【備戰(zhàn)2017年高考高三數(shù)學一輪熱門、難點一掃而光】第22講平面向量中的兩個定理考大綱求:1．認識平面向量的基本定理及其意義．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；2．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算．理解用坐標表示的平面向量共線的條件．基礎知識回首:1.向量的數(shù)乘運算：數(shù)λ與向量的積的運算，運算法例：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λ與的方向同樣；當λ＜0時，λ的與的方向相反；當λ＝0時，λ＝0運算律：λ(μ)＝(λμ)；(λ＋μ)＝λ＋μ；λ(＋)＝λ＋λ2.共線向量定理向量(≠0)與共線，當且僅當有獨一一個實數(shù)λ，使得＝λ2．平面向量基本定理及坐標表示uruur平面向量基本定理：假如e1,e2是同一平面的兩個不共線向量，那么關于這一平面的uruur隨意愿量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a1e12e2.此中，不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面全部向量的一組基底.平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．平面向量的坐標表示：①在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向同樣的兩個單位向量i，j作為基底，xyrrr(x,y)關于平面的一個向量，有且只有一對實數(shù)，使axiyj，把有序數(shù)對叫做向，量的坐標，記作＝(x,y)，此中叫在x軸上的坐標，y叫在y軸上的坐標．uuurrruuur②設OAxiyj，則向量OA的坐標(x,y)就是終點A的坐標，即若

uuurOA(x,y)，則A點坐標為(x,y)，反之亦建立．(O是坐標原點)應用舉例:種類一、共線向量定理的應用【例1】【2017省棗莊八中高三月考】設兩個非零向量與b不共線，uuuruuuruuur(1)若AB＝＋，BC＝2＋8，CD＝3(－)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確立實數(shù)k，使k＋和＋k同向．【答案】看法析；k＝1.【例2】【2017正定一中高三月考】如圖，uuur在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，AE2uuuruuuruuur＝3AD，AB＝，AC＝uuuruuuruuuruuuruuur(1)用，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．【答案】看法析uuuruuuruuur【分析】(1)延伸AD到G，使AD＝1AG，連結(jié)BG，CG，獲得?ABGC，所以AG＝＋，uuur22uuuruuur11uuur1則有AD＝2AG＝(＋)，AE＝AD＝(＋)，233uuur1uuur1uuuruuuruuur11AF＝2AC＝2，BE＝AE－AB＝3(＋)－＝3(b－2)，uuuruuuruuur11BF＝AF－AB＝2－＝2(b－2)．uuur2uuuruuuruuur(2)證明：由(1)可知BE＝3BF，又由于BE，BF有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線．評論：共線向量定理的3個應用(1)證明向量共線：關于向量，，若存在實數(shù)λ，使＝λ，則與共線．uuuruuur，則A，B，C三點共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使AB＝λAC(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．提示]證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點．種類二、平面向量基本定理的應用【例3】【2017八中月考】假如e1，e2是平面α一組不共線的向量，那么以下四組向量中，不可以作為平面全部向量的一組基底的是()A．e與e＋eB．e－2e與e＋2e1121212C．e＋e與e－eD．e＋3e與6e＋2e12121221【答案】D【分析】選項A中，設e1＋e2＝λe1，則1＝λ，無解；選項B中，設e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，1＝0λ＝1，無解；選項C中，設e1＋e2＝λ(e1－e2)，則λ＝1，無解；選項D中，e1＋則1＝－λ－2＝2λ13e2＝2(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量．【例4】【2017省懷仁縣第一中學高三月考】uuuruuur如圖，以向量OA＝，OB＝為鄰邊作?OADB，uuuur1uuuruuur1uuuruuuuruuuruuuurBM＝3BC，CN＝3CD，用，表示OM，ON，MN.【答案】看法析【例

5】【2017

省襄陽市第四中學高三月考】

如圖，G是△OAB

的重心，

P，Q分別是邊

OA，OB

上的動點，且

P，G，Q

三點共線．uuuruuuruuuruuuruuur(1)設PG＝λPQ，將OG用λ，OP，OQ表示；uuuruuuruuuruuur1是定值．(2)設OP＝xOA，OQ＝y(tǒng)OB，證明：1＋xy【答案】看法析uuuruuuruuuruuuruuur【分析】(1)OG＝OP＋PG＝OP＋λPQuuuruuuruuuruuuruuur＋λ(－＋λuuur＝(1－λ)uuuruuuruuuruuur(2)證明：一方面，由(1)，得OGOP＋λ＝(1－λ)xOA＋λy；①OQOB另一方面，∵G是△OABuuur＝2uuuur21uuuruuur)＝1uuur＋1uuur.的重心，∴OG3OM＝×(＋OB3OA3OB32OA②uuuruuur1，1＝3－3λ，1－λx＝3x∴1＋1＝而OA，OB不共線，∴由①②，得解得λy＝11＝3λ.xy3.y3(定值)．方法、規(guī)律概括:1.應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法例或三角形法例進行向量的加、減或數(shù)乘運算．2.用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再經(jīng)過向量的運算來解決．3.解題過程中，常利用向量相等則其坐標同樣這一原則，經(jīng)過列方程(組)來進行求解．實戰(zhàn)操練:uuur1．【2017一中高三月考】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且AB＝a，uuuruuurAD＝b，則BE＝()1111A．b－2aB．b＋2aC．a(chǎn)＋2bD．a(chǎn)－2b【答案】Auuuruuur2．【2017省市高三月考試題】已知O，A，B，C為同一平面的四個點，若2AC＋CB＝0，uuur則向量OC等于()A.2uuur－1uuurB．－1uuur2uuur3OA3OB3OA＋3OB．uuuruuurD．－uuuruuur－OB＋2OBC2OAOA【答案】Cuuuur3uuuur3uuuur3．【2017省市一中高三月考】設M是△ABC所在平面上的一點，且MB＋2MA＋2MC＝uuuur0，D是AC的中點，則|MD|)|uuuur的值為(BM|11A.3B.2C．1D．2【答案】A【分析】∵D是AC的中點，延伸MD至E，使得DE＝MD，∴四邊形MAEC為平行四邊uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur形，∴MD＝1ME＝1(MA＋MC)．∵MB＋3MA＋3MC＝0，∴MB＝－3(MA＋22222uuuuruuuuruuuuruuuur|MD||MD|1MC)＝－3MD，∴，應選A.uuuur＝uuuur＝|BM||－3MD|3uuur4．【2017一中高三月考】設D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且DC＝uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，則AD＋BE＋CF與BC()A．反向平行B．同向平行C．相互垂直D．既不平行也不垂直【答案】Auuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【分析】由題意得AD＝AB＋BD＝AB＋1BC，BE＝BA＋AE＝BA＋1AC，uuuruuuruuuruuur3uuuruuuruuuruuur3uuuruuuruuuruuurCF＝CB＋BF＝CB＋1BA，所以AD＋BE＋CF＝CB＋1(BC＋AC－AB)＝uuuruuuruuur3uuuruuur3uuuruuurCB＋2BC＝－1BC，故AD＋BE＋CF與BC反向平行．33uuur5.【2017省市如東縣一中高三月考】如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，OP＝uuuruuuruuuruuurxOA＋yOB，且BP＝2PA，則()2112A．x＝3，y＝3B．x＝3，y＝31，y＝33，y＝1C．x＝44D．x＝44【答案】Auuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【分析】由題意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋2BA＝OB＋2(OA33uuuruuuruuurOB)＝2OA＋1OB，所以x＝2，y＝1.3333uuuruuuruuur6．【2017省永州市高三月考】設O在△ABC的部，D為AB的中點，且OA＋OB＋2OC＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為()A．3B．4C．5D．6【答案】B7．【2017省定州中學高三月考】在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，uuuruuuruuur，則μ的取值圍是________．BC2ECDAE＝＋μ在線段上，若ADAB＝，點【答案】0，1.2uuuruuuruuur【分析】由題意可求得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC.∵點E在線段CD上，∴DEuuur＝λDC(0≤λ≤．1)uuuruuur2μuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2μ∵AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，∴＝1，λλλ10，1.即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.即μ的取值圍是22218．【2017省市高三月考】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝3BC，E，F(xiàn)分別為線uuuruuuruuuruuuruuur段AD與BC的中點．設BA＝a，BC＝b，試用a，b為基底表示向量EF，DF，CD.【答案】看法析uuuruuuruuuruuur111uuuruuuruuur1【分析】EF＝EA＋AB＋BF＝－b－a＋b－a，DF＝DE＋EF＝－b＋6b＝36211uuuruuuruuur112b－a，CD＝CF＋FD＝－b－a＝b－6b－a＝a－b.36239．【2017林芝市高三月考】設e1，e2是兩個不共線的向量，已知uuur＋3e2，CD＝2e1－e2.

uuuruuurAB＝2e1－8e2，CB＝e1(1)求證：A，B，D三點共線；uuur(2)若BF＝3e12，且B，D，F(xiàn)三點共線，求k的值．－ke【答案】看法析uuuruuuruuur10．【2017泰興中學高三月考】已知O，A，B是不共線的三點，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.【答案】看法析uuuruuuruuuruuuruuuruuur【分析】證明：(1)若m＋n＝1，則OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur∴OP－OB＝m(OA－OB)，即BP＝mBA，∴BP與BA共線．uuu