專題06-指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(基礎(chǔ)篇)-2015年高考數(shù)學(xué)備考藝體生文化課精選好題突圍系列(原卷版)《2015年高考備考藝體生文化課精選好題突圍系列》專題6指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)冪的運算、對數(shù)運算【背一背基礎(chǔ)知識】1.根式：一般地，如果，那么就叫做的次方根，其中，且.式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).其中；2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：；我們規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：；其中的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義；3.正數(shù)的有理數(shù)冪的運算法則如下：（1）；（2）；（3）；4.對數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)；其中把以為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把記作，把以（無理數(shù)為底的底數(shù)叫做自然對數(shù)，并把記作；其中指數(shù)與對數(shù)的互化為：.5.對數(shù)恒等式：（1）；（2）；（3）.5.對數(shù)的運算性質(zhì)：如果且，，，那么：（1）；（2）；（3）.6.對數(shù)的換底公式：.推論：（1）；（2）.【講一講基本技能】必備技能：1.指數(shù)冪的化簡與求值(1)化簡原則：①化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；②化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪；③化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；④注意運算的先后順序．提醒：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于零，否則不能用性質(zhì)來運算．(2)結(jié)果要求：①若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；②若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示；③結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．2.對數(shù)的化簡與求值(1)對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的，因此，經(jīng)常會用到換底公式及其推論；在對含有字母的對數(shù)式化簡時，必須保證恒等變形．(2)(a>0且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中要注意靈活運用．(3)利用對數(shù)運算法則，在真數(shù)的積、商、冪與對數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．(4)有限制條件的對數(shù)化簡、求值問題，往往要化簡已知和所求，利用“代入法”.3.形如型的方程、不等式或函數(shù)問題，利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為型的一元二次方程、不等式或二次函數(shù)問題，利用相關(guān)知識或方法求解；求解對數(shù)方程時，直接利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化，利用指數(shù)相關(guān)知識求解；對于同底數(shù)的對數(shù)的運算時，一般利用底數(shù)的運算性質(zhì)即可；對于不同底數(shù)的運算時，一般利用換底公式及其推論來解決.典型例題例1.例2．計算：=.例3設(shè)a>0，將表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是（）A.B.C.D.例4設(shè)，且，則（）A.B.C.D.【練一練趁熱打鐵】1.（）A.B.C.D.2..3.若（）A． B． C． D．4..指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)【背一背基礎(chǔ)知識】1.指數(shù)函數(shù)：函數(shù)（且）稱為指數(shù)函數(shù)，其中底數(shù)是不等于的常數(shù)，指數(shù)為自變量；2.指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)：圖象定義域值域定點圖象恒過定點奇偶性非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在上是單調(diào)遞增函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)：一般地，我們把函數(shù)（且）稱為對數(shù)函數(shù)，其中為自變量，函數(shù)的定義域為，叫做對數(shù)函數(shù)的底數(shù)；特別地，我們稱以為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)為常用對數(shù)函數(shù)；稱以無理數(shù)為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)叫做自然對數(shù)函數(shù).4.對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)：圖象定義域值域定點圖象恒過定點奇偶性非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在上是單調(diào)遞增函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)5.反函數(shù)：我們將函數(shù)（且）與函數(shù)（且）稱為互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱.【講一講基本技能】必備技能：對于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)基本性質(zhì)的考查，一般利用定義法中的相關(guān)步驟驗證即可；對于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的考查，一般要根據(jù)底數(shù)的取值范圍才能確定其單調(diào)性，所以有些時候要對底數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，進(jìn)而確定相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性；在比較大小時，若能化成底數(shù)相同的指數(shù)式或?qū)?shù)式，只需利用相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性即可進(jìn)行比較，若指數(shù)式與對數(shù)式同時存在時，一般通過利用中間值與結(jié)合不等式的傳遞性得出所考察的數(shù)的大小關(guān)系；在解有關(guān)的指數(shù)或?qū)?shù)不等式時，一般將不等式兩邊化成同底數(shù)的指數(shù)式或?qū)?shù)式，利用相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性得出相應(yīng)的不等式，并注意相應(yīng)結(jié)構(gòu)本身的限制條件.2.典型例題例1函數(shù)的最小值為_________.例2函數(shù)的值域是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）例3不等式的解集是__________.【練一練趁熱打鐵】1.如圖，過原點O的直線與函數(shù)的圖像交于A，B兩點，過點B作y軸的垂線交函數(shù)的圖像于點C，若AC平行于y軸，則點A的坐標(biāo)是________．2.若，，，則（）A.B.C.D.3.若函數(shù)是函數(shù)（且）的反函數(shù)，且，則（）A.B.C.D.冪函數(shù)【背一背基礎(chǔ)知識】1.冪函數(shù)：把形如的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象與基本性質(zhì)：的范圍在第一象限的圖象特征下凹，圖象在第一象限無限接近于軸和軸上凸下凹單調(diào)性在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增定點和和【講一講基本技能】1.必備技能：冪函數(shù)，其中為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．在上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸．冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點．2.典型例題例1已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為.例2已知冪函數(shù)的圖像過點，若，則實數(shù)的值為（）A．B．C．D．【練一練趁熱打鐵】1.【若(2m＋1)>(m2＋m－1)，則實數(shù)m的取值范圍是 ()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－\r(5)－1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，＋∞))C．(－1,2) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，2))2.當(dāng)時，冪函數(shù)為減函數(shù)，則實數(shù)（）A．B．C．或D．函數(shù)的零點【背一背基礎(chǔ)知識】1．方程的根與函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.（２）函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo).即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.（３）函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系函數(shù)的零點就是方程的根，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)．（４）三個等價關(guān)系(三者相互轉(zhuǎn)化)提醒：函數(shù)的零點不是點，是方程的根，即當(dāng)函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零．函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo)．２．二次函數(shù)的零點：１）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點；２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點；３）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點.３．零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有·，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在使得，這個也就是方程的根．注意以下兩點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點．③由函數(shù)在閉區(qū)間上有零點不一定能推出·，如圖所示．所以·是在閉區(qū)間上有零點的充分不必要條件．注意：①如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間上是一個單調(diào)函數(shù)，那么當(dāng)·時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點，即存在唯一的，使.②如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有·，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不一定沒有零點．③如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，那么當(dāng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點時不一定有·，也可能有·.４.二分法二分法及步驟：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：（1）確定區(qū)間，驗證·，給定精度；（2）求區(qū)間，的中點；（3）計算：①若=，則就是函數(shù)的零點；②若·<，則令=（此時零點）；③若·<，則令=（此時零點）；（4）判斷是否達(dá)到精度；即若，則得到零點零點值（或）；否則重復(fù)步驟．注：函數(shù)零點的性質(zhì)：從“數(shù)”的角度看：即是使的實數(shù)；從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)；若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點通常稱為不變號零點；若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點通常稱為變號零點.注：用二分法求函數(shù)的變號零點：二分法的條件·表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點.（５）用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟須注意的問題：①第一步中要使：(1)區(qū)間長度盡量??；(2)，的值比較容易計算且·.②根據(jù)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，求函數(shù)的零點與求相應(yīng)方程的根是等價的．對于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點即為方程的根．③求函數(shù)零點近似值的關(guān)鍵是判斷區(qū)間長度是否小于精確度，當(dāng)區(qū)間長度小于精確度時，運算即告結(jié)束，此時區(qū)間內(nèi)的任何一個值均符合要求，而我們通常取區(qū)間的一個端點值作為近似解．５．二次方程的實根分布及條件.①方程的兩根中一根比大，另一根比??；②二次方程的兩根都大于③二次方程在區(qū)間內(nèi)有兩根④二次方程在區(qū)間內(nèi)只有一根，或(檢驗)或(檢驗)檢驗另一根若在內(nèi)成立．注意：二次函數(shù)零點分布問題，即一元二次方程根的分布問題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖象把根的分布情況轉(zhuǎn)化為不等式組或方程．二次方程根的分布問題，通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)與軸交點的個數(shù)問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象通過對稱軸，判別式Δ，相應(yīng)區(qū)間端點函數(shù)值來考慮．６．有關(guān)函數(shù)零點的重要結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值符號可能不變．(4)函數(shù)至多有個零點【講一講基本技能】必備技能：1．函數(shù)零點的求法：①（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.２．確定函數(shù)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點的存在性定理:首先看函數(shù)在區(qū)間上的圖象是否連續(xù),再看是否有·.若有,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.３．確定方程在區(qū)間上根的個數(shù)的方法(1)解方程法:當(dāng)對應(yīng)方程易解時,可先解方程,看求得的根是否落在區(qū)間上再判斷.(2)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)與的圖象,觀察其在區(qū)間上交點個數(shù)來判斷.４．函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且·，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；(3)利用圖像交點的個數(shù)：畫出兩個函數(shù)的圖像，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．函數(shù)零點個數(shù)的判斷通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)，其步驟是：(1)令；(2)構(gòu)造，；(3)作出圖像；(4)由圖像交點個數(shù)得出結(jié)論．５．應(yīng)用函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．６．與方程根有關(guān)的計算和大小比較問題的解法數(shù)形結(jié)合法:根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點的對稱性等進(jìn)行計算與比較大小.７．在求方程解的個數(shù)或者根據(jù)解的個數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問題時，數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個函數(shù)，，即把方程寫成的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系．2典型例題例1函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A.B.C.D.例2函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的零點個數(shù)是（）A.B.C.D.【練一練趁熱打鐵】1.方程的解的個數(shù)為（）(A)1(B)3(C)4(D)52.函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.B.C.D.選擇題（12*5=60分）1.設(shè)，，，則（）A.B.C.D.2.函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.3.已知函數(shù)f(x)=2x-2,則函數(shù)y=|f(x)|的圖象可能是()4.已知，，，，則下列等式一定成立的是（