專題7.3等比數(shù)列及其前n項和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.2．（2021·山東濟南市·）已知Sn是遞增的等比數(shù)列{an}的前n項和，其中S3＝，a32＝a4，則a5＝（）A． B． C．8 D．16【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)題意列方程，解出和q即可.【詳解】解：設(shè)遞增的等比數(shù)列{an}的公比為，且q1，∵S3＝，，∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．則＝＝8．故選：C．3．（2021·重慶高三其他模擬）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由結(jié)合已知條件求、，再利用等比數(shù)列前n項和公式求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，又，∴，故，又，即.故選：C4．（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（理））若等比數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式建立方程組，解之可得選項.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，所以，又，所以，故選：A.5.（2020·河北省曲陽縣第一高級中學(xué)高一期末）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】D【解析】根據(jù)題意，記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解可得，則；即此人第二天走的路程里數(shù)為96；故選：D．6．（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由可得出，取，由，進而判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，若，，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.7．（2021·黑龍江大慶市·大慶實驗中學(xué)高三其他模擬（文））在數(shù)列中，，且，則___________.【答案】【解析】由，，得到且，得出數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由，可得，又由，可得，所以，所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：.8．（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，則_____，_______．【答案】【解析】利用求通項公式，再求出.【詳解】對于，當(dāng)n=1時，有，解得：1；當(dāng)時，有，所以，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，，所以.故答案為：1，.9.（2021·浙江杭州市·杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，則________，________．【答案】【解析】根據(jù)，求出數(shù)列的通項公式，再代入求出．【詳解】解：因為當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，所以，即于是是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以．所以，故答案為：；；10.（2018·全國高考真題（文））等比數(shù)列an中，a（1）求an（2）記Sn為an的前n項和．若Sm【答案】（1）an=(-2)（2）m=6【解析】（1）設(shè){an}的公比為q由已知得q4=4q2，解得q=0故an=(-2)（2）若an=(-2)n-1，則Sn若an=2n-1，則Sn=2綜上，m=6練提升練提升TIDHNEG1．（遼寧省凌源二中2018屆三校聯(lián)考)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，結(jié)合可得：，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，即：.本題選擇B選項.2．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，“數(shù)塔”的第行第個數(shù)為(其中，，且).將這些數(shù)依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數(shù)列，設(shè)的前項和為.若，則（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【解析】根據(jù)“數(shù)塔”的規(guī)律，可知第行共有個數(shù)，利用等比數(shù)列求和公式求出第行的數(shù)字之和，再求出前行的和，即可判斷取到第幾行，再根據(jù)每行數(shù)字個數(shù)成等差數(shù)列，即可求出；【詳解】解：“數(shù)塔”的第行共有個數(shù)，其和為，所以前行的和為故前行所有數(shù)學(xué)之和為，因此只需要加上第10行的前3個數(shù)字1,2,4，其和為，易知“數(shù)塔”前行共有個數(shù)，所以故選：C3．（2021·江蘇高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，，其前項和為，則下列結(jié)論中正確的有（）A．是遞增數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【解析】將遞推公式兩邊同時取指數(shù)，變形得到，構(gòu)造等比數(shù)列可證為等比數(shù)列，求解出通項公式則可判斷A選項；根據(jù)判斷B選項；根據(jù)的通項公式以及對數(shù)的運算法則計算的正負并判斷C選項；將的通項公式放縮得到，由此進行求和并判斷D選項.【詳解】因為，所以，從而，，所以，所以，又，是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，即，又因為在時單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以是遞增數(shù)列，故A正確；因為，所以，所以，所以，所以不是等比數(shù)列，故B錯誤.因為，而，從而，于是，，故C正確.因為，所以，故D正確.故選：ACD.4.（2019·浙江高三期末）數(shù)列的前n項和為，且滿足，Ⅰ求通項公式；Ⅱ記，求證：．【答案】Ⅰ；Ⅱ見解析【解析】Ⅰ，當(dāng)時，，得，又，，數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，；證明：Ⅱ，，時，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中學(xué)高三三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，其中.（1）若，求出；（2）是否存在實數(shù)，使為等比數(shù)列？若存在，求出，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）將代入，由遞推關(guān)系求出通項公式，并檢驗當(dāng)時是否滿足，即可得到結(jié)果；（2）先假設(shè)存在實數(shù)，滿足題意，結(jié)合已知條件求出滿足數(shù)列是等比數(shù)列的實數(shù)，的值，運用分組求和法求出的值.【詳解】（1）由題可知：當(dāng)時有：，當(dāng)時，，又滿足上式，故.（2）假設(shè)存在實數(shù)，滿足題意，則當(dāng)時，由題可得：，和題設(shè)對比系數(shù)可得：，，.此時，，故存在，使得是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.從而.所以.6．（2021·遼寧本溪市·高二月考）已知數(shù)列，滿足，，設(shè)，（為實數(shù)）．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）由，變形為，再利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的通項公式求解；（3）根據(jù)是遞增數(shù)列，由,恒成立求解.【詳解】（1）因為，所以，即，又因為，所以，所以，所以是等比數(shù)列．（2）由，公比為2，得，所以．（3）因為，所以，所以，因為是遞增數(shù)列，所以成立，故，成立，即，成立，因為是遞減數(shù)列，所以該數(shù)列的最大項是，所以的取值范圍是．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：，，，，…；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：，，，，….記第行第個數(shù)為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和.【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.【解析】（I）由數(shù)陣寫出，，，由此可歸納出.（II），利用錯位相減法求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由數(shù)陣可知：，，，由此可歸納出.（Ⅱ），所以，錯位相減得.8．（2021·山東煙臺市·高三其他模擬）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求的前2n項和.【答案】（1），；（2）數(shù)列的前2n項和為.【解析】（1）由可得可得答案；（2）由得，兩式相除可得數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成等比數(shù)列，再由（1）可得數(shù)列的前2n項的和.【詳解】（1）由，，得，所以.因為，所以，所以，.又當(dāng)時，，適合上式.所以，.（2）因為，，所以，又，所以.所以數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以為首項?2為公比的等比數(shù)列.故數(shù)列的前2n項的和，所以數(shù)列的前2n項和為.9．（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列中，，（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，當(dāng)取得最大值時，求的值.【答案】（I）見解析（2）最大，即【解析】（1）兩式相減，得∴即：∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，即也滿足上式令，則，∴最大，即10.（2021·浙江高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，.（1）數(shù)列，的通項公式；（2）若，求使成立(表示不超過的最大整數(shù))的最大整數(shù)的值.【答案】（1），；（2）最大值為44.【解析】（1）由題得數(shù)列是等比數(shù)列，即求出數(shù)列的通項；由題得是一個以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，即得數(shù)列的通項公式；（2）先求出，再求出即得解.【詳解】解：（1）由得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，解得.由，得，所以是一個以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，所以，解得.（2）由得，記，，所以為單調(diào)遞減且，，，所以，因此，當(dāng)時，的的最大值為44；當(dāng)時，的的最大值為43；故的的最大值為44.練真題練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．2.（2020·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.3.（2019·全國高考真題（文））已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．4．（2019·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．5．（2020·海南省高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項公式為：.(2)由于：，故：.6．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，