第第頁(yè)與三角函數(shù)相關(guān)的最值問(wèn)題一．方法綜述三角函數(shù)相關(guān)的最值問(wèn)題歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)之一，而三角函數(shù)的最值問(wèn)題是三角函數(shù)的重要題型，其中包括以考查三角函數(shù)圖象和性質(zhì)為載體的最值問(wèn)題、三角函數(shù)的有界性為主的最值問(wèn)題時(shí)屢見(jiàn)不鮮的題型，熟悉三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)和掌握轉(zhuǎn)化思想是解題關(guān)鍵．二．解題策略類(lèi)型一與三角函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性相關(guān)的最值問(wèn)題【例1】【重慶市南開(kāi)中學(xué)2019屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知函數(shù)的最小正周期為，且是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則的最大值為（）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】由題得函數(shù)，其中．最小正周期為，即．那么．一條對(duì)稱(chēng)軸是，可得：則．即．．的最大值為．故選：．【指點(diǎn)迷津】1.具有奇偶性時(shí)，（）或（）.2.對(duì)于和來(lái)說(shuō)，對(duì)稱(chēng)中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱(chēng)軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.的圖象有無(wú)窮多條對(duì)稱(chēng)軸，可由方程解出；它還有無(wú)窮多個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，它們是圖象與軸的交點(diǎn)，可由，解得，即其對(duì)稱(chēng)中心為．【舉一反三】1、將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為奇函數(shù)，則的最小值為A.B.C.D.【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)：，又其為奇函數(shù)，∴，，，，又當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：B2、若函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)（）對(duì)稱(chēng)，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得，，即，，時(shí)，的最大值為.3、【山東省2019屆高三第一次大聯(lián)考】已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在上有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則的最大值是_________.【答案】【解析】依題意，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以或，因?yàn)?，所以，函?shù)的零點(diǎn)可由求得，有四個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)可由求得，有四個(gè)零點(diǎn)，不符合條件.當(dāng)時(shí)，，，所以，所以或，因?yàn)?，所以，函?shù)的零點(diǎn)可由求得，有三個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)可由求得，有三個(gè)零點(diǎn)，綜上，的最大值是.類(lèi)型二與三角函數(shù)的單調(diào)性相關(guān)的最值問(wèn)題【例2】已知,在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【指點(diǎn)迷津】熟記三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及五點(diǎn)作圖法做函數(shù)圖象是解決單調(diào)性問(wèn)題的關(guān)鍵．【舉一反三】1、【山西省呂梁市2019.4統(tǒng)一模擬】若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∴f（x）＝sinx+cosx+ax＝2sin（x+）+ax，在（0，π）上單調(diào)遞增，∴在（0，π）上，f′（x）＝a+2cos（x+）＞0，即a＞2cos（x+）恒成立．在（0，π）上，x+∈（，）上，2cos（x+）的最大值趨于，則a≥，故選：B．2、將函數(shù)（）的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B3.已知函數(shù)，)，若對(duì)于恒成立，的一個(gè)零點(diǎn)為，且在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則的最小值為_(kāi)_____________.【答案】【解析】試題分析：根據(jù)條件對(duì)于恒成立可得到函數(shù)在處取得最大值，的一個(gè)零點(diǎn)為，可列出解得w的范圍即可.詳解：根據(jù)條件對(duì)于恒成立得到，函數(shù)在處取得最大值，又因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)為，故根據(jù)圖象可得到在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則結(jié)合，得到故答案為：9.類(lèi)型三轉(zhuǎn)化為型的最值問(wèn)題【例3】【山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019屆高三4月模擬】若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)在上的最小值是A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為，因?yàn)槠揭坪蟮膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，故，又，所以．所以，由得，所以當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)取得最小值，且最小值為．故選C．【指點(diǎn)迷津】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出參數(shù)的值，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是函數(shù)圖象平移時(shí)弄錯(cuò)平移的方向和平移量，此時(shí)需要注意在水平方向上的平移或伸縮只是對(duì)變量而言的．【舉一反三】1、【甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2019屆高三第四次聯(lián)考】已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期為,最小值為B．的最小正周期為,最小值為C．的最小正周期為,最小值為D．的最小正周期為,最小值為【答案】A【解析】則的最小正周期為，最小值為本題正確選項(xiàng)：2、函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)?則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】如圖所示，，解得，故選B.3.【河北省衡水市2019屆高三下學(xué)期第三次檢測(cè)】若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是()A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可得此函數(shù)在y軸處取得函數(shù)的最值，即，解得=，，所以，，且，令時(shí)，的最小值為.故選：D．類(lèi)型四轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型的最值問(wèn)題【例4】函數(shù)，當(dāng)對(duì)恒成立時(shí)，的最大值為，則__________．【答案】-7【指點(diǎn)迷津】分類(lèi)討論思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).【舉一反三】1、函數(shù)，關(guān)于的為等式對(duì)所有都成立，則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)_________．【答案】令，，設(shè)當(dāng)即時(shí)，∴（舍）當(dāng)即時(shí)，∴當(dāng)即時(shí)，，即∴∴綜上所述，故答案為2、求函數(shù)的值域.【解析】[令sinx+cosx=t,則,其中所以,故值域?yàn)?類(lèi)型五轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)函數(shù)型的最值問(wèn)題【例5】【四川省教考聯(lián)盟2019屆高三第三次診斷】，是：上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，到直線(xiàn)：的距離分別為，，則的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】由題設(shè),其中.可以由題得

≤5，此時(shí).故選：C【指點(diǎn)迷津】本題關(guān)鍵由題設(shè),其中，先利用兩點(diǎn)間的距離公式將轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題，利用三角恒等變換知識(shí)化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求最值得解.【舉一反三】1．【北京市石景山區(qū)2019屆高三3月一模】在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2）是單位圓x2+y2=1上兩點(diǎn)，|AB|=1，則∠AOB=______；|y1+2|+|y2+2|的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由|AB|=1，單位圓的半徑為1，則△AOB為等邊三角形，故∠AOB=；根據(jù)題意可設(shè)A（cosα，sinα），B（cos（α+），sin（α+）），則|y1+2|+|y2+2|=4+sinα+sin（α+）=，故|y1+2|+|y2+2|的最大值為．故答案為：．；.2．【河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)2019屆高三第十四次考試】已知，，滿(mǎn)足，則的取值范圍為（）A．[4，12] B．[4,） C．[0，6] D．[4，6]【答案】A【解析】解：可轉(zhuǎn)化為，故可設(shè)（為參數(shù)），解得所以，因?yàn)?，所以，，故選A.三．強(qiáng)化訓(xùn)練一、選擇題1、【遼寧省撫順市2019屆高三一?！恳阎瘮?shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是()A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，由于：，故：，．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．由于在區(qū)間上恒成立，故：，所以的最大值為故本題選A．2．【安徽省蚌埠市2019屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢查】已知函數(shù)，先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得到的解析式為，考慮該函數(shù)在軸左側(cè)且最靠近軸的對(duì)稱(chēng)軸，該對(duì)稱(chēng)軸為，故只需把的圖象向右平移個(gè)單位，所得的函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)平移為最小平移.3．【廣東省2019屆廣州市高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一)】函數(shù)最大值是A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，，．的最大值為．故選：C．4．【山西省2019屆高三考前適應(yīng)】已知函數(shù)，將其圖象向左平移（＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，將其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，因?yàn)榈玫降暮瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，又因?yàn)椋?，所以故選B5．【安徽省毛坦廠(chǎng)中學(xué)2019屆高三校區(qū)4月聯(lián)考】已知函數(shù)與軸交于點(diǎn)，距離軸最近的最大值點(diǎn)，若，且，恒有，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，，，，由五點(diǎn)作圖法知，解得，，令，.解得，.，，故選:C.6．【湖南省郴州市2019屆高三第二次監(jiān)測(cè)】已知函數(shù)的最大值為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期，即故答案為：B.7．【山東省煙臺(tái)市2019屆高三高考一模】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得的圖象；∵所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，∴，．∵，即，.∴，,則當(dāng)取最小值時(shí)，取，可得，∴函數(shù)的解析式為.故選：C．8．【重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第九次月考】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的最小正值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將函數(shù)的圖象向右平移（＞0）個(gè)單位，可得y＝2sin[2（x﹣φ）]＝2sin（2x2）的圖象；再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin（x2）．再根據(jù)所得圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)，可得2＝kπ，k∈z，即，故的最小正值為，故選：C．9．【天津市第一中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第一次月考】已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，則A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，由，在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得在處取得最小值可得，化簡(jiǎn)可得：,∵,當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，考查此時(shí)在區(qū)間內(nèi)已存在最大值．故選：B．10．【廣東省佛山市第一中學(xué)2019屆高三上期中】若函數(shù)f（x）=2sinx+cosx在[0，α]上是增函數(shù)，當(dāng)α取最大值時(shí)，sinα的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，設(shè)，則.由于在[0，α]上是增函數(shù)，所以，的最大值為，.故選B.11．【河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)2019屆高三第十四次考試】已知，，滿(mǎn)足，則的取值范圍為（）A．[4，12] B．[4,） C．[0，6] D．[4，6]【答案】A【解析】解：可轉(zhuǎn)化為，故可設(shè)（為參數(shù)），解得所以，因?yàn)椋?，，故選A.二、填空題12．【河南省鄭州第一中學(xué)2019屆高三第二次聯(lián)合】將的圖象向右平移個(gè)單位后（），得到的圖象，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】將圖象向右平移個(gè)單位后，得到圖象因?yàn)?，所以，則，則，又因?yàn)椋援?dāng)k=1時(shí)，取得最小值.故答案為：.13．【河北省中原名校聯(lián)盟2019屆高三3.20聯(lián)考】若函數(shù)在間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值是______．【答案】【解析】令，即，∴函數(shù)圖象在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為故答案為：14．【2019年3月2019屆高三第一次全國(guó)大聯(lián)考】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，若在處取得最大值，則___．【答案】【解析】由圖象得的最大值為，最小正周期為8，且過(guò)點(diǎn)，所以，又，所以，將點(diǎn)代入，得，因?yàn)?，所以，所?由題意可得，所以，其中，當(dāng)，即時(shí)取得最大值，所以，所以，故答案為．15．【安徽省六安市毛坦廠(chǎng)中學(xué)2019屆高三3月月考】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最值，則的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【解析】由于函