2.4

無窮小與無窮大無窮小的比較2.4.1無窮小2.4.2無窮大2.4.3無窮小的比較12.4無窮小與無窮大無窮小的比較2.4.1無窮小2.

定義1.12

若函數(shù)在自變量的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,為無窮小量．簡稱無窮?。?.4.1無窮小例如，當(dāng)時，，，是無窮小量；當(dāng)時，是無窮小量當(dāng)時，，是無窮小量．我們經(jīng)常用希臘字母，，來表示無窮小量．2定義1.12若函數(shù)在自變量2.4.1無窮小注意：

（1）無窮小是以零為極限的變量，常數(shù)中只有零是無窮小

（2）無窮小總是和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)的，例如:

當(dāng)時,為無窮小當(dāng)時,就不是無窮小3注意：（1）無窮小是以零為極限的變量，（2）無窮小總是和自定理1.2函數(shù)以為極限的充分

必要條件是：可以表示為與一個無窮小量之和．即其中．4定理1.2函數(shù)以為極限的充分

必要條件是：

定義1.10如果(或)時，相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱 當(dāng)(或)時為無窮大量無窮大量，簡稱無窮大.2.4.2無窮大5定義1.10如果(或)時，相應(yīng)的函數(shù)值

如果函數(shù)當(dāng)時為無窮大，按通常意義來說，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”并記為6如果函數(shù)當(dāng)時為無窮大，按通常意義來說，而且，把限正值的無窮大叫做正無窮大，把限負值的無窮大叫做負無窮大，分別記為例如，（1）

無窮大是個變量，不是常數(shù)

（2）

無窮大總和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)

注意：

7而且，把限正值的無窮大叫做正無窮大，把限負值的無窮大叫做負無時，,時，是無窮小例1

指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮小和無窮大？

解時，,時，是無窮小時，,時，是無窮大解時，,時，是無窮大8時，,時，是無窮解時，，所以時，是無窮小時，,所以時，是正無窮大9解時，，所以時，練習(xí)一1.下列函數(shù)中哪些是無窮??？哪些是是無窮大？是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小10練習(xí)一1.下列函數(shù)中哪些是無窮?。磕男┦鞘菬o窮大？是無窮大是是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大11是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大112.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小

時，是無窮小時，是無窮大時，是無窮小時，是無窮大122.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小時，是無窮小時，是正無窮大13時，是無窮小時，1414性質(zhì)1.4無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量．無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1.1有限個無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量．性質(zhì)1.2有界變量乘無窮小量仍是無窮小量．性質(zhì)1.3常數(shù)乘無窮小量仍是無窮小量．15性質(zhì)1.4無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量．無窮小量的性解因為，所以是有界變量；例2

求．當(dāng)時，是無窮小量．根據(jù)性質(zhì)1.2，乘積是無窮小量．即．16解因為，所以是有界變量；例2求練習(xí)二求下列函數(shù)的極限17練習(xí)二求下列函數(shù)的極限17，，．我們記，，，它們都是時的無窮小量．但2.4.3無窮小的比較18，，．我們記，，，它們都是時的無，，趨于零的情況110100100010000

10.10.010.0010.0001

20.20.020.0020.000210.010.00010.0000010.0000000119，，趨于零的情況11010010定義1.14設(shè)、是同一變化過程中的兩個無窮小量，(2)若(是不等于零的常數(shù))，則稱與是同階無窮小量．若，則稱與是等價無窮小量．(1)若,則稱是比高階的無窮小量．也稱是比低階的無窮小量．20定義1.14設(shè)、是同一變化過程中的兩個無窮小量，關(guān)于等價無窮小，有下面重要的性質(zhì)．定理4–4設(shè)

~，

~，且存在，則證明：21關(guān)于等價無窮小，有下面重要的性質(zhì)．21在求極限時，利用定理，分子分母的無窮小因子可用其等價無窮小替換，使計算簡化，這種方法稱為等價無窮小替換法．常用的無窮小替換有：22在求極限時，利用定理，分子分母的無窮小因子可用其等價無窮小替例4–32求極限例4–33求極限23例4–32求極限例4–33求極限232.4

無窮小與無窮大無窮小的比較2.4.1無窮小2.4.2無窮大2.4.3無窮小的比較242.4無窮小與無窮大無窮小的比較2.4.1無窮小2.

定義1.12

若函數(shù)在自變量的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,為無窮小量．簡稱無窮?。?.4.1無窮小例如，當(dāng)時，，，是無窮小量；當(dāng)時，是無窮小量當(dāng)時，，是無窮小量．我們經(jīng)常用希臘字母，，來表示無窮小量．25定義1.12若函數(shù)在自變量2.4.1無窮小注意：

（1）無窮小是以零為極限的變量，常數(shù)中只有零是無窮小

（2）無窮小總是和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)的，例如:

當(dāng)時,為無窮小當(dāng)時,就不是無窮小26注意：（1）無窮小是以零為極限的變量，（2）無窮小總是和自定理1.2函數(shù)以為極限的充分

必要條件是：可以表示為與一個無窮小量之和．即其中．27定理1.2函數(shù)以為極限的充分

必要條件是：

定義1.10如果(或)時，相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱 當(dāng)(或)時為無窮大量無窮大量，簡稱無窮大.2.4.2無窮大28定義1.10如果(或)時，相應(yīng)的函數(shù)值

如果函數(shù)當(dāng)時為無窮大，按通常意義來說，極限是不存在的，但為了便于敘述，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”并記為29如果函數(shù)當(dāng)時為無窮大，按通常意義來說，而且，把限正值的無窮大叫做正無窮大，把限負值的無窮大叫做負無窮大，分別記為例如，（1）

無窮大是個變量，不是常數(shù)

（2）

無窮大總和自變量的變化趨勢相關(guān)聯(lián)

注意：

30而且，把限正值的無窮大叫做正無窮大，把限負值的無窮大叫做負無時，,時，是無窮小例1

指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮小和無窮大？

解時，,時，是無窮小時，,時，是無窮大解時，,時，是無窮大31時，,時，是無窮解時，，所以時，是無窮小時，,所以時，是正無窮大32解時，，所以時，練習(xí)一1.下列函數(shù)中哪些是無窮??？哪些是是無窮大？是無窮大是無窮小是無窮大是無窮小33練習(xí)一1.下列函數(shù)中哪些是無窮??？哪些是是無窮大？是無窮大是是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大34是無窮大是無窮小是無窮小是無窮大112.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小

時，是無窮小時，是無窮大時，是無窮小時，是無窮大352.指出下列函數(shù)分別在自變量怎樣的變化過程中是無窮大和無窮小時，是無窮小時，是正無窮大36時，是無窮小時，3714性質(zhì)1.4無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量．無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1.1有限個無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量．性質(zhì)1.2有界變量乘無窮小量仍是無窮小量．性質(zhì)1.3常數(shù)乘無窮小量仍是無窮小量．38性質(zhì)1.4無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量．無窮小量的性解因為，所以是有界變量；例2

求．當(dāng)時，是無窮小量．根據(jù)性質(zhì)1.2，乘積是無窮小量．即．39解因為，所以是有界變量；例2求練習(xí)二求下列函數(shù)的極限40練習(xí)二求下列函數(shù)的極限17，，．我們記，，，它們都是時的無窮小量．但2.4.3無窮小的比較41，，．我們記，，，它們都是時的無，，趨于零的情況110100100010000

10.10.010.0010.0001

20.20.020.0020.000210.010.00010.0000010.0000000142，，趨于零的情況11010010定義1.14設(shè)、是同一變化過程中的兩個無窮小量，(2)若(是不等于零的常數(shù))，則稱與是同階無窮小量．若，則稱與是等價無窮小量．(1)若,則稱是比高階的無窮小量．也稱是比低階的無窮小量．43定義1.14設(shè)、是同一變化過程中的兩個無