角平分線的性質(zhì)與判定角平分線的性質(zhì)與判定∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC=CD∴∠BAC=∠DAC，導(dǎo)入練習(xí)ABCD如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于Ｂ，

CD⊥AD

于Ｄ．求證：AB=AD．∠B=∠D=900，

∴∠ACB=∠ACD，∴AB=AD．證明：連接AC．(角的平分線的判定）（角的平分線的性質(zhì)）∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC=CD導(dǎo)入練習(xí)ABCD應(yīng)用練習(xí)如圖1，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE=DF．

2如圖2，DE⊥AB于E

，DF⊥AC于F

，BE=FC

，

BD=CD

，求證：點(diǎn)Ｄ在∠BAC的平分線上．圖1圖2應(yīng)用練習(xí)如圖1，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于例1如圖，BE是∠MBC的平分線，CE是∠NCB的平分線，連接AE，求證：AE平分∠MAN．證明：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AM于H，

ED⊥BC于D，EP⊥AN于P．

∵BE是∠MBC的平分線，∴

EH=ED,同理EP=ED,∴

EH=EP,∴點(diǎn)E在∠MAN

的平分線上，∴AE平分∠MAN

．DPH例1如圖，BE是∠MBC的平分線，CE變式一如圖，BE是∠MBC的平分線，AE平分∠MAN，求證：CE是∠NCB的平分線．HPD變式一如圖，BE是∠MBC的平分線，AE平分變式二如圖，∠ABC和∠BAC的平分線交于點(diǎn)F,求證：點(diǎn)F在∠ACB的平分線上.FABCDEH變式二如圖，∠ABC和∠BAC的平分線交于點(diǎn)F例2如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：M是BC的中點(diǎn)．證明：過(guò)M作ME⊥AD于E，

∵∠B=∠C=90°，∴MC⊥DC于C，

MB⊥AB于B，∵DM平分∠ADC，AM平分∠DAB

，∴MC=ME=MB，即M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)撥：本題利用的是角平分線的性質(zhì)定理，由角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線是常用輔助線．E例2如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠A

如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，M是BC的中點(diǎn)，

求證：AM平分∠DAB

．

變式：E

如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，想一想：線段DC、AB與DA之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想．引伸：E如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，學(xué)法指導(dǎo)1．在證角相等或線段相等時(shí)，如果能用角平分線的性質(zhì)和判定證題，就要選用這兩種方法，簡(jiǎn)捷地解題．避開(kāi)“用全等的方法證明”這一習(xí)慣思維模式的干擾．2．已知角平分線（或證明角平分線）時(shí)，常過(guò)平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明問(wèn)題．另外在有些復(fù)雜圖形中要善于發(fā)現(xiàn)角平分線的基本圖形，并能夠結(jié)合圖形寫(xiě)出相關(guān)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，進(jìn)一步完成關(guān)于角的相等或線段相等證明的有關(guān)問(wèn)題．學(xué)法指導(dǎo)1．在證角相等或線段相等時(shí)，如果能用角平分線的性質(zhì)和1.如圖，現(xiàn)有三條兩兩交匯的公路旁修建一個(gè)加油站，使加油站到三條公路的距離相等，可供加油站選址處有（）處。A1B2C3D4作業(yè)1.如圖，現(xiàn)有三條兩兩交匯的公路旁修建一個(gè)加油站，2.如圖，在△ABC中，∠B

=90°，AB=7，BC=24，AC=25，（1）△ABC內(nèi)是否有一點(diǎn)P到各邊的距離相等？如果有，請(qǐng)作出這一點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（2）求這個(gè)距離．作業(yè)2.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=3.如圖，BN平分∠ABC，P為BN上任意一點(diǎn)，PD⊥BC于D，且AB+BC=2BD，求證：∠BAP+∠BCP=180°．作業(yè)3.如圖，BN平分∠ABC，P為BN導(dǎo)入練習(xí)如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，

CD⊥AD于D.求證：AB=AD．ABCD導(dǎo)入練習(xí)如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，CB角平分線的性質(zhì)與判定角平分線的性質(zhì)與判定∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC=CD∴∠BAC=∠DAC，導(dǎo)入練習(xí)ABCD如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于Ｂ，

CD⊥AD

于Ｄ．求證：AB=AD．∠B=∠D=900，

∴∠ACB=∠ACD，∴AB=AD．證明：連接AC．(角的平分線的判定）（角的平分線的性質(zhì)）∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC=CD導(dǎo)入練習(xí)ABCD應(yīng)用練習(xí)如圖1，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE=DF．

2如圖2，DE⊥AB于E

，DF⊥AC于F

，BE=FC

，

BD=CD

，求證：點(diǎn)Ｄ在∠BAC的平分線上．圖1圖2應(yīng)用練習(xí)如圖1，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于例1如圖，BE是∠MBC的平分線，CE是∠NCB的平分線，連接AE，求證：AE平分∠MAN．證明：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AM于H，

ED⊥BC于D，EP⊥AN于P．

∵BE是∠MBC的平分線，∴

EH=ED,同理EP=ED,∴

EH=EP,∴點(diǎn)E在∠MAN

的平分線上，∴AE平分∠MAN

．DPH例1如圖，BE是∠MBC的平分線，CE變式一如圖，BE是∠MBC的平分線，AE平分∠MAN，求證：CE是∠NCB的平分線．HPD變式一如圖，BE是∠MBC的平分線，AE平分變式二如圖，∠ABC和∠BAC的平分線交于點(diǎn)F,求證：點(diǎn)F在∠ACB的平分線上.FABCDEH變式二如圖，∠ABC和∠BAC的平分線交于點(diǎn)F例2如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：M是BC的中點(diǎn)．證明：過(guò)M作ME⊥AD于E，

∵∠B=∠C=90°，∴MC⊥DC于C，

MB⊥AB于B，∵DM平分∠ADC，AM平分∠DAB

，∴MC=ME=MB，即M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)撥：本題利用的是角平分線的性質(zhì)定理，由角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線是常用輔助線．E例2如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠A

如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，M是BC的中點(diǎn)，

求證：AM平分∠DAB

．

變式：E

如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，想一想：線段DC、AB與DA之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想．引伸：E如圖，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，學(xué)法指導(dǎo)1．在證角相等或線段相等時(shí)，如果能用角平分線的性質(zhì)和判定證題，就要選用這兩種方法，簡(jiǎn)捷地解題．避開(kāi)“用全等的方法證明”這一習(xí)慣思維模式的干擾．2．已知角平分線（或證明角平分線）時(shí)，常過(guò)平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明問(wèn)題．另外在有些復(fù)雜圖形中要善于發(fā)現(xiàn)角平分線的基本圖形，并能夠結(jié)合圖形寫(xiě)出相關(guān)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，進(jìn)一步完成關(guān)于角的相等或線段相等證明的有關(guān)問(wèn)題．學(xué)法指導(dǎo)1．在證角相等或線段相等時(shí)，如果能用角平分線的性質(zhì)和1.如圖，現(xiàn)有三條兩兩交匯的公路旁修建一個(gè)加油站，使加油站到三條公路的距離相等，可供加油站選址處有（）處。A1B2C3D4作業(yè)1.如圖，現(xiàn)有三條兩兩交匯的公路旁修建一個(gè)加油站，2.如圖，在△ABC中，∠B

=90°，AB=7，BC=24，AC=25，（1）△ABC內(nèi)是否有一點(diǎn)P到各邊的距離相等？如果有，請(qǐng)作出這一點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（2）求這個(gè)距離．作業(yè)2.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=3.如圖，BN平分∠ABC，