1等差數(shù)列1等差數(shù)列2三年19考高考指數(shù):★★★★1.理解等差數(shù)列的概念，了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.2三年19考高考指數(shù):★★★★31.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式是考查重點(diǎn)；2.運(yùn)用歸納法、累加法、倒序相加法、方程思想、函數(shù)的性質(zhì)解決等差數(shù)列問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)；3.題型以選擇題和填空題為主，與其他知識點(diǎn)結(jié)合則以解答題為主.31.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式是考查重點(diǎn)；41.等差數(shù)列的定義(1)條件：一個(gè)數(shù)列從______起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù).(2)公差：是指常數(shù)，通常用字母d表示.(3)定義表達(dá)式：_______________(n∈N+).第2項(xiàng)an+1-an=d(常數(shù))41.等差數(shù)列的定義第2項(xiàng)an+1-an=d(常數(shù))5【即時(shí)應(yīng)用】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.(請?jiān)诶ㄌ栔刑顚憽笆恰被颉胺瘛?(1)數(shù)列0，0，0，0，0，…()(2)數(shù)列1，1，2，2，3，3，…()(3)數(shù)列…()(4)數(shù)列a,2a,3a,4a，…()5【即時(shí)應(yīng)用】6【解析】(1)(4)中從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為同一常數(shù)；而(2)(3)中從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差并不是同一常數(shù)，故(1)(4)為等差數(shù)列，(2)(3)不是.答案：(1)是(2)否(3)否(4)是6【解析】(1)(4)中從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為同72.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an=__________.a1+(n-1)d72.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a1+(n-1)d8【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：公差d與數(shù)列{an}的單調(diào)性有什么關(guān)系？提示：當(dāng)d>0時(shí)，{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}為遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，{an}為常數(shù)列.8【即時(shí)應(yīng)用】9(2)在等差數(shù)列{an}中，a5=10,a12=31,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.【解析】∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×3=3n-5.答案：an=3n-59(2)在等差數(shù)列{an}中，a5=10,a12=31,則數(shù)10(3)等差數(shù)列10，7，4，…的第20項(xiàng)為_____.【解析】由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得a20=10+(20-1)×(-3)=-47.答案：-4710(3)等差數(shù)列10，7，4，…的第20項(xiàng)為_____.113.等差中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a,A,b成等差數(shù)列，那么__叫作a與b的等差中項(xiàng).A113.等差中項(xiàng)A12【即時(shí)應(yīng)用】(1)是a，A，b成等差數(shù)列的________條件.(2)若等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a,2a+1,4a+2,則它的第五項(xiàng)為________.12【即時(shí)應(yīng)用】13【解析】(1)若可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以a,A,b成等差數(shù)列；反之，若a,A,b成等差數(shù)列，則故是a，A，b成等差數(shù)列的充要條件.(2)由題意知2a+1是a與4a+2的等差中項(xiàng)，即2a+1=解得a=0,故數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為0，1，2，則a5=0+4×1=4.答案：(1)充要(2)413【解析】(1)若可知2A=a+b,可推144.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和第n項(xiàng)an,則其前n項(xiàng)和公式Sn=_________.(2)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1與公差d，則其前n項(xiàng)和公式Sn=_____________.144.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式15【即時(shí)應(yīng)用】(1)在等差數(shù)列{an}中，a1=5,an=95,n=10,則Sn=_______.(2)在等差數(shù)列{an}中，a1=100,d=-2,n=50,則Sn=______.(3)在等差數(shù)列{an}中，d=2,n=15,an=-10,則Sn=________.15【即時(shí)應(yīng)用】16【解析】(1)(2)=50×(100-49)=2550.(3)由an=a1+(n-1)d得,-10=a1+(15-1)×2,解得a1=-38,答案：(1)500(2)2550(3)-36016【解析】(1)17

等差數(shù)列的基本運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】1.等差數(shù)列運(yùn)算問題的通法等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.17等差數(shù)列的基本運(yùn)算182.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩個(gè)，如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和第n項(xiàng)an，則利用如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和公差d，則利用在求解等差數(shù)列的基本運(yùn)算問題時(shí)，有時(shí)會(huì)和通項(xiàng)公式結(jié)合使用.182.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法19【例1】(1)(2011·廣東高考)等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若a1=1,ak+a4=0,則k=______.(2)(2011·湖北高考)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_____升.(3)(2011·福建高考)已知等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3=-3.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=-35，求k的值.19【例1】(1)(2011·廣東高考)等差數(shù)列{an}前920【解題指南】(1)根據(jù)S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k.(2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1,d的方程組，先求a1,d,再求a5，或直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于a5,d的方程組求解.(3)求出公差d后直接寫出an，求出Sn，根據(jù)Sk=-35求k的值.20【解題指南】(1)根據(jù)S9=S4求公差d，利用ak+a421【規(guī)范解答】(1)∵S4=S9,答案：1021【規(guī)范解答】(1)∵S4=S9,22(2)方法一：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1,依次類推，數(shù)列{an}為等差數(shù)列.又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4,解得22(2)方法一：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1,依次類推，數(shù)列23方法二：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1，依次類推,則第九節(jié)容量為a9,且數(shù)列{an}為等差數(shù)列.a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3 ①3a5+9d=4 ②聯(lián)立①②解得a5=答案：23方法二：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1，依次類推,則第九節(jié)容24(3)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2.從而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.②由①知an=3-2n,由Sk=-35得2k-k2=-35.即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5.又k∈N+,故k=7.24(3)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，25【互動(dòng)探究】本例(3)中，若將“a1=1,a3=-3”改為“a1=31,S10=S22”，試求①Sn;②這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個(gè)最大值.25【互動(dòng)探究】本例(3)中，若將“a1=1,a3=-3”改26【解析】①∵S10=a1+a2+…+a10,S22=a1+a2+…+a22，又S10=S22，∴a11+a12+…+a22=0，即a11+a22=2a1+31d=0,又a1=31,∴d=-2,26【解析】①∵S10=a1+a2+…+a10,27②方法一：由①知Sn=32n-n2,∴當(dāng)n=16時(shí)，Sn有最大值，Sn的最大值是256.方法二：由Sn=32n-n2=n(32-n),欲使Sn有最大值，應(yīng)有1<n<32,從而當(dāng)且僅當(dāng)n=32-n，即n=16時(shí)，Sn有最大值256.27②方法一：由①知Sn=32n-n2,28方法三：a1=31,d=-2,an=31+(n-1)×(-2)=31-2n+2=33-2n.設(shè)前n項(xiàng)和最大,則15.5≤n≤16.5,∴n=16時(shí),Sn有最大值.28方法三：a1=31,d=-2,29【反思·感悟】1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程解決問題的思想.2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.29【反思·感悟】1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉30【變式備選】在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15=33,a45=153,求a66;(2)已知S8=48,S12=168,求a1和d；(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.30【變式備選】在等差數(shù)列{an}中，31【解析】(1)方法一：設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d，依題意條件得∴a66=-23+(66-1)×4=237.方法二：由由an=am+(n-m)d,得a66=a45+(66-45)×4=237.(2)∵Sn=na1+31【解析】(1)方法一：設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d，依題意條件32(3)∵a6=10,S5=5,∴a8=a1+7d=-5+7×3=16,S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3=44.32(3)∵a6=10,S5=5,33

等差數(shù)列的判定【方法點(diǎn)睛】等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an-1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+)成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an=pn+q；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn=An2+Bn.33等差數(shù)列的判定34【提醒】判定方法中的(1)(2)可作為證明等差數(shù)列的方法，(3)(4)只能作為定性判斷等差數(shù)列的方法.34【提醒】判定方法中的(1)(2)可作為證明等差數(shù)列的方法35【例2】已知數(shù)列{an}中，(n≥2,n∈N+),數(shù)列{bn}滿足(n∈N+).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由.【解題指南】利用定義法證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；先求bn，再求an,最后利用函數(shù)的單調(diào)性求最大項(xiàng)和最小項(xiàng).35【例2】已知數(shù)列{an}中，36【規(guī)范解答】(1)∵(n≥2,n∈N+)，∴數(shù)列{bn}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.36【規(guī)范解答】(1)∵(n≥2,n∈N37(2)由(1)知設(shè)則f(x)在區(qū)間(-∞,)和(+∞)上為減函數(shù).∴當(dāng)n=3時(shí)，an取得最小值-1，當(dāng)n=4時(shí)，an取得最大值3.故最大項(xiàng)為a4,最小項(xiàng)為a3.37(2)由(1)知38【反思·感悟】本例中在用定義法證明{bn}是等差數(shù)列時(shí)，不論用bn+1-bn還是用bn-bn-1,需要考慮運(yùn)算中是否包含了b2-b1這一運(yùn)算,這是容易被忽視的問題.38【反思·感悟】本例中在用定義法證明{bn}是等差數(shù)列時(shí)，39【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=求證：{}是等差數(shù)列.39【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an40【證明】∵an=Sn-Sn-1,且an+2Sn·Sn-1=0(n≥2)，∴Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0(n≥2)，又Sn≠0，∴數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.40【證明】∵an=Sn-Sn-1,且an+2Sn·Sn-141

等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】等差數(shù)列的常見性質(zhì)(1)若m+n=p+q=2k,則am+an=ap+aq=2ak.(2)若{an},{bn}都是等差數(shù)列，k,m∈R,數(shù)列{kan+mbn}仍為等差數(shù)列.(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍為等差數(shù)列.(4)am=an+(m-n)d?d=(m≠n).41等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用42(5)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an}:①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).②S偶-S奇=nd,(6)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)(2n+1)的等差數(shù)列{an}:①S2n+1=(2n+1)an+1.②42(5)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an}:43【例3】(1)(2011·遼寧高考)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2=S6，a4=1,則a5=________.(2)(2012·寶雞模擬)等差數(shù)列{an}的前17項(xiàng)和S17=51，則a5-a7+a9-a11+a13=________.(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn=324(n>6),求數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)及a9+a10.43【例3】(1)(2011·遼寧高考)Sn為等差數(shù)列{an44【解題指南】(1)根據(jù)S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5.(2)根據(jù)性質(zhì)知a1+a17=a7+a11=a5+a13=2a9求解.(3)根據(jù)前6項(xiàng)與最后6項(xiàng)的和求出a1+an,再求n及a9+a10.44【解題指南】(1)根據(jù)S2=S6，先求a4+a5的值，再45【規(guī)范解答】(1)∵S2=S6，∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0，∴2(a4+a5)=0,即a4+a5=0，∴a5=-a4=-1.答案：-145【規(guī)范解答】(1)∵S2=S6，46(2)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且S17=51，∴=51,即a1+a17=6，∴a5-a7+a9-a11+a13=(a5+a13)-(a7+a11)+a9=6-6+3=3.答案：346(2)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且S17=51，47(3)由題意知a1+a2+…+a6=36①an+an-1+an-2+…+an-5=180②①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216，∴a1+an=36,又∴18n=324,∴n=18.∴a1+a18=36,∴a9+a10=a1+a18=36.47(3)由題意知a1+a2+…+a6=36①48【互動(dòng)探究】若本例(1)條件不變，改為求此等差數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大，并求出最大值.【解析】在本例(1)中已求解出a5=-1,又a4=1,得公差d=-2,∴前4項(xiàng)的和最大,且S4=1+3+5+7=16.48【互動(dòng)探究】若本例(1)條件不變，改為求此等差數(shù)列的前多49【反思·感悟】1.在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q=2k,則am+an=ap+aq=2ak是常用的性質(zhì)，本例(1)、(2)、(3)題都用到了這個(gè)性質(zhì)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，一定要觀察好每一項(xiàng)的下標(biāo)規(guī)律，不要犯a2+a5=a7的錯(cuò)誤.2.本例(2)也可先求a1與d的關(guān)系，然后求解,但不如用性質(zhì)簡單.49【反思·感悟】1.在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q50【變式備選】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,求m的值.【解析】∵am-1+am+1=2am,∴am-1+am+1-am2=2am-am2=0，解得am=0或am=2.又∵a1+a2m-1=2am,∴am≠0,am=2,∴2m-1=19,解得m=10.50【變式備選】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知am-51【滿分指導(dǎo)】等差數(shù)列主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2012·廣州模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令(n∈N+)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.51【滿分指導(dǎo)】等差數(shù)列主觀題的規(guī)范解答52【解題指南】分析題意知，對本題(1)可列方程組求解；(2)將an代入bn后，表示出bn是解題關(guān)鍵.52【解題指南】分析題意知，對本題(1)可列方程組求解；53【規(guī)范解答】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍3=7，a5+a7=26，所以有解得a1=3,d=2，………………3分所以an=3+2(n-1)=2n+1,

…………………6分53【規(guī)范解答】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，54(2)由(1)知an=2n+1，所以

………………9分所以

……11分即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和……12分54(2)由(1)知an=2n+1，55【閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：(1)利用方程的思想聯(lián)立求解在計(jì)算上容易出現(xiàn)失誤，不能準(zhǔn)確求出首項(xiàng)a1和公差d；(2)在求解數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，不能熟練準(zhǔn)確地利用裂項(xiàng)公式.55【閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失56備考建議解決等差數(shù)列問題時(shí)，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注:(1)對通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式記憶錯(cuò)誤；(2)基本公式中的項(xiàng)數(shù)或奇偶項(xiàng)的確定不正確；(3)判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列時(shí)，易忽略驗(yàn)證第一項(xiàng).另外需要熟練掌握幾種常見的裂項(xiàng)方法，才能快速正確地解決一些數(shù)列求和問題.56備解決等差數(shù)列問題時(shí)，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備571.(2011·江西高考)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d=-2,Sn為其前n項(xiàng)和.若S10=S11，則a1=()(A)18(B)20(C)22(D)24【解析】選B.因?yàn)镾10=S11，所以a11=0,而a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.571.(2011·江西高考)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d=582.(2011·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，n∈N+,若a3=16,S20=20,則S10的值為________.【解析】由題意知答案：110582.(2011·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為593.(2011·重慶高考)在等差數(shù)列{an}中，a3+a7=37,則a2+a4+a6+a8=_____.【解析】∵a2+a8=a4+a6=a3+a7=37，∴a2+a4+a6+a8=37×2=74.答案：74593.(2011·重慶高考)在等差數(shù)列{an}中，a3+a604.(2012·鄭州模擬)f(x)對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=(1)求f()和f()+f()(n∈N+)的值;(2)數(shù)列{an}滿足：an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請給予證明;(3)令試比較Tn與Sn的大小.604.(2012·鄭州模擬)f(x)對任意x∈R都有f(x61【解析】(1)因?yàn)?1【解析】(1)因?yàn)?2兩式相加得2an=［f(0)+f(1)］+［f()+f()］+…+［f(1)+f(0)］=所以又故數(shù)列{an}是等差數(shù)列.6263(3)所以Tn≤Sn.63(3)6464656566等差數(shù)列1等差數(shù)列67三年19考高考指數(shù):★★★★1.理解等差數(shù)列的概念，了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.2三年19考高考指數(shù):★★★★681.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式是考查重點(diǎn)；2.運(yùn)用歸納法、累加法、倒序相加法、方程思想、函數(shù)的性質(zhì)解決等差數(shù)列問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)；3.題型以選擇題和填空題為主，與其他知識點(diǎn)結(jié)合則以解答題為主.31.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式是考查重點(diǎn)；691.等差數(shù)列的定義(1)條件：一個(gè)數(shù)列從______起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù).(2)公差：是指常數(shù)，通常用字母d表示.(3)定義表達(dá)式：_______________(n∈N+).第2項(xiàng)an+1-an=d(常數(shù))41.等差數(shù)列的定義第2項(xiàng)an+1-an=d(常數(shù))70【即時(shí)應(yīng)用】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.(請?jiān)诶ㄌ栔刑顚憽笆恰被颉胺瘛?(1)數(shù)列0，0，0，0，0，…()(2)數(shù)列1，1，2，2，3，3，…()(3)數(shù)列…()(4)數(shù)列a,2a,3a,4a，…()5【即時(shí)應(yīng)用】71【解析】(1)(4)中從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為同一常數(shù)；而(2)(3)中從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差并不是同一常數(shù)，故(1)(4)為等差數(shù)列，(2)(3)不是.答案：(1)是(2)否(3)否(4)是6【解析】(1)(4)中從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為同722.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an=__________.a1+(n-1)d72.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a1+(n-1)d73【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：公差d與數(shù)列{an}的單調(diào)性有什么關(guān)系？提示：當(dāng)d>0時(shí)，{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}為遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，{an}為常數(shù)列.8【即時(shí)應(yīng)用】74(2)在等差數(shù)列{an}中，a5=10,a12=31,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.【解析】∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×3=3n-5.答案：an=3n-59(2)在等差數(shù)列{an}中，a5=10,a12=31,則數(shù)75(3)等差數(shù)列10，7，4，…的第20項(xiàng)為_____.【解析】由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得a20=10+(20-1)×(-3)=-47.答案：-4710(3)等差數(shù)列10，7，4，…的第20項(xiàng)為_____.763.等差中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a,A,b成等差數(shù)列，那么__叫作a與b的等差中項(xiàng).A113.等差中項(xiàng)A77【即時(shí)應(yīng)用】(1)是a，A，b成等差數(shù)列的________條件.(2)若等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a,2a+1,4a+2,則它的第五項(xiàng)為________.12【即時(shí)應(yīng)用】78【解析】(1)若可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以a,A,b成等差數(shù)列；反之，若a,A,b成等差數(shù)列，則故是a，A，b成等差數(shù)列的充要條件.(2)由題意知2a+1是a與4a+2的等差中項(xiàng)，即2a+1=解得a=0,故數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為0，1，2，則a5=0+4×1=4.答案：(1)充要(2)413【解析】(1)若可知2A=a+b,可推794.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和第n項(xiàng)an,則其前n項(xiàng)和公式Sn=_________.(2)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1與公差d，則其前n項(xiàng)和公式Sn=_____________.144.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式80【即時(shí)應(yīng)用】(1)在等差數(shù)列{an}中，a1=5,an=95,n=10,則Sn=_______.(2)在等差數(shù)列{an}中，a1=100,d=-2,n=50,則Sn=______.(3)在等差數(shù)列{an}中，d=2,n=15,an=-10,則Sn=________.15【即時(shí)應(yīng)用】81【解析】(1)(2)=50×(100-49)=2550.(3)由an=a1+(n-1)d得,-10=a1+(15-1)×2,解得a1=-38,答案：(1)500(2)2550(3)-36016【解析】(1)82

等差數(shù)列的基本運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】1.等差數(shù)列運(yùn)算問題的通法等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.17等差數(shù)列的基本運(yùn)算832.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩個(gè)，如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和第n項(xiàng)an，則利用如果已知項(xiàng)數(shù)n、首項(xiàng)a1和公差d，則利用在求解等差數(shù)列的基本運(yùn)算問題時(shí)，有時(shí)會(huì)和通項(xiàng)公式結(jié)合使用.182.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法84【例1】(1)(2011·廣東高考)等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若a1=1,ak+a4=0,則k=______.(2)(2011·湖北高考)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_____升.(3)(2011·福建高考)已知等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3=-3.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=-35，求k的值.19【例1】(1)(2011·廣東高考)等差數(shù)列{an}前985【解題指南】(1)根據(jù)S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k.(2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1,d的方程組，先求a1,d,再求a5，或直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于a5,d的方程組求解.(3)求出公差d后直接寫出an，求出Sn，根據(jù)Sk=-35求k的值.20【解題指南】(1)根據(jù)S9=S4求公差d，利用ak+a486【規(guī)范解答】(1)∵S4=S9,答案：1021【規(guī)范解答】(1)∵S4=S9,87(2)方法一：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1,依次類推，數(shù)列{an}為等差數(shù)列.又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4,解得22(2)方法一：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1,依次類推，數(shù)列88方法二：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1，依次類推,則第九節(jié)容量為a9,且數(shù)列{an}為等差數(shù)列.a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3 ①3a5+9d=4 ②聯(lián)立①②解得a5=答案：23方法二：設(shè)自上第一節(jié)竹子容量為a1，依次類推,則第九節(jié)容89(3)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2.從而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.②由①知an=3-2n,由Sk=-35得2k-k2=-35.即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5.又k∈N+,故k=7.24(3)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，90【互動(dòng)探究】本例(3)中，若將“a1=1,a3=-3”改為“a1=31,S10=S22”，試求①Sn;②這個(gè)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個(gè)最大值.25【互動(dòng)探究】本例(3)中，若將“a1=1,a3=-3”改91【解析】①∵S10=a1+a2+…+a10,S22=a1+a2+…+a22，又S10=S22，∴a11+a12+…+a22=0，即a11+a22=2a1+31d=0,又a1=31,∴d=-2,26【解析】①∵S10=a1+a2+…+a10,92②方法一：由①知Sn=32n-n2,∴當(dāng)n=16時(shí)，Sn有最大值，Sn的最大值是256.方法二：由Sn=32n-n2=n(32-n),欲使Sn有最大值，應(yīng)有1<n<32,從而當(dāng)且僅當(dāng)n=32-n，即n=16時(shí)，Sn有最大值256.27②方法一：由①知Sn=32n-n2,93方法三：a1=31,d=-2,an=31+(n-1)×(-2)=31-2n+2=33-2n.設(shè)前n項(xiàng)和最大,則15.5≤n≤16.5,∴n=16時(shí),Sn有最大值.28方法三：a1=31,d=-2,94【反思·感悟】1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程解決問題的思想.2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.29【反思·感悟】1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉95【變式備選】在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15=33,a45=153,求a66;(2)已知S8=48,S12=168,求a1和d；(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.30【變式備選】在等差數(shù)列{an}中，96【解析】(1)方法一：設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d，依題意條件得∴a66=-23+(66-1)×4=237.方法二：由由an=am+(n-m)d,得a66=a45+(66-45)×4=237.(2)∵Sn=na1+31【解析】(1)方法一：設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d，依題意條件97(3)∵a6=10,S5=5,∴a8=a1+7d=-5+7×3=16,S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3=44.32(3)∵a6=10,S5=5,98

等差數(shù)列的判定【方法點(diǎn)睛】等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an-1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+)成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an=pn+q；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn=An2+Bn.33等差數(shù)列的判定99【提醒】判定方法中的(1)(2)可作為證明等差數(shù)列的方法，(3)(4)只能作為定性判斷等差數(shù)列的方法.34【提醒】判定方法中的(1)(2)可作為證明等差數(shù)列的方法100【例2】已知數(shù)列{an}中，(n≥2,n∈N+),數(shù)列{bn}滿足(n∈N+).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由.【解題指南】利用定義法證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；先求bn，再求an,最后利用函數(shù)的單調(diào)性求最大項(xiàng)和最小項(xiàng).35【例2】已知數(shù)列{an}中，101【規(guī)范解答】(1)∵(n≥2,n∈N+)，∴數(shù)列{bn}是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.36【規(guī)范解答】(1)∵(n≥2,n∈N102(2)由(1)知設(shè)則f(x)在區(qū)間(-∞,)和(+∞)上為減函數(shù).∴當(dāng)n=3時(shí)，an取得最小值-1，當(dāng)n=4時(shí)，an取得最大值3.故最大項(xiàng)為a4,最小項(xiàng)為a3.37(2)由(1)知103【反思·感悟】本例中在用定義法證明{bn}是等差數(shù)列時(shí)，不論用bn+1-bn還是用bn-bn-1,需要考慮運(yùn)算中是否包含了b2-b1這一運(yùn)算,這是容易被忽視的問題.38【反思·感悟】本例中在用定義法證明{bn}是等差數(shù)列時(shí)，104【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=求證：{}是等差數(shù)列.39【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an105【證明】∵an=Sn-Sn-1,且an+2Sn·Sn-1=0(n≥2)，∴Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0(n≥2)，又Sn≠0，∴數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.40【證明】∵an=Sn-Sn-1,且an+2Sn·Sn-1106

等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】等差數(shù)列的常見性質(zhì)(1)若m+n=p+q=2k,則am+an=ap+aq=2ak.(2)若{an},{bn}都是等差數(shù)列，k,m∈R,數(shù)列{kan+mbn}仍為等差數(shù)列.(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍為等差數(shù)列.(4)am=an+(m-n)d?d=(m≠n).41等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用107(5)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an}:①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).②S偶-S奇=nd,(6)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)(2n+1)的等差數(shù)列{an}:①S2n+1=(2n+1)an+1.②42(5)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an}:108【例3】(1)(2011·遼寧高考)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2=S6，a4=1,則a5=________.(2)(2012·寶雞模擬)等差數(shù)列{an}的前17項(xiàng)和S17=51，則a5-a7+a9-a11+a13=________.(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn=324(n>6),求數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)及a9+a10.43【例3】(1)(2011·遼寧高考)Sn為等差數(shù)列{an109【解題指南】(1)根據(jù)S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5.(2)根據(jù)性質(zhì)知a1+a17=a7+a11=a5+a13=2a9求解.(3)根據(jù)前6項(xiàng)與最后6項(xiàng)的和求出a1+an,再求n及a9+a10.44【解題指南】(1)根據(jù)S2=S6，先求a4+a5的值，再110【規(guī)范解答】(1)∵S2=S6，∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0，∴2(a4+a5)=0,即a4+a5=0，∴a5=-a4=-1.答案：-145【規(guī)范解答】(1)∵S2=S6，111(2)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且S17=51，∴=51,即a1+a17=6，∴a5-a7+a9-a11+a13=(a5+a13)-(a7+a11)+a9=6-6+3=3.答案：346(2)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且S17=51，112(3)由題意知a1+a2+…+a6=36①an+an-1+an-2+…+an-5=180②①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216，∴a1+an=36,又∴18n=324,∴n=18.∴a1+a18=36,∴a9+a10=a1+a18=36.47(3)由題意知a1+a2+…+a6=36①113【互動(dòng)探究】若本例(1)條件不變，改為求此等差數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最大，并求出最大值.【解析】在本例(1)中已求解出a5=-1,又a4=1,得公差d=-2,∴前4項(xiàng)的和最大,且S4=1+3+5+7=16.48【互動(dòng)探究】若本例(1)條件不變，改為求此等差數(shù)列的前多114【反思·感悟】1.在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q=2k,則am+an=ap+aq=2ak是常用的性質(zhì)，本例(1)、(2)、(3)題都用到了這個(gè)性質(zhì)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，一定要觀察好每一項(xiàng)的下標(biāo)規(guī)律，不要犯a2+a5=a7的錯(cuò)誤.2.本例(2)也可先求a1與d的關(guān)系，然后求解,但不如用性質(zhì)簡單.49【反思·感悟】1.在等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q115【變式備選】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,求m的值.【解析】∵am-1+am+1=2am,∴am-1+am+1-am2=2am-am2=0，解得am=0或am=2.又∵a1+a2m-1=2am,∴am≠0,am=2,∴2m-1=19,解得