一、矩陣秩的概念定義1

在

m

n

矩陣

A

中任取

k

行

k

列（k

m,k

n），位于這些行列交叉處的個(gè)

k

2

元素,不改變它們?cè)?/p>

A

中所處的位置次序而得的k階行列式稱為矩陣

A

的

k

階子式.m

n

矩陣

A

的

k

階子式共有Ck

Ck

個(gè).m

n注：（i）子式是行列式;（ii）非零子式：值不為0的子式.規(guī)定:零矩陣的秩等于零.m

n

矩陣A

的秩R(A)是A

中不等于零的子式的最高階數(shù).若R(A)=m，則稱A為行滿秩矩陣;若R(A)=n，則稱A為列滿秩矩陣.定義2

設(shè)在矩陣

A

中有一個(gè)不等于0

的

r

階子式

D，且所有r

1階子式（如果存在的話）全等于

0，那末

D

稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣

A

的秩，記作R(

A)

.設(shè)n

階可逆矩陣A

A

0,

A

的最高階非零子式為A

,R(

A)

n,故A

的標(biāo)準(zhǔn)形為單位陣E,A

~

E.可逆矩陣的秩等于階數(shù)，故稱可逆矩陣為滿秩矩陣.奇異矩陣為降秩矩陣.對(duì)于AT顯然有R(AT

)

R(A).例11

4

5

的秩.

1

2

3

求矩陣

A

2

37解且在A中，有1

2

31

11

00

1

11

A的3

階子式只有一個(gè)A

012

32

0.

R(

A)

2.例25

的秩.

23

2

0

0

0

0

0

4

32

10031000求矩陣B

解

B是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有3行

B

的所有4

階子式全為零.2

1

3而

0

3

2

0,0

0

4

R(B)

3.例353，求該矩陣的秩

1

3

2

22

1

2

0

1已知

A

010

23

2

0,解計(jì)算A的3階子式，1

3

2

1

3

2

30

2

1

00,

2 3

20,

2

0

1

2

0

5

0

0.

2

2

1

2

2

1 3

00,

11

5

2

1

53

0,

RA

2.53

做初等變換

1

3

2

22

1

2

0

1另解

對(duì)矩陣

A

0,00

013

2202

135

03

~

1

3

2

2

0

2

1

2

0

1顯然，非零行的行數(shù)為2，

RA

2.此方法簡(jiǎn)單！因?yàn)閷?duì)于任何矩陣Amn

,總可經(jīng)過(guò)有限次初等行變換把他變?yōu)樾须A梯形.問(wèn)題：經(jīng)過(guò)變換矩陣的秩變嗎？定理1

若

A

~

B,則

RA

RB.證二、矩陣秩的求法先證明：若A經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锽則R(A)

R(B).設(shè)

R(

A)

r，且

A

的某個(gè)

r

階子式

Dr

0.當(dāng)A

B或A

ri

k

B時(shí)ri

rj當(dāng)A

B時(shí)，分三種情況r

krji在B

中總能找到與Dr

相對(duì)應(yīng)的子式Dr

,.由于

Dr

Dr

或

Dr

Dr

或

Dr

kDr

,因此

Dr

0，從而

R(B)

r.Dr中不含第i行；Dr中同時(shí)含第i行和第j行Dr中含第i行但不含第j行對(duì)(1),(2)

兩種情形，顯然B

中與

Dr

對(duì)應(yīng)的子式

Dr

Dr

0,故

R(B)

r.對(duì)情形(3)Dr

ri

krj

ri

k

rj

Dr

kD?r

,

若D?r

0,因D?r

中不含第i

行知A

中有不含第i

行的r

階非零子式,

R(B)

r.若D?r

0,則

Dr

Dr

0,也有

R(B)

r.若A經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锽，則R(A)

R(B).又由于B

也可經(jīng)一次初等變換變?yōu)锳,故也有R(B)

R(A).因此R(A)

R(B).經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變．設(shè)A經(jīng)初等列變換變?yōu)锽,也有R(A)

R(B).設(shè)A

經(jīng)初等列變換變?yōu)锽,

R(

AT

)

R(BT

),且R(A)

R(AT

),R(B)

R(BT

),

R(

A)

R(B).綜上,若A

經(jīng)有限次初等變換變?yōu)锽(即A

~

B),則R(A)

R(B).證畢則

AT

經(jīng)初等行變換變?yōu)锽T

,初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4并設(shè)A

對(duì)A作初解

2

01

6A

3

3

1

6

2r1

r4

2

01

6A

3

3

1

6

4r1

r4r2

r4

1

6

1216

0

4

2

01

6A

3r1

r4r2

r4r3

2r1r4

3r1

8

0

1

6

4

1

4

0

4

3

1

10

0

4

0由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知

0

0

0

4

8

1

6

4

1

4

0

4

3

1

1

0

0

4

8

0

0

0

0

0

R(

A)

3.r3

3r2r4

4r2r4

r3求A的一個(gè)最高階非零子式.

R(

A)

3,知A的最高階非零子式為3階.A

的3

階子式共有C

3

C

3

40

個(gè).4

5A的行階梯形矩陣，記A

(a1

,a2

,a3

,a4

,a5

),則矩陣B

(a1

,a2

,a4

)的行4

0

6

1

0

4

1

0

0

0

0

階梯形矩陣為

1

R(B)

3,式,

且共故B中必有3階非計(jì)算B

三3

2

5

3

2

53

2 6

6

0 11

2

0

5

2

0

5則這個(gè)子式便是A

的一個(gè)最高階非零子式.用初等行變換將A化為行階梯形矩陣；根據(jù)A相應(yīng)的行階梯形矩陣的主元所在列作為A的最高階非零子式的列選擇;任取A的R(A)行作為行選擇，進(jìn)行計(jì)算，直到找到一個(gè)值不為0的行列式來(lái)作為A的一個(gè)最高階非零子式.總結(jié)：求A的一個(gè)最高階非零子式的步驟：例5

4

1

63

3

10

,b

2

1

222

482

4

23

60設(shè)A

求矩陣A及矩陣B

(Ab)的秩.解~

~則~分析：設(shè)B

的行階梯形矩陣為B~

(A,b

),A

就是A的行階梯形矩陣~

~

中可同時(shí)看出R(A)及R(B).故從B~

(A,b

)

3

2B

2r2

2r1

1

2

2r3

2r1

0

0

42

0r4

3r15

0

0

0

2

1

00

0