位大于零，而在Ａ未移近之前，Ｂ的電位為零?？梢姡?dāng)Ａ移近時，Ｂ的電位升高了。（２）從A上正電荷發(fā)出的電力線，一部分終止于Ｂ上，其余延伸至無限遠(yuǎn)處，因此Ｂ上的負(fù)電荷電量小于Ａ上的正電荷電量，且Ｂ上感應(yīng)電荷總是等量異號的，所以Ｂ導(dǎo)體上每種電荷的電量均少于Ａ上的電荷。將一個帶正電的導(dǎo)體A移近一個接地的導(dǎo)體B時，導(dǎo)體B是否維持零電位？其上是否帶電？答：導(dǎo)體B與大地等電位，電位仍為零。不論B導(dǎo)體原來是否帶電，由于A所帶電荷的符號、大小和位置的影響，B將帶負(fù)電。一封閉的金屬殼內(nèi)有一個帶電量 q的金屬物體。試證明：要想使這金屬物體的電位與金屬殼的電位相等，唯一的辦法是使q=0。這個結(jié)論與金屬殼是否帶電有沒有關(guān)系？答：若q≠0，金屬殼的電位與帶電金屬物體的電位不等。應(yīng)用高斯定理可證明，金屬殼內(nèi)表面上帶負(fù)電，電量為-q,從帶電的金屬物體上發(fā)出的電力線終止于金屬殼的內(nèi)表面上，因此帶電金屬物體的電位高于金屬殼的電位。反之，若q=0，金屬殼和金屬物體之間無電場，電荷從它們中的一個移向另一個的過程中，沒有電場力做功，所以它們之間無電位差。由于靜電屏蔽效應(yīng)，金屬殼帶電與否，不會影響金屬殼表面上所包圍區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)和電位差，所以，金屬殼是否帶電對以上證明的結(jié)論沒有影響。有若干個互相絕緣的不帶電導(dǎo)體Ａ、B、C、…，它們的電位都是零。如果把其中任一個如A帶上正電，證明：所有這些導(dǎo)體的電位都高于零；其他導(dǎo)體的電位都低于A的電位。答：（１）與６題解釋相同。當(dāng)選無限遠(yuǎn)處電位為零時，一個不帶電的絕緣導(dǎo)體附近放入一個帶正電的物體時，這個導(dǎo)體的電位將升高。因此電位不為零的帶正電絕緣導(dǎo)體Ａ將使Ｂ、Ｃ、…的電位高于零。（２）由Ａ發(fā)出的電力線總有一部分終止在其他各導(dǎo)體的負(fù)的感應(yīng)電荷上，由于電力線指向電位降低的方向，所以其他導(dǎo)體的電位都會低于Ａ的電位。兩導(dǎo)體上分別帶有電量-q和2q,都放在同一個封閉的金屬殼內(nèi)。證明：電荷為+2q的導(dǎo)體的電位高于金屬殼的電位。答：應(yīng)用高斯定理可證明，金屬殼內(nèi)表面的感應(yīng)電荷為－q。從電荷２q的導(dǎo)體表面發(fā)出的電力線將有一部分終止于金屬殼內(nèi)表面的負(fù)電荷上，根據(jù)電力線起點(diǎn)電位高于終點(diǎn)電位的性質(zhì)，電荷為２q的導(dǎo)體的電位高于金屬殼的電位。一封閉導(dǎo)體殼Ｃ內(nèi)有一些帶電體，所帶電量分別為q1、q2、…，Ｃ外也有一些帶電體，所帶電量分別為Ｑ1、Ｑ2、…。問：（１）q1、q2、…的大小對Ｃ外電場強(qiáng)度和電位有無影響？（２）當(dāng)q1、q2、…的大小不變時，它們的分布形狀對Ｃ外的電場強(qiáng)度和電位影響如何？（３）Ｑ1、Ｑ2、…的大小對Ｃ內(nèi)的電場強(qiáng)度和電位有無影響？（４）當(dāng)Ｑ1、Ｑ2、…的大小不變時，它們的分布形狀對Ｃ內(nèi)的電場強(qiáng)度和電位影響如何？答：（１）有影響。殼內(nèi)電荷在殼的外表面產(chǎn)生等量同號的感應(yīng)電荷，這些感應(yīng)電荷將要影響殼外的電場強(qiáng)度和電位。（２）沒有影響。腔內(nèi)帶電體上發(fā)出的電力線全部終止于內(nèi)表面的等量異號的感應(yīng)電荷上，空腔內(nèi)電荷分布發(fā)生變化時，內(nèi)表面上感應(yīng)電荷的分布也隨之發(fā)生變化，但力線不穿過導(dǎo)體殼，因此只要腔內(nèi)帶電體的總電量不變，導(dǎo)體殼外表面的電荷量就一定，而這些電荷的分布狀態(tài)僅取決于外表面的形狀。形狀一定，電荷分布就一定，殼外電場和相對于殼外任意點(diǎn)的電位也就一定。（３）對Ｃ內(nèi)的電場強(qiáng)度無影響，對電位有影響，但對兩點(diǎn)之間的電位差無影響。因?yàn)橥饷骐姾傻膱鰪?qiáng)與導(dǎo)體殼上感應(yīng)電荷的場強(qiáng)在腔內(nèi)的矢量和處處為零，因此外部電荷對腔內(nèi)的電場強(qiáng)度沒有影響，因而對Ｃ內(nèi)兩點(diǎn)之間的電位差也無影響。但是導(dǎo)體殼相對于殼外任意點(diǎn)的電位要受殼外電場，即殼外電荷大小的影響，而腔內(nèi)各點(diǎn)的電位與導(dǎo)體殼的電位有關(guān)，所以腔內(nèi)的電位受外部電荷大小的影響。（４）對Ｃ內(nèi)的場強(qiáng)無影響，對電位差也沒有影響，但對電位有影響。理由同上。若上題中Ｃ接地，情況如何？答：當(dāng)Ｃ接地時，導(dǎo)體殼內(nèi)和導(dǎo)體殼外將不發(fā)生任何互相影響。（１）一個孤立導(dǎo)體球帶電Ｑ，其表面場強(qiáng)沿什么方向？Ｑ在其表面上的分布是否均勻？其表面是否等電位？電位有沒有變化？導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)Ｐ的場強(qiáng)是多少？為什么？當(dāng)把另一帶電體移近這個導(dǎo)體球時，球表面場強(qiáng)沿什么方向？其上的電荷分布是否均勻？其表面是否等電位？電位有沒有變化？導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)Ｐ的場強(qiáng)有無變化？為什么？答：（１）一個孤立帶電導(dǎo)體球，其表面場強(qiáng)必與表面垂直，即沿半徑方向，否則不會處于靜電平衡狀態(tài)。場的分布具有球?qū)ΨQ性，球面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度數(shù)值相同，根據(jù)，球面上各點(diǎn)的電荷密度也相同，即電荷分布是均勻的。既然場強(qiáng)總是垂直于球面，所以球面是等位面。導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)Ｐ的場強(qiáng)為零。（２）當(dāng)把另一帶電體移近時，達(dá)到靜電平衡后，球面的場強(qiáng)仍與表面垂直，否則將不會處于靜電平衡狀態(tài)。這時，場的分布不再具有球?qū)ΨQ性，球面附近各點(diǎn)的場強(qiáng)數(shù)值不同，因而電荷分布不是均勻的。既然導(dǎo)體表面處的場強(qiáng)仍處處垂直于導(dǎo)體表面，故表面仍為等位面。導(dǎo)體球的電位將升高。導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)Ｐ的場強(qiáng)仍為零。１４、（１）在兩個同心導(dǎo)體球Ｂ、Ｃ的內(nèi)球上帶電Ｑ，Ｑ在其表面上的分布是否均勻？（２）當(dāng)從外邊把另一帶電體Ａ移近這一對同心球時，內(nèi)球Ｃ上的電荷分布是否均勻？為什么？答：（１）具有球?qū)ΨQ性，Ｑ在內(nèi)球的表面上分布是均勻的。（２）Ａ的移近使外球的外表面上感應(yīng)出等量異號的感應(yīng)電荷，但內(nèi)部的電場不受Ａ的影響，仍具有球?qū)ΨQ性，內(nèi)球上的電荷分布仍是均勻的。１５、兩個同心球狀導(dǎo)體，內(nèi)球帶電Ｑ，外球不帶電，試問：（１）外球內(nèi)表面電量Ｑ１＝？外球外表面電量Ｑ２＝？（２）球外Ｐ點(diǎn)總場強(qiáng)是多少？Ｑ２在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)是多少？Ｑ是否在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)？Ｑ１是否在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生場？如果外面球殼接地，情況有何變化？答：（１）外球內(nèi)表面電量Ｑ１＝－Ｑ；外球外表面電量Ｑ２＝Ｑ。（２）設(shè)球外Ｐ點(diǎn)到球心的距離為r,則Ｐ點(diǎn)的總場強(qiáng)為。（３）Ｑ２在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)是。Ｑ和Ｑ１都要在Ｐ點(diǎn)激發(fā)電場，不過，其場強(qiáng)的矢量和為零。如果外面球殼接地，則Ｑ２＝０，仍有Ｑ１＝－Ｑ，Ｐ點(diǎn)的場強(qiáng)為零。１６、在上題中當(dāng)外球接地時，從遠(yuǎn)處移來一個帶負(fù)電的物體，內(nèi)、外兩球的電位增高還是降低？兩球間的電場分布有無變化？答：這時，內(nèi)外兩球的電位即不增高也不降低，外球仍與大地等電位。由于靜電屏蔽效應(yīng)，兩球間的電場分布沒有變化。１７、在上題中若外球不接地，從遠(yuǎn)處移來一個帶負(fù)電的物體，內(nèi)、外兩球的電位增高還是降低？兩球間的電場分布有無變化？兩球間的電位差有無變化？答：這時，內(nèi)外兩球的電位要降低。由于靜電屏蔽效應(yīng)，兩球間的電場無變化，兩球間各點(diǎn)相對于地的電位要變化。因?yàn)槊奎c(diǎn)的電位與外殼的電位有關(guān)。但是，任意兩點(diǎn)之間的電位差沒有變化，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間的電位差只由場強(qiáng)分布決定，場強(qiáng)分布不變時，電位差不變。Q2···qrAq1q2１８、如圖所示，在金屬球Ａ內(nèi)有兩個球形空腔。此金屬球整體上不帶電。在兩空腔中心各放置一點(diǎn)電荷q1和q2。此外在金屬球Ａ之外遠(yuǎn)處放置一點(diǎn)電荷q(q至Ａ的中心距離r>>Q2···qrAq1q2答：電荷q1在其所在空腔內(nèi)壁上感應(yīng)出－q1的電荷，在Ａ的外表面上感應(yīng)出＋q1的電荷；q2在其所在空腔內(nèi)壁上感應(yīng)出－q２的電荷，在Ａ的外表面上感應(yīng)出＋q２的電荷；因此Ａ的外表面上感應(yīng)電荷的總電量為q1＋q２。(r>>R，q在球面上的感應(yīng)電荷不計)q1和－q1在空腔外產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和為零，因此，它們對Ａ球面上的電荷q1＋q２以及電荷q、q２沒有作用力。同樣，q２和－q２也是如此。電荷q和Ａ球面上的電荷q1＋q２由于靜電屏蔽效應(yīng)，對q1和q２也沒有作用力。由于q至Ａ球中心的距離r>>R,電荷q和Ａ球面上的電荷q1＋q２的相互作用，可看作兩個點(diǎn)電荷之間的相互作用，相互作用力滿足庫侖定律。力的大小為，方向在沿著q和Ａ球心的連線上。q1和q２之間沒有相互作用力，因?yàn)樗鼈兏髯园l(fā)出的電力線全部終止在自己所在的空腔內(nèi)表面上。q1只受其所在腔壁上－q1作用，由于對稱性，作用力相互抵消為零。同樣q２所受到的作用力也為零。１９、在上題中取消r>>R的條件，并設(shè)兩空腔中心的間距為a,試寫出：（１）q給q1的力；（２）q２給q的力；（３）q1給Ａ的力；（４）q1受到的合力。答：（１）電荷之間的相互作用力與其他物質(zhì)或電荷是否存在無關(guān)，所以點(diǎn)電荷q給點(diǎn)電荷q1的作用力為（２）同理q２給q的力（３）q1給Ａ的力Ｆ＝０（Ａ所帶總電量為零，等量異號電荷分布具有軸對稱性）q1受到的合力為零。因?yàn)樗芰Πㄋ牟糠帧皇强涨粌?nèi)表面上與其等量異號的感應(yīng)電荷對其的作用力，由于感應(yīng)電荷均勻分布于內(nèi)球面上，由對稱性可知Ｆ１＝０；二是q2及其空腔內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷－q2對其的作用力，－q2在內(nèi)表面上的分布也是均勻的，q2及－q2對q1的作用力Ｆ２＝０；三是Ａ球外表面感應(yīng)電荷q1＋q２對其作用，q1＋q２均勻分布于Ａ球面上，在導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生的場強(qiáng)為零，所以作用力四是q及Ａ上感應(yīng)電荷對其作用。導(dǎo)體外表面上感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的場正好與引起它的電荷在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的電場互相抵消，使得導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)處處為零，所以合力Ｆ４＝０。２０、（１）若將一個帶正電的金屬小球移近一個絕緣的不帶電導(dǎo)體時，小球受到吸引力還是排斥力？（２）若小球帶負(fù)電，情況將如何？（３）若當(dāng)小球在導(dǎo)體近旁（但未接觸）時，將導(dǎo)體遠(yuǎn)端接地，情況如何？（４）若將導(dǎo)體近端接地，情況如何？（５）若導(dǎo)體在未接地前與小球接觸一下，將發(fā)生什么變化？（６）若將導(dǎo)體接地，小球與導(dǎo)體接觸一下后，將發(fā)生什么變化？＋答：（１）導(dǎo)體在靠近小球一端感應(yīng)電荷為負(fù)電荷，小球受吸引力；＋＋（２）若小球帶負(fù)電，導(dǎo)體在靠近小球一端感應(yīng)電荷為正電荷，小球仍受吸引力；＋（３）導(dǎo)體遠(yuǎn)端接地時，導(dǎo)體整體帶負(fù)電，小球所受力為吸引力；（４）導(dǎo)體近端接地時，導(dǎo)體仍帶負(fù)電，小球所受力為吸引力；導(dǎo)體在未接地前與小球接觸一下，導(dǎo)體也帶正電，小球受到排斥力；導(dǎo)體接地，小球與導(dǎo)體接觸后，所有電荷將通過導(dǎo)體流入大地，小球與導(dǎo)體均不帶電，因此小球與導(dǎo)體之間沒有相互作用力。２１、（１）將一個帶正電的金屬小球Ｂ放在一個開有小孔的絕緣金屬殼內(nèi)，但不與接觸。將另一帶正電的試探電荷Ａ移近時，Ａ將受到吸引力還是排斥力？若將小球Ｂ從殼內(nèi)移去后，Ａ將受到什么力？（２）若使小球Ｂ與金屬殼內(nèi)部接觸，Ａ受什么力？這時再將小球Ｂ從殼內(nèi)移去，情況如何？（３）使小球不與殼接觸，但金屬殼接地，Ａ將受什么力？將接地線拆掉后，又將小球Ｂ從殼內(nèi)移去，情況如何？（４）如情形（３），但先將小球從殼內(nèi)移去后再拆除接地線，情況與（３）相比有何不同？＋Ａ＋＋Ａ＋＋ＡＢ＋＋＋＋ＡＢ（２）小球Ｂ與金屬殼內(nèi)部接觸，Ｂ的正電荷將分布在金屬殼的外表面，處于此電場中的Ａ將受到排斥力的作用。這時再將Ｂ從金屬殼內(nèi)移去，情況不變。＋＋＋＋ＡＢ將接地線拆掉后，又將Ｂ從殼內(nèi)移去，內(nèi)表面上的負(fù)電荷將分布在外表面上，最后結(jié)果是Ａ球所受的吸引力增大。（４）先將Ｂ移去再拆去地線，與（３）的最后結(jié)果相同，但引力大小不同。在（３）中，由于靜電平衡狀態(tài)下先拆掉地線，各部分電荷分布不變，再將Ｂ從殼內(nèi)移去，內(nèi)壁的負(fù)電荷轉(zhuǎn)移到外表面后不能入地，Ａ球受到的吸引力增大。在（４）中，先將Ｂ從殼內(nèi)移去，內(nèi)壁的負(fù)電荷轉(zhuǎn)移到外表面后，全部從接地線入地，靜電平衡后再拆去地線，Ａ球受到的吸引力將不增加。２２、在一個孤立導(dǎo)體球殼的中心放一個點(diǎn)電荷，球殼內(nèi)、外表面上的電荷分布是否均勻？如果點(diǎn)電荷偏離球心，情況如何？答：電荷放在球心，由于球?qū)ΨQ性，球殼內(nèi)、外表面上的電荷分布是均勻的。如果點(diǎn)電荷偏離球心，力線不是從球心出發(fā)，但在內(nèi)表面附近，又必須垂直于球殼的內(nèi)表面，所以球殼內(nèi)的場強(qiáng)分布不再具有球?qū)ΨQ性，球殼內(nèi)表面上的電荷分布不再均勻。但是，點(diǎn)電荷發(fā)出的電力線終止在內(nèi)表面上，不影響球殼外部，因此，球殼外表面的電荷仍然按外表面的形狀均勻分布。２３、如圖所示，金屬球置于兩金屬板間，板間加以高壓，則可看到球與板間放電的火花。若再在下面板上金屬球旁放一等高度的尖端金屬，問放電火花將如何變化？想一想這現(xiàn)象可有何應(yīng)用？答：若在下面板上金屬球旁放一等高的尖端金屬，則球和上板之間不再出現(xiàn)放電火花，火花只出現(xiàn)在尖端金屬與上板之間。這是由于導(dǎo)體尖端處面電荷密度大，附近的場強(qiáng)特別強(qiáng)，使得空氣易于在金屬尖端和上板之間被擊穿而發(fā)生火花放電。上述現(xiàn)象說明，曲率半徑小的尖端比曲率半徑大的表面易于放電。利用這種現(xiàn)象可以做成避雷針，避免建筑物遭受雷擊；讓高壓輸電線表面作得很光滑，其半徑不要過小，避免尖端放電而損失能量；高壓設(shè)備的電極作成光滑球面，避免尖端放電而漏電，以維持高電壓等。------------------------------------------------------------------------------------------------------------------習(xí)題：＋＋＋＋＋＋＋＋－－－－－＋＋＋＋＋＋＋＋－－－－－－－－－σ－σAPBＡ板上的電荷在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度ＥＡ；Ｂ板上的電荷在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度ＥＢ；Ａ、Ｂ兩板上的電荷在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度Ｅ；若把Ｂ板拿走，Ａ板上電荷分布如何？Ａ板上的電荷在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為多少？解：略去邊緣效應(yīng)，兩極板上的電荷是均勻分布的電荷，兩極板間的電場是均勻電場。由對稱性和高斯定理可得（1）Ａ板上的電荷在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度（A板法線方向上的單位矢量，指向B板）；B板上的電荷在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度Ａ、B兩板上的電荷在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度Ｂ板拿走后，Ａ板上電荷將均勻分布在兩個表面上，面電荷密度減小為一半。在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為兩個表面上電荷產(chǎn)生場強(qiáng)的疊加，12342、證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板來說，1234相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反；相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同。若左導(dǎo)體板帶電+3微庫/米2，右導(dǎo)體板帶電+7微庫/米2，求四個表面上的電荷。1234σ1234σ1σ2σ3σ4作柱形高斯面如圖所示，由高斯定理得根據(jù)無限大帶電平面均勻電荷產(chǎn)生電場強(qiáng)度的公式和電場強(qiáng)度的疊加原理，導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)P的電場強(qiáng)度為應(yīng)用前述結(jié)果及電荷守恒定律解得：由此可知，當(dāng)Q1=Q2時，相向的兩面上無電荷分布，相背的兩面上電荷等量同號；當(dāng)Q1=-Q2時，相背的兩面上無電荷分布，相向的兩面上電荷等量異號。3、兩平行金屬板分別帶有等量的正負(fù)電荷。兩板的電位差為120V，兩板的面積都是3.6cm2,兩板相距1.6mm。略去邊緣效應(yīng)，求兩板間的電場強(qiáng)度和各板上所帶的電量。解：（1）兩板間電場看作均勻電場，兩板的電勢差為電場強(qiáng)度的方向由電勢高的板指向電勢低的板。（2）利用上題結(jié)果，相背的兩面上沒有電荷，相向的兩面上電荷面密度大小相等而符號相反。板上的電量為4、兩塊帶有等量異號電荷的金屬板a和b，相距5.0mm，兩板的面積均為150cm2,電量的大小都是2.66×10-8C,a板帶正電并接地。以地的電位為零，并略去邊緣效應(yīng)，問：1234σ11234σ1σ2σ3σ4aba、b間離a板1.0mm處的電位是多少？解：a、b兩板上的電荷都均勻分布在相向的兩面上，兩板間的電場強(qiáng)度為b板的電位為兩板之間離a板1.0mm處的電位是5、三平行金屬板A、B和C，面積都是200cm2,AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，BC兩板都接地。如果使A板帶正電3.0×10-7C，在略去邊緣效應(yīng)時，問B板和C板上感應(yīng)電荷各是多少？以地的電位為零，問A板的電位是多少？解：（1）BC兩板都接地，故兩板上只有向著A的一面有感應(yīng)電荷。由對稱性和高斯定理得CACAB2mm4mm（2）A板的電位為6、點(diǎn)電荷q處在導(dǎo)體球殼的中心，殼的內(nèi)外半徑分別為R1和R2，求場強(qiáng)和電位的分布，并畫出E—r和U—r曲線。解：（1）由高斯定理得場強(qiáng)的分布為R1R2qR1R2q（2）電位分布為（3）E—r和U—r曲線如圖所示UrUrR1R2ErR1R2球殼內(nèi)外面上電場強(qiáng)度的值，等于該面兩邊趨于該面時電場強(qiáng)度極限值的平均值。7、在上題中，若q=4.0×10-10C,R1=2cm，R2=3cm，求：導(dǎo)體球殼的電位；離球心r=1cm處的電位；把點(diǎn)電荷移開球心1cm，求導(dǎo)體球殼的電位。解：（1）導(dǎo)體球殼的電位為（2）離球心為r處的電位為（3）導(dǎo)體球殼的電位取決于球殼外表面電荷分布所激發(fā)的電場，與點(diǎn)電荷在球殼內(nèi)的位置無關(guān)。因此導(dǎo)體球殼電位仍為300V。R2R3qQR18、半徑為R1R2R3qQR1求兩球的電位U1和U2；兩球的電位差△U；以導(dǎo)線把球和殼連在一起后，U1、U2和△U分別是多少？在情形（1）、（2）中，若外球接地，U1、U2和△U分別是多少？設(shè)外球離地面很遠(yuǎn)，若內(nèi)球接地，情況如何？解：（1）由對稱性和高斯定理求得，各區(qū)域的電場強(qiáng)度和電位分別為（2）兩球的電位差為（3）以導(dǎo)線連接內(nèi)外球，所有電荷將分布于球殼的外表面上，（4）若外球接地，則情形（1）（2）中球殼內(nèi)表面帶電-q,外表面不帶電（5）內(nèi)球電位為零。設(shè)其上所帶電量為q′,上題中，設(shè)q=10-10C,Q=11×10-10C,R1=1cm，R2=3cm，R3=4cm，試計算各種情形中的U1、U2和△U，并畫出U—r曲線。解：利用上題結(jié)果代入數(shù)據(jù)得函數(shù)曲線如圖所示。rRrR1R2R3UR1R2R3Er設(shè)范德格喇夫起電機(jī)的球殼與傳送帶上噴射電荷的尖針之間的電位差為3.0×106V,如果傳送帶遷移電荷到球殼上的速率為3.0×10-3C/s，則在僅考慮電力的情況下，必須用多大的功率來開動傳送帶？解：開動傳送帶的功率至少應(yīng)等于遷移電荷作功的功率德格喇夫起電機(jī)的球殼直徑為1m?？諝獾膿舸﹫鰪?qiáng)為30KV/cm。這起電機(jī)最多能達(dá)到多高的電位？解：對空間任一點(diǎn)P，球殼所帶電荷產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)和電位分別為同軸傳輸線是由兩個很長且彼此絕緣的同軸金屬直圓柱體構(gòu)成。設(shè)內(nèi)圓柱體的電位為U1，半徑為R1，外圓柱體的電位為U2，內(nèi)半徑為R2，求其間離軸