立體幾何解題技巧例說(shuō)立體幾何解題技巧例說(shuō)立體幾何解題技巧例說(shuō)立體幾何解題技巧例說(shuō)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:立體幾何解題技巧例說(shuō)(一)有關(guān)點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、面共線問(wèn)題【例1】已知D、E、F分別是三棱錐S－ABC的側(cè)棱SA、SB、SC上的點(diǎn)，且直線FD與CA交于M，F(xiàn)E與CB交于N，DE與AB交于P，求證：M、N、P三點(diǎn)必共線．點(diǎn)撥：證明若干個(gè)點(diǎn)共線的重要方法之一，是證明這些點(diǎn)分別是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．證明：由已知，顯然M、N、P在由D、E、F所在的平面，又M、N、P分別在直線CA、CB和AB上，故M、N、P必然在A、B、C所在的平面內(nèi)，即M、N、P是平面DEF與平面ABC的公共點(diǎn)，∴它們必在這兩個(gè)平面的交線上，故M、N、P三點(diǎn)共線．點(diǎn)評(píng)：證明點(diǎn)共面、線共面的基本途徑是先由滿足確定平面條件的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線作出平面，再證明其余元素在該平面內(nèi)．(二)有關(guān)空間角問(wèn)題【例2】在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，E、F分別為棱BC和AD的中點(diǎn)(如下圖)．(1)求AE與CF所成的角；(2)求CF與面BCD所成的角．點(diǎn)撥：(1)欲求兩條異面直線所成的角，需將其中一條平移到與另一條相交的位置，而平移時(shí)，常在某一平面內(nèi)進(jìn)行．(2)欲求直線與平面所成的角，需過(guò)該直線上的某一點(diǎn)(異于與平面的交點(diǎn))作該平面的垂線．通常是在與該平面垂直的平面內(nèi)作出這條垂線，而后便可作出線面角．解：(1)在平面AED內(nèi)，過(guò)F作FK∥AE，交ED于K，則∠CFK是異面直線AE與CK所成角(或是其補(bǔ)角)．該棱長(zhǎng)為a，通過(guò)計(jì)算，可(2)∵各棱長(zhǎng)均相等，E為BC中點(diǎn)，∴BC⊥AE，BC⊥DE∴BC⊥面AED∴面AED⊥面ABC，過(guò)F作FH⊥ED于H，則FH⊥面BCD，∴∠FCH是CF與面BCD所成的角．【例3】已知D、E分別是正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱AA1和BB1上的點(diǎn)，且A1D=2B1E=B1C1(如圖)求過(guò)D、E、C1的平面與棱柱的下底面A1B1C1所成二面角的大?。c(diǎn)撥：在圖上，過(guò)D、E、C1的面與棱柱底面只給出一個(gè)公共點(diǎn)C1，而沒(méi)有畫出它與棱柱底面所成二面角的棱，因此還需找出它與底面的另一個(gè)公共點(diǎn)，進(jìn)而再求二面角的大?。猓涸谄矫鍭A1B1B內(nèi)延長(zhǎng)DE和A1B1交于F，則F是面DEC1與面A1B1C1的公共點(diǎn)，C1F為這兩個(gè)平面的交線，所求的二面角就是D－C1F－A1的平面角．∵A1D∥B1E，且A1D=2B1E．∴E、B1分別為DF和A1F的中點(diǎn)，∵A1B1=B1C1=A1C1，∴FC1⊥A1C1，又面AA1C1C⊥面A1B1C1，F(xiàn)C1在面A1B1C1內(nèi)∴FC1⊥面AA1C1C，而DC1在面AA1C1C內(nèi)，∴PC1⊥DC1，∴∠DC1A1是二面角D－FC1－A1的平面角．點(diǎn)評(píng)：當(dāng)所求的二面角沒(méi)有給出它的棱時(shí)，可通過(guò)公理1和公理2，找出二面角的兩個(gè)面的兩個(gè)公共點(diǎn)，從而找出它的棱，進(jìn)而求其平面角作為解答題，高考中是要扣分的，因?yàn)樗皇嵌ɡ恚?三)有關(guān)空間距離問(wèn)題【例4】如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，GC⊥面ABCD且CG=2．求點(diǎn)B到平面GEF的距離．點(diǎn)撥：因點(diǎn)B在面GEF的射影不好確定，所以不宜直接求其距離，由已知容易得出BD∥GEF，故可將求B到面GEF的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線BD與面GEF的距離來(lái)解決．解法1：連接BD，∵E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，又∵EF在面GEF內(nèi)，而BD不在面GEF內(nèi)，∴BD∥面GEF．∴B到面GEF的距離等于直線BD到面的距離，連接AC，分別交EF和BD于K，O，連GK，∵EF⊥AC，EF⊥GC，∴EF⊥面GCK．又在EF在面GEF內(nèi)，∴面GEF⊥面GCK．過(guò)O在面GCK內(nèi)作OH⊥GK于H，則OH⊥面GEF，∴OH即為BD平面GEF的距離．解法2：用體積法∵BD∥EF，且EF在面GEF內(nèi)，BD不在面GEF內(nèi)，BD∥面GEF，BD與AC交于O，則B到面GEF的距離=BD到面GEF的距離=O到面GEF的距離．∴VB-GEF=VO-GEF．設(shè)O、C到面GEF的距離分別為h1，h2，∵KO∶KC=1∶3，∴h1∶h2=1∶3，(四)立體幾何最值問(wèn)題【例5】已知如圖等腰△ABC中AB=AC=13、BC=12，DE∥BC．分別交AB和AC于DE．將△ADE沿DE折起使得A到A′，且A′－DE－B為60°二面角．求A′到直線BC的最小距離．點(diǎn)撥：首先應(yīng)作出A′到BC的距離．顯然A′到BC的距離的大小與DE的位置有關(guān)，而DE的位置又可由A點(diǎn)到DE的距離表示，由此，A′到BC的距離可表示為A到DE的距離的函數(shù)，進(jìn)而可解決問(wèn)題．解：取BC的中點(diǎn)O，連AO交DE于O′．∵AB=AC，∴AO⊥BC，∴AO′⊥DE，連A′O′，則A′O′⊥DE，∴DE⊥面A′O′O，∵DE∥BC，∴BC⊥面A′O′O，∴BC⊥A′O，故A′O為A′到BC的距離，且∠A′O′O為二面角A′－DE－B的平面角，∴∠A′O′O=60°．O′O=12∴當(dāng)x=6時(shí)，A′O取得最小值6．即當(dāng)DE恰為△ABC的中位線時(shí)，A′到BC的距離最小，其值為6．(五)立體幾何綜合問(wèn)題【例6】已知如圖，ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中點(diǎn)，(1)求證AB1∥面DBC1；(2)若AB1⊥BC1，求以BC1為棱DBC1與CBC1為面的二面角的度數(shù)．點(diǎn)撥：(1)欲證AB1∥平面DBC1，只需在平面DBC1內(nèi)找出一條與AB1平行的直線即可．由于D是AC的中點(diǎn)，就自然要考慮取BC1的中點(diǎn)E，顯然DE∥AB1，問(wèn)題即可解決．(2)欲求二面角D－BC1－C即二面角α的度數(shù)，則需找出它的平面角，由已知，平面ABC⊥面B1BCC1，則過(guò)D作DF⊥BC，則DF⊥面B1BCC1，連接EF，由條件AB1⊥BC1，可證明DE⊥BC，再利用三垂線定理(或內(nèi)定理)可證出BC1⊥CF，即可得二面角α的平面角∠DEF．通過(guò)計(jì)算，問(wèn)題可解決．解：(1)∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四邊形B1BCC1是矩形．連接B1C交BC1于E，則B1E=EC，連結(jié)DE．在△AB1C中，∵AD=DC，DBC1．(2)在面ABC內(nèi)，過(guò)D作DF⊥BC于F，則DF⊥平面B1BCC1，連接EF，則EF是ED在平面B1BCC1內(nèi)的射影．∵AB1⊥BC1，∴由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，由三垂線逆定理可知BC1⊥EF．∴∠DEF是二面角α的平面角，設(shè)為θ，設(shè)AC=a，取BC的中點(diǎn)G，∵EB=EC∴GE⊥BC．故二面角α為45°點(diǎn)評(píng)：要善于從不同角度觀察某一幾何體，這是考查空間想象能力的重要方面，把一個(gè)正三棱柱放倒之后，其性質(zhì)是不改變的，如B1BCC1是矩形，面ABC⊥面B1BCC1等，應(yīng)正確識(shí)別．(1)的證明，體現(xiàn)了將證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行的轉(zhuǎn)化思想；(2)的解答，是通過(guò)作出二面角的平面角，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題來(lái)解決的．(六)解立體幾何計(jì)算題的一般方法1．幾何計(jì)算題的結(jié)構(gòu)是根據(jù)已知的若干幾何量或位置關(guān)系推求另一些幾何量．而已知的位置關(guān)系通常也要轉(zhuǎn)化為幾何量最基本的幾何量有兩個(gè)：線段和角．其他幾何量或者用線段和角來(lái)定義，或者可表示成線段和角．例如，兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到平面的距離其本身就是線段的長(zhǎng)；異面直線所成的角，直線與平面所成的角，是直接用角來(lái)表述的概念；而求積公式也都可以用線段或角來(lái)表示．由上述可知，幾何計(jì)算題的結(jié)構(gòu)實(shí)為根據(jù)已知的線段和角推算未知的線段和角．為此，解幾何計(jì)算題必須了解和運(yùn)用由線段和角構(gòu)成的關(guān)系式(即以線段和角為未知量而構(gòu)成的多元方程)．滿足這個(gè)需要的基本知識(shí)多是三角形的邊角關(guān)系(銳角或鈍角的三角函數(shù)，正弦定理，余弦定理等)．所以，解幾何計(jì)算題的一般方法是，把題中的線段和角(已知的和未知的)看成三角形的元素，而后借助于三角形的解法推算出所求的結(jié)果．所以，解幾何計(jì)算題的過(guò)程大多是一連串的解三角形的過(guò)程，而解三角形的過(guò)程又是解方程(組)的過(guò)程．解幾何計(jì)算題的一般方法與解幾何證明題的一般方法一樣，也是從題目自身的特點(diǎn)得出的．由于計(jì)算過(guò)程就是推算過(guò)程，當(dāng)我們尋求計(jì)算題的已知條件與未知量的聯(lián)系時(shí)，也要使用綜合法及分析法．2．已知條件與圖形的形狀和大小這里所說(shuō)的“形狀”不是通常指的某個(gè)三角形是直角三角形還是等腰三角形等意思，而是與相似相聯(lián)系的，就是說(shuō)形狀相同的兩個(gè)圖形是相似的．這里所說(shuō)的“大小”指的是面積及體積．解一個(gè)幾何計(jì)算題，在下手計(jì)算之前如能弄清圖形的形狀大小，就會(huì)有助于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行總體的分析．所給圖形的形狀大小決定于所給的條件，由此，幾何計(jì)算題可分為以下四種基本類型：(1)形狀和大小都確定；(2)形狀確定，大小不定；(3)大小確定，形狀不定；(4)形狀和大小都不確定，對(duì)第(1)種類型來(lái)說(shuō)，若依照已知條件分別畫出兩個(gè)圖形F和F′，則F≌F′，即F與F′重合，為了簡(jiǎn)便起見，本節(jié)以下將稱這種類型的圖形是確定的圖形．對(duì)第(2)種類型來(lái)說(shuō)，若依照已知條件畫出兩個(gè)圖形F和F′，則F～F′，本節(jié)今后將稱這種類型的圖形的形狀是確定的．第(1)，(2)兩種類型的計(jì)算題是常見的，也是比較重要的，下面通過(guò)例題加以說(shuō)明．【例7】如圖1，P是二面角α－AB－β棱AB上的一點(diǎn)，分別°，那么二面角α－AB－β的大小是多少？

點(diǎn)撥：圖1，是一個(gè)形狀確定的圖形，這是因?yàn)椤螧PM=45°，所以射線PM在α內(nèi)的位置是確定的，同理PN在β內(nèi)的位置也是確定的．若角MPN的大小不定，即PM與PN的相互位置關(guān)系不定，則由AB，PM所決定的平面α和由AB，PN所決定的平面β的相互位置關(guān)系不可能確定，從而二面角α－AB－β的大小也就不能確定了，但在已知條件有∠MPN=60°，即PM與PN的相互位置關(guān)系確定，從而二面角α－AB－β的大小確定．可見，由已知條件是可以推算出二面角α－AB－β的大小．在PM上取一點(diǎn)M，作MC⊥AB交AB于點(diǎn)C，在β內(nèi)再作CN⊥AB交AN于點(diǎn)N(圖2)，∠MCN就是二面角的平面角，連接MN則圖2就可以變成一個(gè)形狀確定的四面體PMNC．四面體共有六條棱，設(shè)四面體PMNC的任一條棱長(zhǎng)為a，則其他5條棱都可以用a來(lái)表示，這樣，我們就可以把四面體PMNC(暫時(shí))變成一個(gè)大小也確定的圖形，從而借助三角形解法就可推算出∠MCN的大?。凇鱌MN中，由于∠MPN=60°，所以△PMN是一個(gè)等邊三角形．∴△MCN是一個(gè)等腰直角三角形，∠MCN=90°．∴二面角α－AB－β=90°【例8】如圖1，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于D，E．又SA=AB，SB=BC，求以BD為棱，以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù)．點(diǎn)撥：先來(lái)考慮三棱錐S－ABC的形狀大小問(wèn)題．根據(jù)SA⊥底面ABC，SA=AB，可知△SAB是等腰直角三角形，其形狀確定，現(xiàn)在不防假設(shè)這個(gè)等腰直角三角形的位置也固定．由于AB⊥BC，并且SB=BC，則線段BC的位置也是固定的，從而點(diǎn)C的位置以及線段SC和線段AC的位置也確定．這就是說(shuō)，當(dāng)任意一個(gè)等腰直角三角形的位置確定以后，點(diǎn)C的位置就隨之而定．事實(shí)上，△SBC也是一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)?shù)妊苯侨切蜸AB的位置確定以后，等腰直角三角形SBC的位置也隨之確定．可見，三棱錐S－ABC是一個(gè)形狀確定大小不定的幾何體．又，由于E是SC中點(diǎn)，且ED⊥SC交AC于D，所以點(diǎn)D的位置也是確定的．根據(jù)以上分析，可以斷定，從已知條件可以推算出圖1中任意兩條線段所成的角以及任意兩條線段所成比．解法1：連接DE(圖2)．∵EB是Rt△SBC斜邊SC上的中線，∴EB=1，連結(jié)SD，則SD平分∠ASC，∠ASD=∠DSE=30°．設(shè)BD=x(圖3)．在△BDC中有∴∠CDB=90°，從而CD⊥BD．在△BDE中，有∴∠BDE=90