第10講導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值、最值基礎(chǔ)梳理函數(shù)y=f(x)在x=Xo處的導(dǎo)數(shù)f'xO)是曲線y=f(x)在點(xo,f(xg))處切線I的斜率，切線I的方程是y—f(Xo)=f，x0)(x—xo).導(dǎo)數(shù)的物理意義若物體位移隨時間變化的關(guān)系為 s=f(t)，則f't(是物體運(yùn)動在t=to時刻的瞬時速度.函數(shù)的單調(diào)性在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f'x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于 o.f'x)>?函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增;f'x)<?函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:……(1)確定函數(shù)..f(x)的定義域…(2)求導(dǎo)數(shù)f.x)；_(3).由.f：x)>o(f：x!<o)解岀相應(yīng)的..X的范圍...當(dāng)f'x)>o時，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng) f'x)vo時？f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù)，還可以列表，寫岀.函.數(shù)的單週區(qū)間: 函數(shù)的極值判斷f(xo)是極值的方法如果在Xo附近的左側(cè)f'x)>o，右側(cè)f'x)<o，那么f(xo)是極大值；如果在Xo附近的左側(cè)f'刈<o，右側(cè)f'x)>o，那么f(xo)是極小值.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟①求f'x); ②求方程f'x)=o的根；③檢查f'x)在方程f'x)=o的根左右值的符號. 如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值，如果左右兩側(cè)符號一樣，那么這個根不是極值點.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)的函數(shù)f(x)在［a,b］上必有最大值與—⑵若函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.⑶設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步驟如下：求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.雙基自測TOC\o"1-5"\h\z1曲線y=x3+11在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)是 .函數(shù)f(x)=x2—2lnx的遞減區(qū)間是 .若點P是曲線y=x2—Inx上任意一點，則點 P到直線y=x—2的最小值為 .? 一 __ 1 3已知某生產(chǎn)廠家的年利潤 y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=—于+81x—234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為 萬件.函數(shù)f(x)=x3—3x2+1在x= 處取得極小值.函數(shù)f(x)=x3—3求+1的遞增區(qū)間是 .若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3—ax2—2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于_.x2+a若函數(shù)f(x)= 在x=1處取極值，則a= .x+1考向一求曲線切線的方程【例1】已知函數(shù)f(x)=x3—4x2+5x—4.(1)求曲線f(x)在x=2處的切線方程； ⑵求經(jīng)過點A(2,—2)的曲線f(x)的切線方程.【訓(xùn)練1】若直線y=kx與曲線y=x3—3x2+2x相切，試求k的值.考向二 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)=x3—ax2—3x.(1)若f(x)在［1,+g上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；⑵若x=3是f(x)的極值點，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.【訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)=ex—ax—1.求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；是否存在a,使f(x)在(—2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由.考向三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題【例3】設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,x€R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；⑵求證：當(dāng)a>In2—1且x>0時，ex>x2-2ax+1.【訓(xùn)練3】已知m€R，函數(shù)f(x)=(x2+mx+m)ex2 3(1)若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍;⑵當(dāng)m=0時，求證(1)若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍;考向四函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1【例1】設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f'x)，若函數(shù)y=f'x)的圖象關(guān)于直線x=--對稱，且f'(特0. (1)求實數(shù)a,b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值.x【訓(xùn)練4】設(shè)f(x)=J,其中a為正實數(shù).1+ax(1)當(dāng)a=3時，求f(x)的極值點； ⑵若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.3考向五函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)

【例5】已知a為實數(shù)，且函數(shù)f(x)=(x2—4)(x—a).(1)求導(dǎo)函數(shù)f'x); ⑵若f—1)=0,求函數(shù)f(x)在［—2,2］上的最大值、最小值.【訓(xùn)練5】函數(shù)f(x)=x3+ax2+b的圖象在點P(1,0)處的切線與直線3x+y=0平行(1)求a,b; (2)求函數(shù)f(x)在［0,t］(t>0)內(nèi)的最大值和最小值.考向六用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題【例3】請你設(shè)計一個包裝盒.如圖所示， ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰DJ0\ F *'、、、「/J影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒. E、F在AB上,是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點.設(shè)AE=FB=x(cm).(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積 S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值?(2)某廠商要求包裝盒的容積 V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.【訓(xùn)練6】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中，每小時的耗油量 y(升)關(guān)于行駛速度1 3 3x(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為： y=128000x—80x+8(0<xw120.)已知甲、乙兩地相距100千米.(1)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【強(qiáng)化訓(xùn)練】TOC\o"1-5"\h\z若函數(shù)y=x'+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù) m的取值范圍是 .2.函數(shù)f(x)=x3—3x2+1在x= 處取得極小值.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有極大值和極小值，則 a的取值范圍是 .已知函數(shù)f(x)=Inx+2x,若f(x2+2)vf(3x),則實數(shù)x的取值范圍是 .3已知函數(shù)f(x)=弓—(4m—1)x2+(15m2—2m—7)x+2在實數(shù)集R上是增函數(shù)，則實數(shù)m3的取值范圍是 .已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c€R),若函數(shù)f(x)在區(qū)間［—1,0］上是單調(diào)遞減函數(shù)，則a2+b2的最小值為 .設(shè)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)+xf'x(0,則不等式f(：：：:x+1)>”x—1fQ：；x2—1)的解集為 .&已知a>0，函數(shù)f(x)=x3—ax在［1,+s上單調(diào)遞增，則a的最大值是 .2設(shè)函數(shù)f(x)=x3—|—2x+5,若對任意x€［—1,2］，都有f(x)>m,則實數(shù)m的取值范圍是 .已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=(x2+1)(x+a).若f'—1)=0，則函數(shù)y=f(x)在一|,1上的最大值和最小值分別為 .1已知曲線f(x)=ln(2—x)+ax在點(0,f(0))處的切線斜率為",(1)求f(x)的極值；⑵設(shè)g(x)=f(x)+kx,若g(x)在(―汽1］上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.lnx+k已知函數(shù)f(x)= ex(k為常數(shù)，e=2.71828?是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.(1)求k的值； ⑵求f(x)的單調(diào)區(qū)間；2已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax+1