精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)目錄全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用及推廣 摘要：全概率公式與貝葉斯公式是概率論中兩個重要的公式，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用．本文對“全概率公式及貝葉斯公式”進(jìn)行仔細(xì)分析，用例子說明了它們的用法．另外在推廣方面，給出了事件發(fā)生概率的矩陣表達(dá)式． 關(guān)鍵詞：全概率公式；貝葉斯公式；應(yīng)用；推廣TheApplicationandPromotionofTotalProbabilityFormulaandBayesFormulaAbstract：Totalprobabilityformulaandbayesformulaaretwoimportantformulas，theyhavewideapplicationinreality．ThisarticlecarriesonthecarefulanalysistothetotalprobabilityformulaandtheBayeformula，explainedtheirusagewiththeexample．Moreover，inthetheirprobability，thematrixexpressionoftheprobabilityofeventsalsohavebeengiven．Keywords：TotalProbabilityFormula；BayesFormula；Application；Promotion引言一個隨試驗(yàn)的樣本空間都可以找到有限個或可列個基本事件構(gòu)成一個分割，任一復(fù)合事件都可以由這幾類基本事件組合而成．如：有個袋子，各裝有白球和黑球，任意選取一袋，取出一球，則取出一球?yàn)榘浊蜻@一事件，可由從第一袋中取出一球?yàn)榘浊?，從第二袋中取出一球?yàn)榘浊?，，從第袋中取出一球?yàn)榘浊蛉我鈴?fù)合而成．對這類問題從概率上表達(dá)時發(fā)生可能性之間關(guān)系的公式就是全概率公式，與其互逆的即為貝葉斯公式．1.全概率與貝葉斯公式1.1全概率公式1.1.1公式簡述 全概率公式的內(nèi)容簡述如下： 設(shè)事件(或)為樣本空間的一個分割或完全事件組，即滿足：(1)(2)(或)則對中任一事件，有或（1.1.1）證明，且互不相容所以又由可加性可得再將代入上式即得（1.1.1）式．分析(1)從形式上看，公式的右邊比左邊復(fù)雜，實(shí)質(zhì)上，定理中給出的條件任一事件往往很復(fù)雜，要直接求出的概率很難．若能把事件分解為許多簡單的，互不相容的事件之和，且這些事件的概率可求，則求出就簡單多了．從上面的證明看，也可以看出這個思路．所以，應(yīng)用全概率公式解實(shí)際問題關(guān)鍵是從已知條件中找到有限個或可列個事件構(gòu)成一個分割，并且公式中一些事件的概率和條件概率能從題設(shè)中求得．它體現(xiàn)了各個擊破，分而食之的解題策略，有眾多應(yīng)用．從下面幾個例子中可以加深對它的了解．(2)全概率公式的最簡單形式：假如，即構(gòu)成樣本空間的一個分割，則(3)條件為將本空間的一個分割，可改成互不相容，且，則（1.1.1）式仍然成立．1.1.2應(yīng)用例證例1(摸獎模型)設(shè)在張彩票中有一張獎券，求第二人摸到獎券的概率是多少?解 設(shè)表示第人摸到獎券，因?yàn)槭欠癜l(fā)生會影響到發(fā)生的概率，有同時是兩個概率大于的事件，可由全概率公式得 同理可得 這說明，抽獎時，不論先后，中獎機(jī)會是均等的．例2甲文具盒內(nèi)有支藍(lán)色筆和支黑色筆，乙文具盒內(nèi)也支藍(lán)色筆和支黑色筆．現(xiàn)從甲文具盒中任取兩支放入乙文具盒，然后再從乙具盒中任取兩支．求最后取出的兩支筆都為黑色筆的概率．解以記為從甲文具盒中取出放入乙文具盒中的黑色筆數(shù)，．以記最后取出的兩支筆都為黑色筆，則，，.而，，.因此.分析是構(gòu)成樣本空間的一個分割，這是應(yīng)用全概率公式的典型題型．總結(jié)由上述兩可以總結(jié)出應(yīng)用全概率公式問題的一般解題思路①確定所求事件，并依題意將樣本空間進(jìn)行正確分割；②列出已知數(shù)據(jù)，在例1中求事件發(fā)生概率時，將，條件概率寫出或求出，一般使用古典概率的方法③將已知數(shù)據(jù)代入全概率公式．將與對應(yīng)的條件概率用乘法公式后相加，即求出．(2)全概率公式中的稱為全概率，它的本質(zhì)是一種平均概率．因?yàn)槭录某霈F(xiàn)概率依賴于各個事件．在各個事件下，事件的條件概率是不同的．概率是這些條件概率的加權(quán)平均值．這樣可以更好的記憶全概率公式．1.2貝葉斯公式1.2.1公式簡述在乘法公式和全概率公式的基礎(chǔ)上可推得一個很著名的公式，這就是貝葉斯公式。簡述如下：在全概率公式相同的條件下，有故再把全概率公式代入，即有這個公式稱為貝葉斯公式． 1.2.2要點(diǎn)對貝葉斯公式，假定是導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的原因，稱為先驗(yàn)概率，它反映了各種原因發(fā)生的可能性的大小，般在試驗(yàn)前已確定．條件概率稱為后驗(yàn)概率，它反映了試驗(yàn)后對各種原因發(fā)生的可能性的大?。惾~斯公式主要用于由結(jié)果的發(fā)生來探求導(dǎo)致這一結(jié)果的各種原因發(fā)生地可能性大小．即專門用于計(jì)算后驗(yàn)概率的．通過的發(fā)生這個新信息，來對的概率作出的修正，下面的例子可以很好地說明這一點(diǎn)． 1.2.3應(yīng)用例證例3飛機(jī)墜落在甲、乙、丙3個區(qū)域之一，營救部門判斷其概率分別為用直升機(jī)搜索這些地域，若有殘骸，發(fā)現(xiàn)的概率分別為，若已用直升機(jī)搜索過甲區(qū)域，在這種情況下，試計(jì)算飛機(jī)落入甲、乙、丙3個區(qū)域的概率.解 以分別記飛機(jī)落入甲、乙、丙3個區(qū)域，依題意得 再以C記用直升機(jī)搜索過甲區(qū)域未發(fā)現(xiàn)殘骸，則P(C)==， 從而所求概率為==，==，==.分析得到部分信息后對先驗(yàn)概率重做評估是貝葉斯公式的典型應(yīng)用例4甲袋中有5只白球，5只黑球，乙袋和丙袋為空袋，現(xiàn)從甲袋中任取5球放入乙袋.最后取出的是白球的概率如果最后取出的是白球，那么從一開始從甲袋中取出的都是白球的概率.解 設(shè)=﹛從甲袋取出的5只球中有i只白球﹜﹛i=0，1，2，3，4，5﹜， =﹛從乙袋中取出3只球中有j只白球﹜﹛j=0，1，2，3﹜，C=﹛最后從丙袋中取出1球?yàn)榘浊颟y.(1)P()==， P()==，P()==，P()==，==，==.構(gòu)成的一個分割，故==+0+0+0=，==+0+0=，，從而如發(fā)生，則一定發(fā)生，從而C一定發(fā)生，所以=1，2.推廣全概率公式和推廣貝葉斯公式的矩陣表示2.1.推廣全概率公式的矩陣表示2.1.1全概率公式的推廣在第一章對全概率公式的條件和結(jié)論作如下改動，就可以得到推廣的全概率公式.設(shè)n個事件互不相容，且，m個事件中的(i=1，2，?，m)只能與事件之一同時發(fā)生，(i=1，2，…，m)則有 P()= (i=1，2，…，m)2.1.2推廣的全概率公式的矩陣表示因?yàn)镻()= (i=1，2，…，m)即 .........按矩陣的乘法，有=2.2推廣貝葉斯公式的矩陣表示設(shè)事件互不相容，且，在事件中的(i=1，2，?，m)只能與事件之一同時發(fā)生，則在事件(i=1，2，…，m)發(fā)生的條件下，事件(j=1，2，…，n)發(fā)生的概率將所有的排成如下矩陣，則由矩陣的運(yùn)算，有==即 = 容易證明 2.3應(yīng)用例證例5某廠有號碼1、2、3的箱子個數(shù)分別為其中1號箱子裝有一等品件，二等品件，三等品件，2號箱子裝有一等品件，二等品件，三等品件，3號箱子裝有一等品件，二等品件，三等品件，現(xiàn)任選一個箱子，并從中任取一件，問取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？解 設(shè)：“取出的一件是j號箱的”(j=1，2，3)，且 A:取出的一件是一等品 B:取出的一件是二等品 C:取出的一件是三等品由條件知P()=(j=1，2，3)，，，，，，，，.===例6炮彈爆炸時產(chǎn)生大、中、小三種彈片，這三種彈片擊中坦克的概率依次分別為0.1、0.3、0.6，若這三種彈片擊中坦克，則其擊穿坦克的概率依次分別為0.9、0.2、0.05，已知坦克被彈片擊穿，求坦克被大、中、小彈片擊穿的各情況的概率．解設(shè)B：“坦克被彈片擊穿” :“大彈片擊中坦克”，則=0.1 :“中彈片擊中坦克”，則=0.3 :“小彈片擊中坦克”，則=0.6且=＝0.9，=0.2，=0.05P(B)＝P()＋P()＋P()＝0.1×0.9＋0.3×0.2＋0.6×0.05＝0.18所以＝＝＝．參考文獻(xiàn):[1]峁詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2005.[2