第二課圓錐曲線與方程

第二課1【網(wǎng)絡(luò)體系】【網(wǎng)絡(luò)體系】2【核心速填】1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于______)的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|_________)的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l_______點(diǎn)F)距離_____的點(diǎn)的軌跡|F1F2|且大于零不經(jīng)過相等【核心速填】橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩平面內(nèi)與兩個(gè)定平面3橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程__________或___________(a>b>0)_________或___________(a>0,b>0)______或y2=-2px或______或x2=-2py(p>0)關(guān)系式_____=c2_____=c2y2=2pxx2=2pya2-b2a2+b2橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)__________或_________4橢圓雙曲線拋物線圖形封閉圖形無限延展,但有漸近線y=±x或y=±x無限延展,沒有漸近線變量范圍|x|≤a,|y|≤b或|y|≤a,|x|≤b|x|≥a或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0橢圓雙曲線拋物線圖形封閉圖形無限延展,但有無限延展,沒有5橢圓雙曲線拋物線對(duì)稱性對(duì)稱中心為原點(diǎn)無對(duì)稱中心

兩條對(duì)稱軸一條對(duì)稱軸

頂點(diǎn)四個(gè)兩個(gè)一個(gè)離心率e=,且0<e<1e=,且e>1e=1決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開口大小2p決定開口大小橢圓雙曲線拋物線對(duì)稱對(duì)稱中心為原點(diǎn)無對(duì)稱中心

兩條對(duì)稱軸一條62.橢圓的焦點(diǎn)三角形設(shè)P為橢圓(a>b>0)上任意一點(diǎn)(不在x軸上),F1,F2為焦點(diǎn)且∠F1PF2=α,則△PF1F2為焦點(diǎn)三角形(如圖).(1)焦點(diǎn)三角形的面積S=b2tan.(2)焦點(diǎn)三角形的周長L=2a+2c.2.橢圓的焦點(diǎn)三角形73.雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧(1)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求其漸近線方程時(shí),最簡單實(shí)用的辦法是:把標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0,即可得到兩條漸近線的方程.如雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為=0(a>0,b>0),即y=____;雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為=0(a>0,b>0),即y=_____.3.雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧8(2)如果雙曲線的漸近線為時(shí),它的雙曲線方程可設(shè)為_______________.(2)如果雙曲線的漸近線為時(shí),它的雙曲線方程94.共軛雙曲線(1)雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的漸近線.(2)雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的焦距.(3)與=1具有相同漸近線的雙曲線系方程為=k(k≠0).4.共軛雙曲線105.拋物線方程的設(shè)法對(duì)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線方程,一般可設(shè)為y2=ax(a≠0)或x2=ay(a≠0).5.拋物線方程的設(shè)法116.拋物線的焦點(diǎn)弦問題拋物線過焦點(diǎn)F的弦長|AB|的一個(gè)重要結(jié)論.(1)y2=2px(p>0)中,|AB|=_______.(2)y2=-2px(p>0)中,|AB|=-x1-x2+p.(3)x2=2py(p>0)中,|AB|=_______.(4)x2=-2py(p>0)中,|AB|=-y1-y2+p.x1+x2+py1+y2+p6.拋物線的焦點(diǎn)弦問題x1+x2+py1+y2+p12【易錯(cuò)警示】1.橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a中,應(yīng)有2a>|F1F2|,雙曲線定義||PF1|-|PF2||=2a中,應(yīng)有2a<|F1F2|,拋物線定義中,定點(diǎn)F不在定直線l上.2.橢圓中幾何量a,b,c滿足a2=b2+c2,雙曲線中幾何量a,b,c滿足a2+b2=c2.【易錯(cuò)警示】133.橢圓離心率e∈(0,1),雙曲線離心率e∈(1,+∞),拋物線離心率e=1.4.求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),一定要先區(qū)別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,選取合適的形式.5.由標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)位置時(shí),橢圓看分母的大小,雙曲線看x2,y2系數(shù)的符號(hào).3.橢圓離心率e∈(0,1),雙曲線離心率e∈(1,+∞),146.雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為y=雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=7.直線與雙曲線、直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)應(yīng)有兩種情況:一是相切;二是直線與雙曲線的漸近線平行、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行.6.雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為15類型一軌跡問題【典例1】1.(2016·鄭州高二檢測(cè))一動(dòng)圓與兩圓：x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為

(

)A.拋物線 B.雙曲線C.雙曲線的一支 D.橢圓類型一軌跡問題162.已知圓C：x2+(y-3)2=9，過原點(diǎn)作圓C的弦OP，求OP中點(diǎn)Q的軌跡方程.2.已知圓C：x2+(y-3)2=9，過原點(diǎn)作圓C的弦OP，17【解析】1.選C.x2+y2=1是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，x2+y2-6x+5=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4，是圓心為A(3，0)，半徑為2的圓，設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P，動(dòng)圓半徑為r，如圖，【解析】1.選C.x2+y2=1是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓18則?|PA|-|PO|=1<|AO|=3，符合雙曲線的定義，結(jié)合圖形可知，動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.則?|PA|-|PO|=1<|AO|=192.方法一：(直接法)如圖，因?yàn)辄c(diǎn)Q是OP的中點(diǎn)，所以∠OQC=90°.設(shè)Q(x，y)，由題意，得|OQ|2+|QC|2=|OC|2，即x2+y2+[x2+(y-3)2]=9，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為(去掉原點(diǎn)).2.方法一：(直接法)20方法二：(定義法)如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)Q是OP的中點(diǎn)，所以∠OQC=90°，則點(diǎn)Q在以O(shè)C為直徑的圓上，故點(diǎn)Q的軌跡方程為

(去掉原點(diǎn)).方法二：(定義法)21方法三：(代入法)設(shè)P(x1，y1)，Q(x，y)，由題意，得即又因?yàn)閤12+(y1-3)2=9，所以4x2+4=9，即點(diǎn)Q的軌跡方程為(去掉原點(diǎn)).方法三：(代入法)22【延伸探究】把本例1的條件“都外切”換成“都內(nèi)切”【解析】選C.設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，由題意可知，|PO|=r-1，|PA|=r-2，故|PO|-|PA|=1，所以動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.【延伸探究】把本例1的條件“都外切”換成“都內(nèi)切”23【方法技巧】求曲線的方程的常用方法及特點(diǎn)(1)直接法：動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法：動(dòng)點(diǎn)滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量.【方法技巧】求曲線的方程的常用方法及特點(diǎn)24(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的.如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一25(4)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型，可設(shè)出方程形式，再根據(jù)條件確定待定的系數(shù).(4)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型，可設(shè)出方程形式，26【變式訓(xùn)練】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)A(1，0)與到定直線l：x=3的距離之和等于4，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？【解析】設(shè)M(x，y)是軌跡上的任意一點(diǎn)，作MN⊥l于N，【變式訓(xùn)練】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)A(1，0)與到定直線l：x=327由|MA|+|MN|=4得

+|x-3|=4.當(dāng)x≥3時(shí)，上式化簡為y2=-12(x-4)；當(dāng)x<3時(shí)，上式化簡為y2=4x.所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2=-12(x-4)(x≥3)和y2=4x(x<3)，其軌跡是兩條拋物線段.由|MA|+|MN|=4得28【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足||=2a.點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足=0，||≠0，求點(diǎn)T的軌跡C的方程.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右29【解題指南】設(shè)動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于x，y的等式，化簡得解.【解題指南】設(shè)動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于30【解析】方法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)||=0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上.當(dāng)||≠0且||≠0時(shí)，由=0得【解析】方法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，31又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在△QF1F2中，=a，所以有x2+y2=a2，綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).32方法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)||=0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上.當(dāng)||≠0且||≠0時(shí)，由=0得又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).方法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，33設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x'，y')，則因此①由||=2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②將①代入②，可得x2+y2=a2.綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x'，y')，則34類型二圓錐曲線的定義及應(yīng)用【典例2】(2016·合肥高二檢測(cè))雙曲線16x2-9y2=144的左、右兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線上,且|PF1|·|PF2|=64,求△PF1F2的面積.類型二圓錐曲線的定義及應(yīng)用35【解析】雙曲線方程16x2-9y2=144化簡為即a2=9,b2=16,所以c2=25,解得a=3,c=5,所以F1(-5,0),F2(5,0).設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由雙曲線的定義知|m-n|=2a=6,又已知m·n=64,【解析】雙曲線方程16x2-9y2=144化簡為36在△PF1F2中,由余弦定理知所以∠F1PF2=60°,所以所以△PF1F2的面積為.在△PF1F2中,由余弦定理知37【延伸探究】本例條件“|PF1|·|PF2|=64”改為“PF1⊥PF2”,則△PF1F2的面積是多少?【解析】雙曲線16x2-9y2=144,化簡為即a2=9,b2=16,所以c2=25,解得a=3,c=5,所以|F1F2|=10.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n.【延伸探究】本例條件“|PF1|·|PF2|=64”改為“P38因?yàn)镻F1⊥PF2,所以有m2+n2=(2c)2=100,由雙曲線的定義得|m-n|=2a=6,所以(m-n)2=36,即m2+m2-2m·n=36,因此有m·n=32,所以所以△PF1F2的面積為16.因?yàn)镻F1⊥PF2,所以有m2+n2=(2c)2=100,39【方法技巧】“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用應(yīng)用一:在求軌跡方程時(shí),若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據(jù)圓錐曲線的定義,寫出所求的軌跡方程;應(yīng)用二:涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí),常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來解決;【方法技巧】“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用40應(yīng)用三:在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí),常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決.特別提醒:應(yīng)用定義解題時(shí)注意圓錐曲線定義中的限制條件.應(yīng)用三:在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí),常利用定義把到焦點(diǎn)的距離41【變式訓(xùn)練】如圖所示,已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,離心率為2,F1,F2為左、右焦點(diǎn).P為雙曲線上一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式訓(xùn)練】如圖所示,已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,離42【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)閑==2,所以c=2a.由雙曲線的定義有||PF1|-|PF2||=2a=c,在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·(1-cos60°),即4c2=c2+|PF1||PF2|.①【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為43又所以|PF1||PF2|sin60°=,即|PF1||PF2|=48,②由①②得,c2=16,c=4,則a=2,b2=c2-a2=12.所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為又44【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016·長沙高二檢測(cè))過雙曲線C:

(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F1(-2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0)分別作x軸的垂線,交雙曲線的兩漸近線于A,B,C,D四點(diǎn),且四邊形ABCD的面積為16.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn),以P為圓心,PF2為半徑的圓交射線PF1于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016·長沙高二檢測(cè))過雙曲線C:45【解析】(1)由解得y=,由雙曲線及其漸近線的對(duì)稱性知四邊形ABCD為矩形,故四邊形ABCD的面積為4×=16,所以b=a,結(jié)合c=2且c2=a2+b2得:a=1,b=,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.【解析】(1)由解得y=,由雙曲線及其漸近46(2)P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn),故||PF1|-|PF2||=2,又M點(diǎn)在射線PF1上,且|PM|=|PF2|,故|F1M|=||PF1|-|PM||=||PF1|-|PF2||=2,所以點(diǎn)M的軌跡是以F1為圓心,半徑為2的圓,其軌跡方程為(x+2)2+y2=4.(2)P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn),故||PF1|-|PF2||=247類型三圓錐曲線的方程【典例3】求與橢圓有相同的焦點(diǎn),且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.類型三圓錐曲線的方程48【解析】因?yàn)樗运髾E圓的焦點(diǎn)為設(shè)所求橢圓的方程為(a>b>0),因?yàn)樗詀=5,所以b2=a2-c2=20,所以所求橢圓的方程為【解析】因?yàn)?9【方法技巧】處理圓錐曲線問題的策略(1)待定系數(shù)法求圓錐曲線的步驟:①定位置:先確定圓錐曲線焦點(diǎn)的位置,從而確定方程的類型;②設(shè)方程:根據(jù)方程的類型,設(shè)出方程;③求參數(shù):利用已知條件,求出a,b或p的值;④得方程:代入所設(shè)方程,從而得出所求方程.【方法技巧】處理圓錐曲線問題的策略50(2)焦點(diǎn)位置不確定的曲線方程的設(shè)法:①橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n);②雙曲線方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m·n<0);③拋物線方程可設(shè)為y2=ax(a≠0)或x2=ay(a≠0).(2)焦點(diǎn)位置不確定的曲線方程的設(shè)法:51(3)共焦點(diǎn)的曲線方程的設(shè)法:①與橢圓(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為

②與雙曲線(a>0,b>0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為(3)共焦點(diǎn)的曲線方程的設(shè)法:52【變式訓(xùn)練】(2015·全國卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.【解題指南】設(shè)出圓的方程為(x-a)2+y2=r2,然后由兩點(diǎn)間距離公式求解.【變式訓(xùn)練】(2015·全國卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓53【解析】設(shè)圓心為(a,0),則圓的方程為(x-a)2+y2=r2,依題意得解得所以圓的方程為答案:

【解析】設(shè)圓心為(a,0),則圓的方程為(x-a)2+y2=54【補(bǔ)償訓(xùn)練】求以橢圓的長軸端點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【補(bǔ)償訓(xùn)練】求以橢圓的長軸端點(diǎn)為焦點(diǎn),且55【解析】橢圓長軸的頂點(diǎn)為A1(-5,0),A2(5,0),則雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0).由雙曲線的定義知,即2a=8,a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【解析】橢圓長軸的頂點(diǎn)為A1(-5,0),A56類型四圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用【典例4】已知橢圓C:(a>b>0)的左焦點(diǎn)F及點(diǎn)A(0,b),原點(diǎn)O到直線FA的距離為b.(1)求橢圓C的離心率e.(2)若點(diǎn)F關(guān)于直線l:2x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)P在圓O:x2+y2=4上,求橢圓C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo).類型四圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用57【解析】(1)由點(diǎn)F(-ae,0),點(diǎn)A(0,b)及b=得直線FA的方程為即因?yàn)樵c(diǎn)O到直線FA的距離【解析】(1)由點(diǎn)F(-ae,0),點(diǎn)A(0,b)及b=58(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)關(guān)于直線l:2x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0,y0),則有解得(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)關(guān)于直線l:2x+y59因?yàn)镻在圓x2+y2=4上,所以所以a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故橢圓C的方程為點(diǎn)P的坐標(biāo)為因?yàn)镻在圓x2+y2=4上,所以60【方法技巧】1.圓錐曲線的主要性質(zhì)圓錐曲線的主要性質(zhì)包括范圍、對(duì)稱性、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、長短軸(橢圓)、實(shí)虛軸(雙曲線)、漸近線(雙曲線)、離心率和準(zhǔn)線(拋物線).

【方法技巧】612.“三法”應(yīng)對(duì)離心率(1)定義法:由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上都有關(guān)系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及已知其中的任意兩個(gè)參數(shù),可以求其他的參數(shù),這是基本且常用的方法.(2)方程法:建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式,從而求出其離心率,這是求離心率的十分重要的思路及方法.2.“三法”應(yīng)對(duì)離心率62(3)幾何法:求與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題,根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì),建立參數(shù)之間的關(guān)系.通過畫出圖形,觀察線段之間的關(guān)系,使問題更形象、直觀.

(3)幾何法:求與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題,根據(jù)平面幾63【變式訓(xùn)練】(2016·北京高二檢測(cè))設(shè)點(diǎn)F1,F2分別是橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為橢圓C上任意一點(diǎn),且的最小值為0,則橢圓的離心率為(

)【變式訓(xùn)練】(2016·北京高二檢測(cè))設(shè)點(diǎn)F1,F2分別是64【解題指南】先設(shè)點(diǎn)P(x,y),表示出,然后消去y,得到關(guān)于x的二次函數(shù),再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值,從而得到a,b,c的等量關(guān)系,求出離心率.【解題指南】先設(shè)點(diǎn)P(x,y),表示出,然后消65【解析】選B.設(shè)點(diǎn)P(x,y)為橢圓C上任意一點(diǎn),則,所以所以=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2+y2-c2

因?yàn)榈淖钚≈禐?,【解析】選B.設(shè)點(diǎn)P(x,y)為橢圓C上任意一點(diǎn),66所以b2-c2=0,則a2=b2+c2=2c2,所以b2-c2=0,67【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于(

)A. B.4 C.3 D.5

【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線68【解析】選A.由雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,知c==3,c2=9=4+b2,于是b2=5,b=.因此該雙曲線的漸近線方程為y=±x,即x±2y=0,故該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為【解析】選A.由雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)69類型五直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【典例5】(2016·威海高二檢測(cè))已知橢圓(a>b>0)上的點(diǎn)P到左右兩焦點(diǎn)F1,F2的距離之和為2,離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若y軸上一點(diǎn)滿足|MA|=|MB|,求直線l的斜率k的值.類型五直線與圓錐曲線的位置關(guān)系70【解析】(1)|PF1|+|PF2|=2a=2,

所以b2=a2-c2=2-1=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【解析】(1)|PF1|+|PF2|=2a=2,71(2)已知F2(1,0),直線斜率顯然存在,設(shè)直線的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立直線與橢圓的方程化簡得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=y1+y2=k(x1+x2)-2k=所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2)已知F2(1,0),直線斜率顯然存在,72①當(dāng)k≠0時(shí),AB的中垂線方程為因?yàn)閨MA|=|MB|,所以點(diǎn)M在AB的中垂線上,將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得:即①當(dāng)k≠0時(shí),AB的中垂線方程為73②當(dāng)k=0時(shí),AB的中垂線方程為x=0,滿足題意.所以斜率k的取值為②當(dāng)k=0時(shí),AB的中垂線方程為x=0,滿足題意.74【方法技巧】有關(guān)直線與圓錐曲線關(guān)系問題的求解方法(1)將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,化簡后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,則直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有如下三種:【方法技巧】有關(guān)直線與圓錐曲線關(guān)系問題的求解方法75①相交:Δ>0?直線與橢圓相交;Δ>0?直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有Δ>0,如當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn),故Δ>0是直線與雙曲線相交的充分不必要條件;Δ>0?直線與拋物線相交,但直線與拋物線相交不一定有Δ>0,當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí),直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn),故Δ>0也僅是直線與拋物線相交的充分條件,而不是必要條件.①相交:Δ>0?直線與橢圓相交;Δ>0?直線與雙曲線相交,但76②相切:Δ=0?直線與橢圓相切;Δ=0?直線與雙曲線相切;Δ=0?直線與拋物線相切.③相離:Δ<0?直線與橢圓相離;Δ<0?直線與雙曲線相離;Δ<0?直線與拋物線相離.

②相切:Δ=0?直線與橢圓相切;Δ=0?直線與雙曲線相切;Δ77(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等許多方面的知識(shí),形成了求軌跡、最值、對(duì)稱、取值范圍、線段的長度等多種問題.解決此類問題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,以形輔數(shù)的方法;還要多結(jié)合圓錐曲線的定義,根與系數(shù)的關(guān)系以及“點(diǎn)差法”等.

(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及函數(shù)、方程、不等式、平面78【變式訓(xùn)練】(2015·冀州高二檢測(cè))如圖,焦距為2的橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B,且與n=(,-1)共線.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線y=kx+m與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【變式訓(xùn)練】(2015·冀州高二檢測(cè))如圖,焦距為2的79【解析】(1)因?yàn)?c=2,所以c=1,又=(-a,b),且∥n,所以b=a,所以2b2=b2+1,所以b2=1,a2=2,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為【解析】(1)因?yàn)?c=2,所以c=1,又=(-a,b80(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),把直線方程y=kx+m代入橢圓方程,消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,所以Δ=16k2-8m2+8>0,即m2<2k2+1(*),因?yàn)樵c(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部,(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),把直線方程y=k81所以<0,即x1x2+y1y2<0,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

依題意且滿足(*)得m2<,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是所以<0,即x1x2+y1y2<0,82【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·安徽高考)設(shè)橢圓E的方程為

(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|，直線OM的斜率為【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·安徽高考)設(shè)橢圓E的方程為83(1)求E的離心率e.(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，-b)，N為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求E的方程.

(1)求E的離心率e.84【解析】(1)由題意可知點(diǎn)M的坐標(biāo)是又kOM=所以進(jìn)而得故【解析】(1)由題意可知點(diǎn)M的坐標(biāo)是又kOM85(2)直線AB的方程為點(diǎn)N的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為則NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為又點(diǎn)T在直線AB上，且kNS·kAB=-1，(2)直線AB的方程為點(diǎn)N的坐標(biāo)為86從而有所以a=，故橢圓E的方程為從而有87類型六分類討論思想【典例6】(2015·北京高考)已知橢圓C:x2+3y2=3,過點(diǎn)D(1,0)且不過點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),AE與直線x=3交于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的離心率.(2)若AB垂直于x軸,求直線BM的斜率.(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系,并說明理由.

類型六分類討論思想88【解析】(1)橢圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程則a=,b=1,c=,所以離心率e=【解析】(1)橢圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程則a=89(2)由AB過點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸可得AB方程為x=1,設(shè)A(1,m),B(1,-m),AB方程與橢圓方程聯(lián)立解得m2=AE方程為y-1=(x-2),令x=3得M(3,2-m).所以BM的斜率為(2)由AB過點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸可得AB方程為x=190(3)當(dāng)AB斜率不存在時(shí),DE的斜率為1,由(2)可知直線BM與直線DE斜率相等,所以BM∥DE.當(dāng)AB斜率存在時(shí),設(shè)AB:y=k(x-1)(k≠1),A(x1,y1),B(x2,y2).由消y得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,Δ=36k4-4(1+3k2)(3k2-3)=12+24k2>0,(3)當(dāng)AB斜率不存在時(shí),DE的斜率為1,由(2)可知直線B91直線AE方程:y-1=(x-2),令x=3得M(3,+1),直線BM的斜率為直線AE方程:y-1=(x-2),92模塊復(fù)習(xí)課第二課課件93【方法技巧】與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的三種解決方法(1)平面幾何法.平面幾何法求最值問題,主要是運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何知識(shí)求解.【方法技巧】與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的三種解決方法94(2)目標(biāo)函數(shù)法.建立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題,是常規(guī)方法,其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù),然后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確定最值.(2)目標(biāo)函數(shù)法.95(3)判別式法.對(duì)二次曲線求最值,往往由條件建立二次方程用判別式來求最值.

(3)判別式法.96【變式訓(xùn)練】(2016·濱州高二檢測(cè))已知橢圓C:(a>b>0)的右焦點(diǎn)為離心率為(1)求橢圓C的方程.(2)若直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O,求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.(3)在(2)的條件下,求△OAB面積的最大值.

【變式訓(xùn)練】(2016·濱州高二檢測(cè))已知橢圓C:97【解題指南】(1)根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)為離心率為,求出c,a,可求b,即可求出橢圓C的方程.(2)分直線AB斜率存在與不存在討論,當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)出直線AB的方程為y=kx+m,代入橢圓方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,即可得證.【解題指南】(1)根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)為離心率為,98(3)分類討論,求出|AB|的最大值,即可求△OAB面積的最大值.(3)分類討論,求出|AB|的最大值,即可求△OAB面積的最99【解析】(1)因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為離心率為,所以所以a=,b=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.【解析】(1)因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為離心率為,100(2)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,代入橢圓方程,消元可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,所以因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),所以所以x1x2+y1y2=0,所以

(2)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,代101所以4m2=3(k2+1),所以原點(diǎn)O到直線的距離為d=當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),由橢圓的對(duì)稱性可知x1=x2,y1=-y2,因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),所以所以x1x2+y1y2=0,所以x12-y12=0,所以4m2=3(k2+1),102因?yàn)閤12+3y12=3，所以|x1|=|y1|=所以原點(diǎn)O到直線的距離為d=|x1|=綜上,點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.因?yàn)閤12+3y12=3，所以|x1|=|y1|=103(3)直線AB斜率存在時(shí),由弦長公式可得|AB|=|x1-x2|(3)直線AB斜率存在時(shí),104當(dāng)且僅當(dāng)k=±時(shí),等號(hào)成立,所以|AB|≤2,直線AB斜率不存在時(shí),|AB|=|y1-y2|=<2,所以△OAB面積=所以△OAB面積的最大值為.當(dāng)且僅當(dāng)k=±時(shí),等號(hào)成立,105【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016·煙臺(tái)高二檢測(cè))設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓(a>b>1)上的兩點(diǎn),已知向量若m·n=0且橢圓的離心率e=,短軸長為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程.(2)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請(qǐng)給予證明:如果不是,請(qǐng)說明理由.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016·煙臺(tái)高二檢測(cè))設(shè)A(x1,y1),106【解析】(1)依題意知2b=2,所以b=1，所以a=2，c=所以橢圓的方程為【解析】(1)依題意知2b=2,所以b=1，107(2)①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),即x1=x2,y1=-y2,因?yàn)閙·n=0,所以又A(x1,y1)在橢圓上,所以所以所以三角形的面積為定值.(2)①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),即x1=x2,y1=-y2,108②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí):設(shè)AB的方程為y=kx+b,

消去y得(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0,所以Δ=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)>0,而m·n=0,所以②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí):設(shè)AB的方程為y=kx+b,109即x1x2+代入整理得綜上三角形的面積為定值1.即x1x2+代入整理得110第二課圓錐曲線與方程

第二課111【網(wǎng)絡(luò)體系】【網(wǎng)絡(luò)體系】112【核心速填】1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于______)的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|_________)的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l_______點(diǎn)F)距離_____的點(diǎn)的軌跡|F1F2|且大于零不經(jīng)過相等【核心速填】橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩平面內(nèi)與兩個(gè)定平面113橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程__________或___________(a>b>0)_________或___________(a>0,b>0)______或y2=-2px或______或x2=-2py(p>0)關(guān)系式_____=c2_____=c2y2=2pxx2=2pya2-b2a2+b2橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)__________或_________114橢圓雙曲線拋物線圖形封閉圖形無限延展,但有漸近線y=±x或y=±x無限延展,沒有漸近線變量范圍|x|≤a,|y|≤b或|y|≤a,|x|≤b|x|≥a或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0橢圓雙曲線拋物線圖形封閉圖形無限延展,但有無限延展,沒有115橢圓雙曲線拋物線對(duì)稱性對(duì)稱中心為原點(diǎn)無對(duì)稱中心

兩條對(duì)稱軸一條對(duì)稱軸

頂點(diǎn)四個(gè)兩個(gè)一個(gè)離心率e=,且0<e<1e=,且e>1e=1決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開口大小2p決定開口大小橢圓雙曲線拋物線對(duì)稱對(duì)稱中心為原點(diǎn)無對(duì)稱中心

兩條對(duì)稱軸一條1162.橢圓的焦點(diǎn)三角形設(shè)P為橢圓(a>b>0)上任意一點(diǎn)(不在x軸上),F1,F2為焦點(diǎn)且∠F1PF2=α,則△PF1F2為焦點(diǎn)三角形(如圖).(1)焦點(diǎn)三角形的面積S=b2tan.(2)焦點(diǎn)三角形的周長L=2a+2c.2.橢圓的焦點(diǎn)三角形1173.雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧(1)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求其漸近線方程時(shí),最簡單實(shí)用的辦法是:把標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0,即可得到兩條漸近線的方程.如雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為=0(a>0,b>0),即y=____;雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為=0(a>0,b>0),即y=_____.3.雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧118(2)如果雙曲線的漸近線為時(shí),它的雙曲線方程可設(shè)為_______________.(2)如果雙曲線的漸近線為時(shí),它的雙曲線方程1194.共軛雙曲線(1)雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的漸近線.(2)雙曲線與它的共軛雙曲線有相同的焦距.(3)與=1具有相同漸近線的雙曲線系方程為=k(k≠0).4.共軛雙曲線1205.拋物線方程的設(shè)法對(duì)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線方程,一般可設(shè)為y2=ax(a≠0)或x2=ay(a≠0).5.拋物線方程的設(shè)法1216.拋物線的焦點(diǎn)弦問題拋物線過焦點(diǎn)F的弦長|AB|的一個(gè)重要結(jié)論.(1)y2=2px(p>0)中,|AB|=_______.(2)y2=-2px(p>0)中,|AB|=-x1-x2+p.(3)x2=2py(p>0)中,|AB|=_______.(4)x2=-2py(p>0)中,|AB|=-y1-y2+p.x1+x2+py1+y2+p6.拋物線的焦點(diǎn)弦問題x1+x2+py1+y2+p122【易錯(cuò)警示】1.橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a中,應(yīng)有2a>|F1F2|,雙曲線定義||PF1|-|PF2||=2a中,應(yīng)有2a<|F1F2|,拋物線定義中,定點(diǎn)F不在定直線l上.2.橢圓中幾何量a,b,c滿足a2=b2+c2,雙曲線中幾何量a,b,c滿足a2+b2=c2.【易錯(cuò)警示】1233.橢圓離心率e∈(0,1),雙曲線離心率e∈(1,+∞),拋物線離心率e=1.4.求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),一定要先區(qū)別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,選取合適的形式.5.由標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)位置時(shí),橢圓看分母的大小,雙曲線看x2,y2系數(shù)的符號(hào).3.橢圓離心率e∈(0,1),雙曲線離心率e∈(1,+∞),1246.雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為y=雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=7.直線與雙曲線、直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)應(yīng)有兩種情況:一是相切;二是直線與雙曲線的漸近線平行、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行.6.雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為125類型一軌跡問題【典例1】1.(2016·鄭州高二檢測(cè))一動(dòng)圓與兩圓：x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為

(

)A.拋物線 B.雙曲線C.雙曲線的一支 D.橢圓類型一軌跡問題1262.已知圓C：x2+(y-3)2=9，過原點(diǎn)作圓C的弦OP，求OP中點(diǎn)Q的軌跡方程.2.已知圓C：x2+(y-3)2=9，過原點(diǎn)作圓C的弦OP，127【解析】1.選C.x2+y2=1是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，x2+y2-6x+5=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4，是圓心為A(3，0)，半徑為2的圓，設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P，動(dòng)圓半徑為r，如圖，【解析】1.選C.x2+y2=1是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓128則?|PA|-|PO|=1<|AO|=3，符合雙曲線的定義，結(jié)合圖形可知，動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.則?|PA|-|PO|=1<|AO|=1292.方法一：(直接法)如圖，因?yàn)辄c(diǎn)Q是OP的中點(diǎn)，所以∠OQC=90°.設(shè)Q(x，y)，由題意，得|OQ|2+|QC|2=|OC|2，即x2+y2+[x2+(y-3)2]=9，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為(去掉原點(diǎn)).2.方法一：(直接法)130方法二：(定義法)如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)Q是OP的中點(diǎn)，所以∠OQC=90°，則點(diǎn)Q在以O(shè)C為直徑的圓上，故點(diǎn)Q的軌跡方程為

(去掉原點(diǎn)).方法二：(定義法)131方法三：(代入法)設(shè)P(x1，y1)，Q(x，y)，由題意，得即又因?yàn)閤12+(y1-3)2=9，所以4x2+4=9，即點(diǎn)Q的軌跡方程為(去掉原點(diǎn)).方法三：(代入法)132【延伸探究】把本例1的條件“都外切”換成“都內(nèi)切”【解析】選C.設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，由題意可知，|PO|=r-1，|PA|=r-2，故|PO|-|PA|=1，所以動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.【延伸探究】把本例1的條件“都外切”換成“都內(nèi)切”133【方法技巧】求曲線的方程的常用方法及特點(diǎn)(1)直接法：動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法：動(dòng)點(diǎn)滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量.【方法技巧】求曲線的方程的常用方法及特點(diǎn)134(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的.如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一135(4)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型，可設(shè)出方程形式，再根據(jù)條件確定待定的系數(shù).(4)待定系數(shù)法：根據(jù)條件能確定曲線的類型，可設(shè)出方程形式，136【變式訓(xùn)練】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)A(1，0)與到定直線l：x=3的距離之和等于4，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？【解析】設(shè)M(x，y)是軌跡上的任意一點(diǎn)，作MN⊥l于N，【變式訓(xùn)練】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)A(1，0)與到定直線l：x=3137由|MA|+|MN|=4得

+|x-3|=4.當(dāng)x≥3時(shí)，上式化簡為y2=-12(x-4)；當(dāng)x<3時(shí)，上式化簡為y2=4x.所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2=-12(x-4)(x≥3)和y2=4x(x<3)，其軌跡是兩條拋物線段.由|MA|+|MN|=4得138【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足||=2a.點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足=0，||≠0，求點(diǎn)T的軌跡C的方程.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右139【解題指南】設(shè)動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于x，y的等式，化簡得解.【解題指南】設(shè)動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于140【解析】方法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)||=0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上.當(dāng)||≠0且||≠0時(shí)，由=0得【解析】方法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，141又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在△QF1F2中，=a，所以有x2+y2=a2，綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).142方法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)||=0時(shí)，點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(-a，0)在軌跡上.當(dāng)||≠0且||≠0時(shí)，由=0得又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).方法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，143設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x'，y')，則因此①由||=2a得(x'+c)2+y'2=4a2.②將①代入②，可得x2+y2=a2.綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x2+y2=a2.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x'，y')，則144類型二圓錐曲線的定義及應(yīng)用【典例2】(2016·合肥高二檢測(cè))雙曲線16x2-9y2=144的左、右兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線上,且|PF1|·|PF2|=64,求△PF1F2的面積.類型二圓錐曲線的定義及應(yīng)用145【解析】雙曲線方程16x2-9y2=144化簡為即a2=9,b2=16,所以c2=25,解得a=3,c=5,所以F1(-5,0),F2(5,0).設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由雙曲線的定義知|m-n|=2a=6,又已知m·n=64,【解析】雙曲線方程16x2-9y2=144化簡為146在△PF1F2中,由余弦定理知所以∠F1PF2=60°,所以所以△PF1F2的面積為.在△PF1F2中,由余弦定理知147【延伸探究】本例條件“|PF1|·|PF2|=64”改為“PF1⊥PF2”,則△PF1F2的面積是多少?【解析】雙曲線16x2-9y2=144,化簡為即a2=9,b2=16,所以c2=25,解得a=3,c=5,所以|F1F2|=10.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n.【延伸探究】本例條件“|PF1|·|PF2|=64”改為“P148因?yàn)镻F1⊥PF2,所以有m2+n2=(2c)2=100,由雙曲線的定義得|m-n|=2a=6,所以(m-n)2=36,即m2+m2-2m·n=36,因此有m·n=32,所以所以△PF1F2的面積為16.因?yàn)镻F1⊥PF2,所以有m2+n2=(2c)2=100,149【方法技巧】“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用應(yīng)用一:在求軌跡方程時(shí),若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據(jù)圓錐曲線的定義,寫出所求的軌跡方程;應(yīng)用二:涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時(shí),常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來解決;【方法技巧】“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用150應(yīng)用三:在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí),常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決.特別提醒:應(yīng)用定義解題時(shí)注意圓錐曲線定義中的限制條件.應(yīng)用三:在求有關(guān)拋物線的最值問題時(shí),常利用定義把到焦點(diǎn)的距離151【變式訓(xùn)練】如圖所示,已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,離心率為2,F1,F2為左、右焦點(diǎn).P為雙曲線上一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式訓(xùn)練】如圖所示,已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,離152【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)閑==2,所以c=2a.由雙曲線的定義有||PF1|-|PF2||=2a=c,在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·(1-cos60°),即4c2=c2+|PF1||PF2|.①【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為153又所以|PF1||PF2|sin60°=,即|PF1||PF2|=48,②由①②得,c2=16,c=4,則a=2,b2=c2-a2=12.所以所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為又154【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016·長沙高二檢測(cè))過雙曲線C:

(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F1(-2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0)分別作x軸的垂線,交雙曲線的兩漸近線于A,B,C,D四點(diǎn),且四邊形ABCD的面積為16.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn),以P為圓心,PF2為半徑的圓交射線PF1于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2016·長沙高二檢測(cè))過雙曲線C:155【解析】(1)由解得y=,由雙曲線及其漸近線的對(duì)稱性知四邊形ABCD為矩形,故四邊形ABCD的面積為4×=16,所以b=a,結(jié)合c=2且c2=a2+b2得:a=1,b=,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.【解析】(1)由解得y=,由雙曲線及其漸近156(2)P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn),故||PF1|-|PF2||=2,又M點(diǎn)在射線PF1上,且|PM|=|PF2|,故|F1M|=||PF1|-|PM||=||PF1|-|PF2||=2,所以點(diǎn)M的軌跡是以F1為圓心,半徑為2的圓,其軌跡方程為(x+2)2+y2=4.(2)P是雙曲線C上一動(dòng)點(diǎn),故||PF1|-|PF2||=2157類型三圓錐曲線的方程【典例3】求與橢圓有相同的焦點(diǎn),且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.類型三圓錐曲線的方程158【解析】因?yàn)樗运髾E圓的焦點(diǎn)為設(shè)所求橢圓的方程為(a>b>0),因?yàn)樗詀=5,所以b2=a2-c2=20,所以所求橢圓的方程為【解析】因?yàn)?59【方法技巧】處理圓錐曲線問題的策略(1)待定系數(shù)法求圓錐曲線的步驟:①定位置:先確定圓錐曲線焦點(diǎn)的位置,從而確定方程的類型;②設(shè)方程:根據(jù)方程的類型,設(shè)出方程;③求參數(shù):利用已知條件,求出a,b或p的值;④得方程:代入所設(shè)方程,從而得出所求方程.【方法技巧】處理圓錐曲線問題的策略160(2)焦點(diǎn)位置不確定的曲線方程的設(shè)法:①橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n);②雙曲線方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m·n<0);③拋物線方程可設(shè)為y2=ax(a≠0)或x2=ay(a≠0).(2)焦點(diǎn)位置不確定的曲線方程的設(shè)法:161(3)共焦點(diǎn)的曲線方程的設(shè)法:①與橢圓(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為

②與雙曲線(a>0,b>0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為(3)共焦點(diǎn)的曲線方程的設(shè)法:162【變式訓(xùn)練】(2015·全國卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.【解題指南】設(shè)出圓的方程為(x-a)2+y2=r2,然后由兩點(diǎn)間距離公式求解.【變式訓(xùn)練】(2015·全國卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓163【解析】設(shè)圓心為(a,0),則圓的方程為(x-a)2+y2=r2,依題意得解得所以圓的方程為答案:

【解析】設(shè)圓心為(a,0),則圓的方程為(x-a)2+y2=164【補(bǔ)償訓(xùn)練】求以橢圓的長軸端點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【補(bǔ)償訓(xùn)練】求以橢圓的長軸端點(diǎn)為焦點(diǎn),且165【解析】橢圓長軸的頂點(diǎn)為A1(-5,0),A2(5,0),則雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0).由雙曲線的定義知,即2a=8,a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【解析】橢圓長軸的頂點(diǎn)為A1(-5,0),A166類型四圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用【典例4】已知橢圓C:(a>b>0)的左焦點(diǎn)F及點(diǎn)A(0,b),原點(diǎn)O到直線FA的距離為b.(1)求橢圓C的離心率e.(2)若點(diǎn)F關(guān)于直線l:2x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)P在圓O:x2+y2=4上,求橢圓C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo).類型四圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用167【解析】(1)由點(diǎn)F(-ae,0),點(diǎn)A(0,b)及b=得直線FA的方程為即因?yàn)樵c(diǎn)O到直線FA的距離【解析】(1)由點(diǎn)F(-ae,0),點(diǎn)A(0,b)及b=168(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)關(guān)于直線l:2x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0,y0),則有解得(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)關(guān)于直線l:2x+y169因?yàn)镻在圓x2+y2=4上,所以所以a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故橢圓C的方程為點(diǎn)P的坐標(biāo)為因?yàn)镻在圓x2+y2=4上,所以170【方法技巧】1.圓錐曲線的主要性質(zhì)圓錐曲線的主要性質(zhì)包括范圍、對(duì)稱性、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、長短軸(橢圓)、實(shí)虛軸(雙曲線)、漸近線(雙曲線)、離心率和準(zhǔn)線(拋物線).

【方法技巧】1712.“三法”應(yīng)對(duì)離心率(1)定義法:由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上都有關(guān)系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及已知其中的任意兩個(gè)參數(shù),可以求其他的參數(shù),這是基本且常用的方法.(2)方程法:建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式,從而求出其離心率,這是求離心率的十分重要的思路及方法.2.“三法”應(yīng)對(duì)離心率172(3)幾何法:求與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題,根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì),建立參數(shù)之間的關(guān)系.通過畫出圖形,觀察線段之間的關(guān)系,使問題更形象、直觀.

(3)幾何法:求與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題,根據(jù)平面幾173【變式訓(xùn)練】(2016·北京高二檢測(cè))設(shè)點(diǎn)F1,F2分別是橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為橢圓C上任意一點(diǎn),且的最小值為0,則橢圓的離心率為(

)【變式訓(xùn)練】(2016·北京高二檢測(cè))設(shè)點(diǎn)F1,F2分別是174【解題指南】先設(shè)點(diǎn)P(x,y),表示出,然后消去y,得到關(guān)于x的二次函數(shù),再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值,從而得到a,b,c的等量關(guān)系,求出離心率.【解題指南】先設(shè)點(diǎn)P(x,y),表示出,然后消175【解析】選B.設(shè)點(diǎn)P(x,y)為橢圓C上任意一點(diǎn),則,所以所以=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2+y2-c2

因?yàn)榈淖钚≈禐?,【解析】選B.設(shè)點(diǎn)P(x,y)為橢圓C上任意一點(diǎn),176所以b2-c2=0,則a2=b2+c2=2c2,所以b2-c2=0,177【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于(

)A. B.4 C.3 D.5

【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線178【解析】選A.由雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,知c==3,c2=9=4+b2,于是b2=5,b=.因此該雙曲線的漸近線方程為y=±x,即x±2y=0,故該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為【解析】選A.由雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)179類型五直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【典例5】(2016·威海高二檢測(cè))已知橢圓(a>b>0)上的點(diǎn)P到左右兩焦點(diǎn)F1,F2的距離之和為2,離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若y軸上一點(diǎn)滿足|MA|=|MB|,求直線l的斜率k