第二課證明不等式的基本方法第二課1【網(wǎng)絡(luò)體系】【網(wǎng)絡(luò)體系】2【核心速填】

1.比較法(1)作差比較法的依據(jù):若a,b∈R,則______?a>b;a-b=0?a=b;______?a<b.(2)作商比較法的依據(jù):若a>0,b>0,則_____?a>b;=1?a=b;_____?a<b.a-b>0a-b<0【核心速填】a-b>0a-b<03(3)比較法的步驟:作差(商)→變形→判符號(hào)(與0(或1)比較大小)→結(jié)論.(3)比較法的步驟:作差(商)→變形→判符號(hào)(與0(或1)比42.綜合法推證過程:3.分析法推證過程:

2.綜合法54.反證法反設(shè)→推理→矛盾→結(jié)論.5.放縮法分析待證式的形式特點(diǎn),適當(dāng)放大或縮小.4.反證法6【易錯(cuò)警示】

(1)利用比較法證明不等式時(shí),最后變形的結(jié)果要容易判斷其符號(hào),即變形為一個(gè)常數(shù),或變形為若干個(gè)因式的乘積,或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等.【易錯(cuò)警示】7(2)用分析法證明不等式時(shí),一定要注意用好反推符號(hào),或“要證明”“只需證明”“即證明”等詞語.(3)用放縮法時(shí),放縮要得當(dāng),不能“過大”也不能“過小”.(2)用分析法證明不等式時(shí),一定要注意用好反推符號(hào),或“要證8類型一比較法證明不等式【典例1】設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.【證明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2).因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0.從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.類型一比較法證明不等式9【方法技巧】比較法證明不等式的依據(jù)及步驟(1)依據(jù):不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件.(2)一般步驟:①作差;②恒等變形;③判斷結(jié)果的符號(hào);【方法技巧】比較法證明不等式的依據(jù)及步驟10④下結(jié)論.其中,變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵,變形的目的在于判斷差的符號(hào),而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少,變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運(yùn)用一切有效的恒等變形.④下結(jié)論.11【變式訓(xùn)練】1.(2016·南陽高二檢測(cè))已知a,b是正實(shí)數(shù),n是正整數(shù).求證:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).【證明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).【變式訓(xùn)練】1.(2016·南陽高二檢測(cè))已知a,b是正實(shí)數(shù)12當(dāng)a>b>0時(shí),bn-an<0,a-b>0,此時(shí)(a-b)(bn-an)<0;當(dāng)b>a>0時(shí),bn-an>0,a-b<0,此時(shí)(a-b)(bn-an)<0;當(dāng)a=b>0時(shí),bn-an=0,a-b=0,此時(shí)(a-b)(bn-an)=0.綜上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0.即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).當(dāng)a>b>0時(shí),bn-an<0,a-b>0,此時(shí)(a-b)(132.(2016·福州高二檢測(cè))已知α∈(0,π),求證:2sin2α≤2.(2016·福州高二檢測(cè))已知α∈(0,π),14【證明】2sin2α-=4sinαcosα-因?yàn)棣痢?0,π),所以sinα>0,1-cosα>0,又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α-≤0,所以2sin2α≤.【證明】2sin2α-=4sinαcosα-15類型二綜合法證明不等式【典例2】已知a>0,a2-2ab+c2=0且bc>a2,試證明:b>c.【證明】因?yàn)閍2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab.又a2+c2≥2ac,且a>0,所以2ab≥2ac,所以b≥c.若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b.從而a=b=c,這與bc>a2矛盾.從而b>c.類型二綜合法證明不等式16【方法技巧】綜合法證明不等式的依據(jù)、注意點(diǎn)及思考方向(1)依據(jù):已知的不等式以及邏輯推證的基本理論.【方法技巧】綜合法證明不等式的依據(jù)、注意點(diǎn)及思考方向17(2)注意點(diǎn):作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同,應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件,避免錯(cuò)誤,如一些帶等號(hào)的不等式,應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件,即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí),取等號(hào)”的理由要理解掌握.(2)注意點(diǎn):作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)18(3)思考方向:綜合法證明不等式的思考方向是“順推”,即由已知的不等式出發(fā),逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?,最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立.(3)思考方向:綜合法證明不等式的思考方向是“順推”,即由已19【變式訓(xùn)練】1.(2016·昆明高二檢測(cè))已知a,b是不相等的正實(shí)數(shù),求證:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.【解題指南】因?yàn)閍,b是不相等的正實(shí)數(shù),所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正數(shù)的均值不等式,從而用綜合法可證明.【變式訓(xùn)練】1.(2016·昆明高二檢測(cè))已知a,b是不相等20【證明】因?yàn)閍,b是正實(shí)數(shù),所以a2b+a+b2≥3=3ab>0,(當(dāng)且僅當(dāng)a2b=a=b2即a=b=1時(shí),等號(hào)成立);同理:ab2+a2+b≥3=3ab>0,(當(dāng)且僅當(dāng)ab2=a2=b即a=b=1時(shí),等號(hào)成立);【證明】因?yàn)閍,b是正實(shí)數(shù),21所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立);因?yàn)閍≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,222.若a,b,c都是正數(shù),能確定與的大小嗎?【解析】能確定,因?yàn)閍,b,c都是正數(shù),+(b+c)≥4a,+(a+c)≥4b,+(a+b)≥4c,所以≥2(a+b+c),所以2.若a,b,c都是正數(shù),能確定23類型三分析法證明不等式【典例3】設(shè)a,b,c均為大于1的正數(shù),且ab=10.求證:logac+logbc≥4lgc.類型三分析法證明不等式24【證明】由于a>1,b>1,故要證明logac+logbc≥4lgc,只要證明≥4lgc.又c>1,故lgc>0,所以只要證≥4即≥4,因ab=10,故lga+lgb=1,只要證明≥4.(*)【證明】由于a>1,b>1,故要證明logac+logbc≥25由a>1,b>1,故lga>0,lgb>0,所以0<lgalgb≤即(*)式成立.所以,原不等式logac+logbc≥4lgc得證.由a>1,b>1,故lga>0,lgb>0,26【方法技巧】分析法證明不等式的依據(jù),思維方向及適用方法(1)依據(jù):分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論.【方法技巧】分析法證明不等式的依據(jù),思維方向及適用方法27(2)思維方向:分析法證明不等式的思維方向是“逆推”,即由待證的不等式出發(fā),逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因),最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式.(2)思維方向:分析法證明不等式的思維方向是“逆推”,即由待28(3)適用方法:當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí),可考慮用分析法去證明,特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效.(3)適用方法:當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí),可考慮用分析法29【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)y=f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,求證:為偶函數(shù).【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)y30【證明】要證為偶函數(shù),只需證明其對(duì)稱軸為x=0,即只需證=0,只要證a=-b,由已知,拋物線f(x+1)的對(duì)稱軸x=-1與對(duì)稱軸x=關(guān)于y軸對(duì)稱,所以-1=,所以a=-b,所以為偶函數(shù).【證明】要證為偶函數(shù),只需證明其對(duì)稱軸31類型四反證法與放縮法證明不等式【典例4】已知0<x<2,0<y<2,0<z<2,求證:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.【解析】假設(shè)x(2-y)>1,y(2-z)>1,z(2-x)>1均成立.則三式相乘有:xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1,…①類型四反證法與放縮法證明不等式32由于0<x<2,所以0<x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,同理:0<y(2-y)≤1,且0<z(2-z)≤1,所以三式相乘得0<xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1,…②②與①矛盾,故假設(shè)不成立.所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.由于0<x<2,所以0<x(2-x)=-x2+2x=-(x-33【方法技巧】1.反證法先假設(shè)要證明的結(jié)論是不正確的,然后利用公理、已有的定義、定理、命題的條件逐步分析,得到和命題的條件(已有的定義、定理、公理等)矛盾的結(jié)論,以此說明假設(shè)的結(jié)論不成立,從而原來的命題結(jié)論正確.【方法技巧】342.放縮法將需要證明的不等式的值適當(dāng)?shù)胤糯?或縮小),使不等式由繁化簡(jiǎn),達(dá)到證明的目的.2.放縮法35【變式訓(xùn)練】1.對(duì)于任何大于1的自然數(shù)n,證明:【證明】設(shè)a>b>0,m>0,則所以【變式訓(xùn)練】1.對(duì)于任何大于1的自然數(shù)n,證明:36所以所以所以372.設(shè)Sn=求證:不等式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立.2.設(shè)Sn=38【證明】因?yàn)榍宜詫?duì)所有的正整數(shù)n都成立.【證明】因?yàn)?9第二課證明不等式的基本方法第二課40【網(wǎng)絡(luò)體系】【網(wǎng)絡(luò)體系】41【核心速填】

1.比較法(1)作差比較法的依據(jù):若a,b∈R,則______?a>b;a-b=0?a=b;______?a<b.(2)作商比較法的依據(jù):若a>0,b>0,則_____?a>b;=1?a=b;_____?a<b.a-b>0a-b<0【核心速填】a-b>0a-b<042(3)比較法的步驟:作差(商)→變形→判符號(hào)(與0(或1)比較大小)→結(jié)論.(3)比較法的步驟:作差(商)→變形→判符號(hào)(與0(或1)比432.綜合法推證過程:3.分析法推證過程:

2.綜合法444.反證法反設(shè)→推理→矛盾→結(jié)論.5.放縮法分析待證式的形式特點(diǎn),適當(dāng)放大或縮小.4.反證法45【易錯(cuò)警示】

(1)利用比較法證明不等式時(shí),最后變形的結(jié)果要容易判斷其符號(hào),即變形為一個(gè)常數(shù),或變形為若干個(gè)因式的乘積,或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等.【易錯(cuò)警示】46(2)用分析法證明不等式時(shí),一定要注意用好反推符號(hào),或“要證明”“只需證明”“即證明”等詞語.(3)用放縮法時(shí),放縮要得當(dāng),不能“過大”也不能“過小”.(2)用分析法證明不等式時(shí),一定要注意用好反推符號(hào),或“要證47類型一比較法證明不等式【典例1】設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.【證明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2).因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0.從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.類型一比較法證明不等式48【方法技巧】比較法證明不等式的依據(jù)及步驟(1)依據(jù):不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件.(2)一般步驟:①作差;②恒等變形;③判斷結(jié)果的符號(hào);【方法技巧】比較法證明不等式的依據(jù)及步驟49④下結(jié)論.其中,變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵,變形的目的在于判斷差的符號(hào),而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少,變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運(yùn)用一切有效的恒等變形.④下結(jié)論.50【變式訓(xùn)練】1.(2016·南陽高二檢測(cè))已知a,b是正實(shí)數(shù),n是正整數(shù).求證:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).【證明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).【變式訓(xùn)練】1.(2016·南陽高二檢測(cè))已知a,b是正實(shí)數(shù)51當(dāng)a>b>0時(shí),bn-an<0,a-b>0,此時(shí)(a-b)(bn-an)<0;當(dāng)b>a>0時(shí),bn-an>0,a-b<0,此時(shí)(a-b)(bn-an)<0;當(dāng)a=b>0時(shí),bn-an=0,a-b=0,此時(shí)(a-b)(bn-an)=0.綜上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0.即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).當(dāng)a>b>0時(shí),bn-an<0,a-b>0,此時(shí)(a-b)(522.(2016·福州高二檢測(cè))已知α∈(0,π),求證:2sin2α≤2.(2016·福州高二檢測(cè))已知α∈(0,π),53【證明】2sin2α-=4sinαcosα-因?yàn)棣痢?0,π),所以sinα>0,1-cosα>0,又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α-≤0,所以2sin2α≤.【證明】2sin2α-=4sinαcosα-54類型二綜合法證明不等式【典例2】已知a>0,a2-2ab+c2=0且bc>a2,試證明:b>c.【證明】因?yàn)閍2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab.又a2+c2≥2ac,且a>0,所以2ab≥2ac,所以b≥c.若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b.從而a=b=c,這與bc>a2矛盾.從而b>c.類型二綜合法證明不等式55【方法技巧】綜合法證明不等式的依據(jù)、注意點(diǎn)及思考方向(1)依據(jù):已知的不等式以及邏輯推證的基本理論.【方法技巧】綜合法證明不等式的依據(jù)、注意點(diǎn)及思考方向56(2)注意點(diǎn):作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同,應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件,避免錯(cuò)誤,如一些帶等號(hào)的不等式,應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件,即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí),取等號(hào)”的理由要理解掌握.(2)注意點(diǎn):作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)57(3)思考方向:綜合法證明不等式的思考方向是“順推”,即由已知的不等式出發(fā),逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?,最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立.(3)思考方向:綜合法證明不等式的思考方向是“順推”,即由已58【變式訓(xùn)練】1.(2016·昆明高二檢測(cè))已知a,b是不相等的正實(shí)數(shù),求證:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.【解題指南】因?yàn)閍,b是不相等的正實(shí)數(shù),所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正數(shù)的均值不等式,從而用綜合法可證明.【變式訓(xùn)練】1.(2016·昆明高二檢測(cè))已知a,b是不相等59【證明】因?yàn)閍,b是正實(shí)數(shù),所以a2b+a+b2≥3=3ab>0,(當(dāng)且僅當(dāng)a2b=a=b2即a=b=1時(shí),等號(hào)成立);同理:ab2+a2+b≥3=3ab>0,(當(dāng)且僅當(dāng)ab2=a2=b即a=b=1時(shí),等號(hào)成立);【證明】因?yàn)閍,b是正實(shí)數(shù),60所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立);因?yàn)閍≠b,所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2.所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2,612.若a,b,c都是正數(shù),能確定與的大小嗎?【解析】能確定,因?yàn)閍,b,c都是正數(shù),+(b+c)≥4a,+(a+c)≥4b,+(a+b)≥4c,所以≥2(a+b+c),所以2.若a,b,c都是正數(shù),能確定62類型三分析法證明不等式【典例3】設(shè)a,b,c均為大于1的正數(shù),且ab=10.求證:logac+logbc≥4lgc.類型三分析法證明不等式63【證明】由于a>1,b>1,故要證明logac+logbc≥4lgc,只要證明≥4lgc.又c>1,故lgc>0,所以只要證≥4即≥4,因ab=10,故lga+lgb=1,只要證明≥4.(*)【證明】由于a>1,b>1,故要證明logac+logbc≥64由a>1,b>1,故lga>0,lgb>0,所以0<lgalgb≤即(*)式成立.所以,原不等式logac+logbc≥4lgc得證.由a>1,b>1,故lga>0,lgb>0,65【方法技巧】分析法證明不等式的依據(jù),思維方向及適用方法(1)依據(jù):分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論.【方法技巧】分析法證明不等式的依據(jù),思維方向及適用方法66(2)思維方向:分析法證明不等式的思維方向是“逆推”,即由待證的不等式出發(fā),逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因),最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式.(2)思維方向:分析法證明不等式的思維方向是“逆推”,即由待67(3)適用方法:當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí),可考慮用分析法去證明,特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效.(3)適用方法:當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí),可考慮用分析法68【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)y=f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,求證:為偶函數(shù).【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)y69【證明】要證