1§2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率小結(jié)思考題作業(yè)1§2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化2定義1.隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為隱函數(shù)(implicitfunction).的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的可確定顯函數(shù)例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家.的隱函數(shù)客觀存在,但無法將表達(dá)成的顯式表達(dá)式.顯化.2定義1.隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為隱函32.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法則

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導(dǎo).變量y是x的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化？如何求導(dǎo)32.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求4例1解則得恒等式代入方程,將此恒等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),得因?yàn)閥是x的函數(shù),

是x的復(fù)合函數(shù),所以求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,0=x0=y0=x0=y.1=4例1解則得恒等式代入方程,將此恒等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),得因5

雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達(dá)式中含有變量y.一般來說,隱函數(shù)求導(dǎo),

求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只要記住x是自變量,將方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),就得到一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),5雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來了,6例2解法一利用隱函數(shù)求導(dǎo)法.將方程兩邊對x求導(dǎo),得解出得法二從原方程中解出得6例2解法一利用隱函數(shù)求導(dǎo)法.將方程兩邊對x求導(dǎo),得解出得法7先求x對y的導(dǎo)數(shù),得再利用反函數(shù)求導(dǎo)法則,得7先求x對y的導(dǎo)數(shù),得再利用反函數(shù)求導(dǎo)法則,得8例3解8例3解9910例4解將上面方程兩邊再對10例4解將上面方程兩邊再對11或解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy11或解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy12例5求證拋物線上任一點(diǎn)的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于a證故曲線上任一點(diǎn)處切線的斜率為12例5求證拋物線上任一點(diǎn)的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距13切線方程為故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為13切線方程為故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為1414

解

例

把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo)得所求的切線方程為,練習(xí)1414解例把橢圓方15練習(xí)解確定,15練習(xí)解確定,163.對數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個(gè)簡單應(yīng)用,介紹(1)許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).對數(shù)求導(dǎo)法,它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導(dǎo)變得更為簡單.

適用于方法先在方程兩邊取對數(shù),--------對數(shù)求導(dǎo)法

然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).163.對數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個(gè)簡單應(yīng)用,介紹(17例6解等式兩邊取對數(shù)得

隱函數(shù)對這類型的題用取對數(shù)求導(dǎo)法很方便哦！17例6解等式兩邊取對數(shù)得隱函數(shù)對這類型的題用取對數(shù)求導(dǎo)法18兩邊對x求導(dǎo)得等式兩邊取對數(shù)得)(ln)(xuxv.￠18兩邊對x求導(dǎo)得等式兩邊取對數(shù)得)(ln)(xuxv.￠19

對數(shù)求導(dǎo)法常用來求一些復(fù)雜的乘除式、根式、冪指函數(shù)等的導(dǎo)數(shù).19對數(shù)求導(dǎo)法常用來求一些20例7解等式兩邊取對數(shù)得20例7解等式兩邊取對數(shù)得21例8解兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得21例8解兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得22注復(fù)合函數(shù)改寫成如上例則只要將冪指函數(shù)也可以利用對數(shù)性質(zhì)化為:再求導(dǎo),22注復(fù)合函數(shù)改寫成如上例則只要將冪指函數(shù)也可以利用對數(shù)性質(zhì)23有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對x求導(dǎo)xb+23有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對x求24練習(xí)24練習(xí)25解答等式兩邊取對數(shù)25解答等式兩邊取對數(shù)26解答26解答27二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如?

稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).

消參數(shù)困難或無法消參數(shù)如何求導(dǎo).消去參數(shù),間的函數(shù)關(guān)系與確定xy27二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如?稱此為由參數(shù)方程所28所以,單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得28所以,單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得29

星形線是一種圓內(nèi)擺線例929星形線是一種圓內(nèi)擺線例930解30解31例10解

所求切線方程為31例10解所求切線方程為32容易漏掉32容易漏掉333334如:注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理.34如:注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對求更35例11解35例11解36例12.證36例12.證373738四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則;對數(shù)求導(dǎo)法對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).參數(shù)方程求導(dǎo)注意:變量y是x的函數(shù).將方程兩邊對x求導(dǎo).工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則.38四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則;對數(shù)求導(dǎo)法39思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

.1.

設(shè)由方程確定,

求2.設(shè)3.

4.

已知，求39思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.設(shè)由方程確定,40思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

.解:方法1方法2等式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)1.

設(shè)40思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同41由方程確定,解:方程兩邊對x

求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時(shí),故由①得再代入②得

求①2.設(shè)41由方程確定,解:方程兩邊對x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得42運(yùn)用取對數(shù)求導(dǎo)法兩邊關(guān)于x求導(dǎo)：解

3.42運(yùn)用取對數(shù)求導(dǎo)法兩邊關(guān)于x求導(dǎo)：解3.43整理得43整理得44

4.

已知，求解：444.已知4545466、6466、64747練習(xí)

設(shè)求提示:

分別用對數(shù)微分法求答案:練習(xí)設(shè)求提示:分別用對數(shù)微分法求答案:49作業(yè)習(xí)題2-4(110頁)

1.(2)(3)2.3.(1)(3)4.(1)(3)5.(2)6.7.(2)8.(3)(4)9.（2）49作業(yè)習(xí)題2-4(110頁)1.(2)(3)250若曲線由極坐標(biāo)方程給出,利用因此曲線切線的斜率為,cos)(qqrx=qqsin)(ry=qqsin)(r-可化為極角參數(shù)方程,q補(bǔ)充50若曲線由極坐標(biāo)方程給出,利用因此曲線切線的斜率為,cos51例解將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成則曲線的切線斜率為所以法線斜率為又切點(diǎn)為故法線方程為即參數(shù)方程

這種將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,借助參數(shù)方程處理問題的方法,在高等數(shù)學(xué)中將多次遇到.51例解將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換成則曲線的切線斜率為所以法線斜52§2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率小結(jié)思考題作業(yè)1§2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化53定義1.隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為隱函數(shù)(implicitfunction).的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的可確定顯函數(shù)例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家.的隱函數(shù)客觀存在,但無法將表達(dá)成的顯式表達(dá)式.顯化.2定義1.隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為隱函542.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法則

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導(dǎo).變量y是x的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化？如何求導(dǎo)32.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求55例1解則得恒等式代入方程,將此恒等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),得因?yàn)閥是x的函數(shù),

是x的復(fù)合函數(shù),所以求導(dǎo)時(shí)要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,0=x0=y0=x0=y.1=4例1解則得恒等式代入方程,將此恒等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),得因56

雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來了,當(dāng)然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達(dá)式中含有變量y.一般來說,隱函數(shù)求導(dǎo),

求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只要記住x是自變量,將方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo),就得到一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復(fù)合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),5雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導(dǎo)數(shù)求出來了,57例2解法一利用隱函數(shù)求導(dǎo)法.將方程兩邊對x求導(dǎo),得解出得法二從原方程中解出得6例2解法一利用隱函數(shù)求導(dǎo)法.將方程兩邊對x求導(dǎo),得解出得法58先求x對y的導(dǎo)數(shù),得再利用反函數(shù)求導(dǎo)法則,得7先求x對y的導(dǎo)數(shù),得再利用反函數(shù)求導(dǎo)法則,得59例3解8例3解60961例4解將上面方程兩邊再對10例4解將上面方程兩邊再對62或解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy11或解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy63例5求證拋物線上任一點(diǎn)的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于a證故曲線上任一點(diǎn)處切線的斜率為12例5求證拋物線上任一點(diǎn)的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距64切線方程為故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為13切線方程為故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為6565

解

例

把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo)得所求的切線方程為,練習(xí)1414解例把橢圓方66練習(xí)解確定,15練習(xí)解確定,673.對數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個(gè)簡單應(yīng)用,介紹(1)許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).對數(shù)求導(dǎo)法,它可以利用對數(shù)性質(zhì)使某些函數(shù)的求導(dǎo)變得更為簡單.

適用于方法先在方程兩邊取對數(shù),--------對數(shù)求導(dǎo)法

然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).163.對數(shù)求導(dǎo)法作為隱函數(shù)求導(dǎo)法的一個(gè)簡單應(yīng)用,介紹(68例6解等式兩邊取對數(shù)得

隱函數(shù)對這類型的題用取對數(shù)求導(dǎo)法很方便哦！17例6解等式兩邊取對數(shù)得隱函數(shù)對這類型的題用取對數(shù)求導(dǎo)法69兩邊對x求導(dǎo)得等式兩邊取對數(shù)得)(ln)(xuxv.￠18兩邊對x求導(dǎo)得等式兩邊取對數(shù)得)(ln)(xuxv.￠70

對數(shù)求導(dǎo)法常用來求一些復(fù)雜的乘除式、根式、冪指函數(shù)等的導(dǎo)數(shù).19對數(shù)求導(dǎo)法常用來求一些71例7解等式兩邊取對數(shù)得20例7解等式兩邊取對數(shù)得72例8解兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得21例8解兩邊取對數(shù)得兩邊對x求導(dǎo)得73注復(fù)合函數(shù)改寫成如上例則只要將冪指函數(shù)也可以利用對數(shù)性質(zhì)化為:再求導(dǎo),22注復(fù)合函數(shù)改寫成如上例則只要將冪指函數(shù)也可以利用對數(shù)性質(zhì)74有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對x求導(dǎo)xb+23有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對x求75練習(xí)24練習(xí)76解答等式兩邊取對數(shù)25解答等式兩邊取對數(shù)77解答26解答78二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如?

稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).

消參數(shù)困難或無法消參數(shù)如何求導(dǎo).消去參數(shù),間的函數(shù)關(guān)系與確定xy27二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如?稱此為由參數(shù)方程所79所以,單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得28所以,單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得80

星形線是一種圓內(nèi)擺線例929星形線是一種圓內(nèi)擺線例981解30解82例10解

所求切線方程為31例10解所求切線方程為83容易漏掉32容易漏掉843385如:注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對求更高階的導(dǎo)數(shù)也容易處理.34如:注求二階導(dǎo)數(shù)不必死套公式,只要理解其含義,這樣對求更86例11解35例11解87例12.證36例12.證883789四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則;對數(shù)求導(dǎo)法對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).參數(shù)方程求導(dǎo)注意:變量y是x的函數(shù).將方程兩邊對x求導(dǎo).工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則.38四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則工具:復(fù)合函數(shù)鏈導(dǎo)法則;對數(shù)求導(dǎo)法90思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

.1.

設(shè)由方程確定,

求2.設(shè)3.

4.

已知，求39思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.設(shè)由方程確定,91思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

.解:方法1方法2等式兩邊同時(shí)對求導(dǎo)1.

設(shè)40思考與練習(xí)求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同92由方程確定,解:方程兩邊對x

求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時(shí),故由①