圓周角28.1圓的認(rèn)識(shí)一、回顧

如下圖，同學(xué)們能找到圓心角嗎？它具有什么樣的特征？

頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角。究竟什么樣的角是圓周角呢？

像圖（3）中的角就是圓周角，而圖（1）、（2）、（4）、（5）中的角都不是圓周角。二、認(rèn)識(shí)圓周角

如何判斷一個(gè)角是不是圓周角?

頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角。練習(xí):指出下圖中的圓周角。思考：

（1）（2）（3）（4）（5）（6）×√×××√

如圖，線段AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、B）,那么,∠ACB就是直徑AB所對(duì)的圓周角.想想看,∠ACB會(huì)是怎么樣的角？為什么呢？

演示三、探索半圓或直徑所對(duì)的圓周角的度數(shù)∴

△AOC、△BOC都是等腰三角形∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°

∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°

因此，不管點(diǎn)C在⊙O上何處（除點(diǎn)A、B），∠ACB總等于90°

證明：因?yàn)镺A＝OB＝OC，

半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于90°（直角）。

反過來也是成立的，即90°的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑。結(jié)論

三、探究同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系1、分別量一量圖23.1.10中弧AB所對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)比較一下.再變動(dòng)點(diǎn)C在圓周上的位置，看看圓周角的度數(shù)有沒有變化.你發(fā)現(xiàn)其中有什么規(guī)律嗎？

2、分別量出圖23.1.10中弧AB所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，比較一下，你發(fā)現(xiàn)什么？

演示為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，如圖所示，可將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過圓心O和圓周角的頂點(diǎn)C，

這時(shí)可能出現(xiàn)三種情況:

（1）折痕是圓周角的一條邊，（2）折痕在圓周角的內(nèi)部,

（3）折痕在圓周角的外部。定理的證明（1）圓心在∠BAC的一邊上.

AOBC由于OA=OC因此∠C=∠BAC而∠BOC=∠BAC+∠C所以∠BAC=∠BOC12OABC（2）圓心在∠BAC的內(nèi)部.D作直徑AD.由于∠BAD=∠BOD12∠DAC=∠DOC，12所以∠BAD+∠DAC=

（∠BOD+∠DOC）12即∠BAC=∠BOC12OABC（3）圓心在∠BAC的外部.D作直徑AD.由于∠DAB=∠DOB12∠DAC=∠DOC，12所以∠DAC-∠DAB=（∠DOC-∠DOB）12即∠BAC=∠BOC12結(jié)論：

在同一個(gè)圓或等圓中

,同弧或等弧

所對(duì)的圓周角相等，

都等于該弧或等弧所對(duì)的

圓心角的一半；

相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。

∠ACB=

；

∠ADB=

；∠

=∠

.

如圖：則有ACBADB例如圖，AB為⊙O的直徑，∠A=80°，求∠ABC的度數(shù)。ABO解：∵AB為⊙O的直徑∴∠C=90°，又∠A=80°∴∠B=10°課后練習(xí)1、試找出圖中所有相等的圓周角。

3、在圓中，一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角分別為（2x＋100）°和（5x－30）°，求這條弧所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù).

2、右圖是一個(gè)圓形的零件，你能告訴我，它的圓心的位置嗎？你有什么簡(jiǎn)捷的辦法？練習(xí)一：2.如圖，圓心角∠AOB=100°，則∠ACB=___。OABCBAO.70°x1.求圓中角X的度數(shù)。AO.X120°3、如圖，在直徑為AB的半圓中，O為圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，∠COD=500，則∠CAD=_________35°120°130°25°(1)一個(gè)概念（圓周角）內(nèi)容小結(jié)：(2)一個(gè)定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；(3)二個(gè)推論：

半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

同圓內(nèi)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧相等。練習(xí)二：如圖，P是△ABC的外接圓上的一點(diǎn)∠APC=∠CPB=60°。求證：△ABC是等邊三角形?！ぁPBCO證明：∵∠ABC和∠APC

都是⌒所對(duì)的圓周角。

AC∴∠ABC=∠APC=60°(同弧所對(duì)的圓周角相等）同理，∵∠BAC和∠CPB都是⌒所對(duì)的圓周角，BC∴∠BAC=∠CPB=60°?！唷鰽BC等邊三角形。練習(xí)三已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓交BC于D,交AC于E,求證：⌒⌒BD=DE證明：連結(jié)AD.∵AB是圓的直徑，點(diǎn)D在圓上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分頂角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴⌒⌒BD=DE（同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)弧相等）。ABCDE例1.如圖：OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC.求證：∠ACB=2∠BAC.證明：∠ACB=∠AOB12∠BAC=∠BOC12∠AOC=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC分析：練習(xí)：1.如圖，已知圓心角