10.1.1有限樣本空間與隨機事件本節(jié)《普通高中課程標準數(shù)學教科書-必修二（人教A版）第九章《10.1.1有限樣本空間與隨機事件》，本節(jié)課通過對具體事例，幫助學生建立隨機實驗的概念，并通過對隨機實驗結果的數(shù)量表示，建立樣本空間的概念，為概率的學習打好基礎。并加深對概率思想方法的理解。從而發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。課程目標學科素養(yǎng)A.理解隨機試驗的概念及特點B.理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間C.理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念，并會判斷某一事件的性質1.數(shù)學建模：隨機實驗及樣本空間的概念2.邏輯推理：分析隨機實驗的樣本空間3.數(shù)學運算：計算隨機實驗的樣本空間4.數(shù)據(jù)分析：會求所給試驗的樣本點和樣本空間；1.教學重點：隨機試驗的概念及特點；2.教學難點：理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間；多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、溫故知新概率論的產(chǎn)生和發(fā)展概率論產(chǎn)生于十七世紀，本來是由保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數(shù)學家們思考概率論問題的源泉。傳說早在1654年，有一個賭徒梅累向當時的數(shù)學家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應該怎么分才理？這個問題讓帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷蘭著名的數(shù)學家惠更斯企圖自己解決這一問題，結果寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論最早的一部著作。近幾十年來，隨著科技的蓬勃發(fā)展概率論大量應用到國民經(jīng)濟、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學科領域。許多興起的應用數(shù)學，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎的。在初中，我們已經(jīng)初步了解了隨機事件的概念，并學習了在試驗結果等可能的情形下求簡單隨機事件的概率.本節(jié)我們將進一步研究隨機事件及其概率的計算，探究隨機事件概率的性質.隨機現(xiàn)象普遍存在，有的簡單有的復雜，有的只有有限個可能結果，有的有無窮個可能結果；這里的無窮又分為兩種，即可列無窮和不可列無窮，例如，對擲硬幣試驗，等待首次出現(xiàn)正面朝上所需的試驗次數(shù)，具有可列無窮個可能結果；而預測某地7月份的的降水量，可能結果則充滿某個區(qū)間，其可能結果不能一一列舉，即有不可列無窮個可能結果.所以，常見的概率模型有兩類，即離散型概率模型和連續(xù)型概率模型.高中階段主要研究離散型概率模型.研究某種隨機現(xiàn)象的規(guī)律，首先要觀察它所有可能的基本結果.例如，將一枚硬幣拋擲2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；從班級隨機選擇10名學生，觀察近視的人數(shù)；在一批燈管中任意抽取一只，測試它的壽命；從一批發(fā)芽的水稻種子中隨機選取一些，觀察分囊數(shù)；記錄某地區(qū)7月份的降雨量等等.我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗（randomexperiment),簡稱試驗，常用字母E表示.我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：(1)試驗可以在相同條件下重復進行；(2)試驗的所有可能結果是明確可知的,并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果.思考1：體育彩票搖獎時,將10個質地和大小完全相同、分別標號0,1,2，…，9的球放入搖獎器中，經(jīng)過充分攪拌后搖出一個球，觀察這個球的號碼，這個隨機試驗共有多少個可能結果？如何表示這些結果？共有10種可能結果.所有可能結果可用集合表示為:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}樣本點是隨機試驗的每個可能的基本結果，樣本空間是全體樣本點的集合.關于什么是基本結果,只能直觀描述,無法嚴格定義.我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1,ω2,...,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,...,ωn,}為有限樣本空間.我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間（samplespace).一般地，我們用Ω(歐米伽)表示樣本空間，用ω表示樣本點.例如，拋擲一對骰子，建立包含36個樣本點的樣本空間Ω1={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5,6}},其中每個結果就是基本結果，如果建立只包含4個可能結果的樣本空間Ω2={(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）},其中每個元素就不能認為是基本結果.因為在樣本空間Ω2中無法求“點數(shù)之和為5”的概率.例1.拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間。解：因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω=(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω={h,t}.例2.拋擲一枚骰子（touzi),觀察它落地時朝上的面的點數(shù)，寫出試驗的樣本空間.解：用i表示朝上面的“點數(shù)為i”，因為落地時朝上面的點數(shù)有1,2,3,4,5,6共6個可能的基本結果，所以試驗的樣本空間可以表示為Ω={1,2,3,4,5,6}.構建樣本空間，這是將實際問題數(shù)學化的關鍵步驟，其作用體現(xiàn)在：可以利用集合工具（語言）描述概率問題，能用數(shù)學語言嚴格刻畫隨機事件的概念，通過與集合關系與運算的類比，可以更好地理解隨機事件的關系和運算意義.可以用符號語言準確而簡練地表示求解概率問題的過程.解：擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結果用y表示，那么試驗的樣本點可用（x,y)表示.于是，試驗的樣本空間Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)}例3.拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝第一枚第二枚上”，那么樣本空間還可以簡單表示為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.如圖所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解例3的解答過程.對于只有兩個可能結果的隨機試驗，一般用1和0表示這兩個結果.一方面數(shù)學追求最簡潔地表示，另一方面，這種表示有其實際意義，在后面的研究中會帶來很大的方便.1.同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤①得到的數(shù)為x，轉盤②得到的數(shù)為y，結果為(x，y)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù)；(3)“x＋y＝5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x＝y(tǒng)”呢？解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}．(2)樣本點的總數(shù)為16.(3)“x＋y＝5”包含以下4個樣本點：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；“x<3且y>1”包含以下6個樣本點：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)．(4)“xy＝4”包含以下3個樣本點：(1,4),(2,2),(4,1)；“x＝y(tǒng)”包含以下4個樣本點：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)．思考2.在體育彩票搖號實驗中，搖出“球的號碼是奇數(shù)”是隨機事件嗎？搖出“球的號碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機事件？如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關系？顯然，“球的號碼為奇數(shù)”和“球的號碼為3的倍數(shù)”都是隨機事件.我們用A表示隨機事件“球的號碼為奇數(shù)”，則A發(fā)生，當且僅當搖出的號碼為1,3,5,7,9之一，即事件A發(fā)生等價于搖出的號碼屬于集合{1,3,5,7,9}.因此可以用樣本空間Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示隨機事件A.類似地，可以用樣本空間的子集{0,3,6,9}表示隨機事件“球的號碼為3的倍數(shù)”一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件（randomevent),簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件（elementaryevent).隨機事件一般用大寫字母A,B,C,···表示，在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.而空集Φ不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們Φ稱為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形。這樣，每個事件都是樣本空間。Ω的一個子集.隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件。必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件。不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件。1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,還是隨機事件：（1）某地1月1日刮西北風；（2）當x是實數(shù)時,(3)手電筒的電池沒電,燈泡發(fā)亮；（4）一個電影院某天的上座率超過50%。（5）如果a＞b，那么a一b＞0；（6）從分別標有數(shù)字l，2，3，4，5的5張標簽中任取一張，得到4號簽;（7）某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（8）隨機選取一個實數(shù)x，得|x|<0.隨機事件;必然事件;不可能事件;隨機事件;必然事件;隨機事件;隨機事件;不可能事件例4如圖,一個電路中有A,B,C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗的樣本空間;(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正?！保籒=“電路是通路”；T=“電路是斷路”.解：(1)分別用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用(x1,x2,x3)表示.進一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.(2)“恰好兩個元件正常”等價于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有兩個為1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“電路是通路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一個是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。同理，“電路是斷路”等價于(x1,x2,x3)∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.如圖,還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結果.(1)用樣本點表示隨機事件，首先弄清試驗的樣本空間，不重不漏列出所有的樣本點．然后找出滿足隨機事件要求的樣本點，從而用這些樣本點組成的集合表示隨機事件．(2)隨機事件可以用文字表示，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的本質，且更便于今后計算事件發(fā)生的概率．由回顧知識出發(fā)，提出問題，讓學生了解概率論的產(chǎn)生和發(fā)展。增加學生的數(shù)學文化素養(yǎng)。發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過具體問題，讓學生感受隨機實驗及樣本空間的額概念。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過實例分析，讓學生掌握分析樣本空間和樣本點的方法，提升推理論證能力，提高學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1.從6個籃球、2個排球中任選3個球,則下列事件中,不可能事件是()A.3個都是籃球 B.至少有1個是排球C.3個都是排球 D.至少有1個是籃球答案:C解析:根據(jù)題意,從6個籃球、2個排球中任選3個球,四個選項都是隨機事件,進一步C是不可能事件,D是必然事件.2．先后擲兩枚質地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數(shù)分別為x，y，則事件：log2xy＝1包含的樣本點有_______．(x,y)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)解析先后擲兩枚質地均勻的骰子，骰子朝上的面的點數(shù)有36種結果．解方程log2xy＝1得y＝2x，則符合條件的樣本點有(1,2)，(2,4)，(3,6)．3.寫出下列各隨機試驗的樣本空間：(1)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學，并記錄其性別；(2)采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學，觀察其ABO血型；(3)隨機選擇一個有兩個小孩的家庭，觀察兩個孩子的性別；(4)射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；(5)射擊靶3次，觀察中靶的次數(shù).解:(1)Ω={男，女}或令m表示男生，f表示女生，則樣本空間為Ω={m,f}.(2)Ω={O,A,B,AB}.(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，樣本空間為Ω={bb,bg,gb,gg}.(4)每次射擊，中靶用1表示，脫靶用0表示，則3次射擊的樣本空間為Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}(5)Ω={(0,1,2,3)}。4.如圖，由A,B兩個元件分別組成串聯(lián)電路（圖(1))和并聯(lián)電路(圖(2)),觀察兩個元件正常或失效的情況.(1)寫出試驗的樣本空間；(2)對串聯(lián)電路，寫出事件M=“電路是通路”包含的樣本點；(3)對并聯(lián)電路，寫出事件