已知??>0,??>0，??+2??=1,求1

+1的最小值.??

??①1??

+ ≥

2,????

+

2??

+1

1+ ≥

2

+

2

2,??

??1

1??

??12??

+ ≥

2

2,??+ ≥

1

+

2

2②③1

1+

= ??

+

2????

??1

1+ ≥

2 2????

?

2??

??1=

4

2????1

+

1

≥

2??

??1????(??=??時(shí)取等號(hào))1??

+2??

=

1,

??

=

??

=31

1??

+

??

=

3

+

3

=

6戰(zhàn)斗模式已知??>0,??>0，??+2??=1,求1

+1的最小值.??

??1

1 ??

+

2????

??

+

=

+??

+

2????

??2??

??=

1+

+

+

2??

??2??

??=

3

+

??

+??

≥

3

+

2

2正確解答（當(dāng)且僅當(dāng)2????????=

時(shí)取等號(hào)）數(shù)列概念性：通項(xiàng)公式,等差，等比計(jì)算型：遞推公式推理型：數(shù)列類型的判斷難點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的一般形式是??1,

??2,

??3,

?

,

????

?

簡(jiǎn)記為

{????}，????稱為數(shù)列的通項(xiàng).數(shù)列可看做定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù)，序號(hào)是自變量，數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值.用符號(hào){????}表示數(shù)列，只是“借用”集合的符號(hào)，它們之間有本質(zhì)區(qū)別：集合中的元素未必是數(shù)，而數(shù)列中的項(xiàng)必須是數(shù).集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的項(xiàng)可以相同.集合中的元素是無序的，而數(shù)列中的項(xiàng)是有序的.數(shù)列的兩種常用表示方法：通項(xiàng)公式；

遞推公式如果數(shù)列的第??項(xiàng)????

與項(xiàng)的序數(shù)??之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式????

=??(??)來表示，則這個(gè)公式就叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式（函數(shù)的解析式）.有些數(shù)列沒有通項(xiàng)公式（如質(zhì)數(shù)由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）；通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否為該數(shù)列中的一項(xiàng).通項(xiàng)????與前后項(xiàng)之間的關(guān)系式稱為遞推公式，遞推公式是數(shù)列的一種表示方法，它包含兩部分，一是遞推關(guān)系，二是初始條件，兩者

.2,

4,

6,

8,

? ????

=

2??2,

4,

8,

16,

?

????

=

2????1

=

2，????

=

?????1

+

2??1

=

2，????

=

2?????1【例題】數(shù)列1,3,7,15

?的通項(xiàng)公式????

等于().A.

2??

B.

2??

+

1

C.

2??

?1D.

2???1E.

2??+1?????1???1

15??

,

??

=1,則??=(

).??【例題】已知數(shù)列{??

}的遞推公式為????=A.

3 B

.

5

C.

15D.

20E.以上都不對(duì)【思考】數(shù)列：1,

1,

2,

3,

5,

8,

13,

21,

34,

55,

89,

?的遞推公式是？55,

89,

?????

=5?1 1

+

5 1

?

52

2??

??通項(xiàng)公式那契數(shù)列：1,

1,

2,

3,

5,

8,

13,

21,

34,遞推公式：

??1

=

??2

=

1，????

=

?????2

+

?????1‘宇宙第一帥’數(shù)列隆重出場(chǎng)有一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法?這就是一個(gè) 那契數(shù)列：登上第一級(jí)臺(tái)階有一種登法；登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種登法……1,

2,

3,

5,

8,

13,

21,

34,

55, 89,

?所以，登上十級(jí)，有89種走法。數(shù)列前??項(xiàng)和：??????

=

? ????

=

??1

+

??2

+

??3

+

?

+

??????=1??1

=

??1,

????

=

????

?

?????1

(??

≥

2)2??【例】已知數(shù)列的前n

項(xiàng)和為

????

=

3(3

+1)，求數(shù)列通項(xiàng)公式.常見數(shù)列的前??項(xiàng)和：1

+

2

+

3

+

?

+

??

=??(??

+

1)22

+

4

+

6

+

?

+

2??

=

??(??

+

1)1

+

3

+

5

+?

+

(2??

?

1)

=

??212

+22

+

32

+?

+

??2

=

??(??

+

1)(2??

+

1)613

+23

+33

+

?

+

??3

=2??(??

+1)

2數(shù)列{????}的前n項(xiàng)和為S??，已知????

=1??(??+1)5,

則S

等于

(

).A.

1

B.

16C.

56D.

13E.

2【

】已知數(shù)列{????

}，則??1

=

1.（1）??3

=

2

.3（2）??2

=

2??1，??3

=

3??2.??已知數(shù)列????50

=

(

).A.460的通項(xiàng)公式為????4???1,則數(shù)列??=

2??+1+(?1)??的前50項(xiàng)和B.570C.625D.650E.6621??50

=

4

3

+

1

+

5

?

1

+?

+

101

?

11= (3

+

5+

7+.

.

.

+99

+

101)4=1 50

× 3+

1014

2=

650等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù)??，則這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，常數(shù)??稱為公差.{????}為等差數(shù)列?

????+1

?

????

=

??

.2若??,??,??是等差數(shù)列，則稱??

是??,??

的等差中項(xiàng)，且??=??+??

.（算術(shù)平均值）????

=

??1

+ ??

?

1

??

=

????

+ ??

?

??

??

=

????

+

(??1

???)等差數(shù)列可以是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，也可以是常數(shù)列.【思考題】若數(shù)列{????}的通項(xiàng)公式為????

=????+??

(??,??為常數(shù))，則{????}是等差數(shù)列么，反之是否成立.等差數(shù)列的遞推公式????+1

=

????

+

??設(shè){????}為等差數(shù)列，若??+??=??+??,則????

+????

=????

+????.??1

+

??5

=

??6？??1

+

??5

=

2??3？等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，反之也對(duì).其圖像為落在一條直線上的點(diǎn).例：首項(xiàng)是1公差是2的等差數(shù)列通項(xiàng)公式為????

=2???1,它的圖像是直線??=2???1上離散的點(diǎn)，直線的斜率就是公差.????

?

??1

????

?

??????

=

????

?

?????1

=

=??

?

1 ??

?

??思考：什么情況下????

+????

=????+??

?【】設(shè)等差數(shù)列滿足??1=2，??4

+??6

=?4,則公差為（）.??.

?2??.

1??.

?1??.

2??.

3【】下列通項(xiàng)公式表示等差數(shù)列的是

（

）.A.

????=????+1??B.

?? =

??2

?

1C.

????=

5??? ?1

??D.

????=

3???

1E.

????=

??設(shè)

{????}是等差數(shù)列，??

≠

??,

????

=

??,

????

=

??,

則

????+??

=

（

）.A.

0 B.

??

+

?? C.

??

?

??D.

??+??

E.

?????2

2設(shè){????}是等差數(shù)列，??2

+??9

=8,則3??5

+??7

=（A.

15 B.

16 C.

17 D.

18 E.

19）.若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為8，后三項(xiàng)和為52，且所有項(xiàng)之和為150，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）.A.

10

B.

12

C.15

D.18

E.21當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2??時(shí)，??奇=??1

+??3

+?+??2???1偶2

4

2???? =

?? +

?? +

?

+??

=??偶???奇=??d??偶=????+1??奇

????當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2??+1時(shí)，奇

偶?? ?

?? =

????+1??偶=????奇

??

+

1等差數(shù)列前??項(xiàng)和：????

=??(??1

+????)2=

????1

+??(??

?1)2??2??

= ??2

+????1

?

2

???? ??1

+

??2???1==

??????2??

?? +

??22??2=

??????+1設(shè){????}為等差數(shù)列，????

為前??

項(xiàng)和，則????,??2??

?????,??3??

???2??

?也是等差數(shù)列, 公差為??2??.????

+

??3??

?

??2??

=

2(??2??

?????) ??3??

=

3(??2??

?????){????}是等差數(shù)列????+1

+

?????1

=

2????????

=

????2

+

????????+1

?????

=

??????

=

????

+

??若{????}為等差數(shù)列,則{??????

+??}也為等差數(shù)列.若{????}為等差數(shù)列,則每隔??

項(xiàng)取出一項(xiàng)得到的新數(shù)列{????,????+??,????+2??,????+3??,?}仍為等差數(shù)列.(??

=

2??,

??

=

??

?

??)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前??項(xiàng)和公式中，涉及到5個(gè)元素：??1,??,??,????及????，稱作為基本元素，只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2.設(shè)項(xiàng)技巧：①一般可設(shè)通項(xiàng)????

=

??1

+ ??

?

1

??②奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，???2??,?????,

??,??+??,??+2??

…（公差為??

）；③偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，???3??,?????,

??+??,??+3??,…（公差為2??）設(shè){????}是等差數(shù)列，??1

+??4

+??7

=6,??2

+??5

+??8

=12,則??3

+

??6

+

??9

=

（

）.A.

15 B.

16 C.

17D.

18E.

19【】數(shù)列{????}

的前n項(xiàng)和為

????

=

4??2

+

??

?

2

，則它的通項(xiàng)

????

=

（

）.A 8??

?

3B 4??

+

1C 8???

2D 8???

5E

以上都不對(duì)在等差數(shù)列{????}中,已知公差??

=1,且??1

+??3

+??5

+?+??99

=20,則??2

+??4

+??6

+

?

+

??100

=

(

).A.

20 B.

40 C.

60

D.

70

E.

90等比數(shù)列的通項(xiàng)公式如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)除以前一項(xiàng)等于同一常數(shù)??，則這個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，常數(shù)??稱為公比. {????}

為等比數(shù)列?

????+1

=

??????

.????

=

??1?????1

=

???????????

=

??1

??????若??,??,??是等比數(shù)列，則稱??

是??,??

的等比中項(xiàng)，且??2

=????

.（幾何平均值）等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0，公比也不為0.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，反之也對(duì).設(shè){????}為等比數(shù)列，若??+??=??+??,則????

?????

=????

?????.????

=??1(1

?

????)1

?

??=??1

???????1

?

????

≠

1

;????

=

????1

??

=

1

.等比數(shù)列前??項(xiàng)和：若無窮等比數(shù)列的公比

?? <

1,

則該數(shù)列各項(xiàng)和

??

=??11???設(shè){????}為等比數(shù)列，????

為前??

項(xiàng)和，則????,

??2??

?

????,

??3??

?

??2??

?

也是等比數(shù)列, 公比為????.??2??

?

????

=

????+1

+

?

+

??2??

=

????

??1

+

?

+

????

=

??????????2??

?????

=

??2??+1

+

?

+

??3??

=

??2??

??