學習資料學習資料(A)0(B)1(C)2(A)0(B)1(C)2(D)3(A)a=—3,b=2,c=—1(B)a=3,b=2,c=—1(C)a=—3,b=2,c=1(D)a=3,b=2,c=12015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)一、選擇題:1:8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答．題．紙．指定位置上.⑴設函數(shù)f(x)在(—8,+8)內連續(xù)，其中二階導數(shù)f〃(x)的圖形如圖所示，則曲線y二f(x)的拐點的個數(shù)為()11(2)設y二-e2x+(x--)ex是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"+ay'+by二cex的一個特解，貝9()8(3)若級數(shù)遠a條件收斂,n8(3)若級數(shù)遠a條件收斂,nn=1(A)J3dejsin2ef(rcos0,rsin0)rdrz1_(B)J3d0(rcos0工1rsin0)rdr2sin20則x=\；'-與x=3依次為幕級數(shù)￡na(x—1)n的(nn=1收斂點，收斂點收斂點，發(fā)散點發(fā)散點，收斂點發(fā)散點，發(fā)散點(4)設D是第一象限由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=P3x圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，則f(x,y)dxdy=()D(C)J3d0Jsin*20f(rcos0,r(C)J3d0Jsin*20f(rcos0,rsin0)dr工-(D)J3d0fsin20f(rcos0,rsin0)dr4'2sin20〔1111r11(5)設矩陣A=12a，b=d、14a2丿<d2丿無窮多解的充分必要條件為—12sin204，若集合Q={1,2},則線性方程組Ax=b有()(C)aeQ,dgQ(D)aeQ,deQP=(e1(6)設二次型f(x,x,x123,e,e)，若Q=(e,—e,e)，則f(x23132)在正交變換為兀二py下的標準形為2yi2+y2-y2'其中)在正交變換X二Qy下的標準形為,x,x123()(A)2yi2-y2(A)2yi2-y2+y3(B)2yi2+丁y3(C)2yi2-譏—y3(D)2yi2+y2+y2(7)若(7)若A,B為任意兩個隨機事件，則()(A)P(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)(C)P(C)P(AB)<卩(A)P(B)(D)P(AB)>卩(A)P(B)設隨機變量X,Y不相關，且EX=2,EY=1,DX=3，則E[X(X+Y—2)]=()TOC\o"1-5"\h\z(A)—3(B)3(C)—5(D)5二、填空題：9:14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答．題．紙．指定位置上.lncosx\o"CurrentDocument"lim=.XTOX2

f九/sinx(10)J2(+_工1+cosxx|)dx(11)若函數(shù)x|)dx(11)若函數(shù)z二z(x,y)由方程ex+xyz+x+cosx二2確定,則dz(0,1)(12)設。是由平面x+y+z二1與三個坐標平面平面所圍成的空間區(qū)域，則(x+2y+3z)dxdydz=.Q20L02-12L02(13)n階行列式MMOMM1=00L2200L-12(14)設二維隨機變量(x,y)服從正態(tài)分布N(1,01,1,0),則P{XY-Y<0}二.三、解答題：15?23小題，共94分?請將解答寫在答題紙指定位置上?解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10(15)(本題滿分10分)設函數(shù)f(x)=x+aln(l+x)+bxsinx,g(x)=kx3，若fgC)在xT0是等價無窮小，求a,b,k的值.(16)(本題滿分10分)設函數(shù)f(x)在定義域I上的導數(shù)大于零，若對任意的x0gI線冃(x)在點(x0,/(x0))處的切線與直線x-x0及x軸所圍成區(qū)域的面積恒為4,且f(0)=2，求f(x)的表達式.(17)(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x,y)=x+y+xy,曲線c：x2+y2+xy二3，求f(x,y)在曲線C上的最大方向導數(shù).(18)(本題滿分10分)設函數(shù)u(x),v(x)可導，利用導數(shù)定義證明[u(x)v(x)]'=u'(x)Vx)+u(x)v'(x)設函數(shù)u(x),u(x),L,u(x)可導，f(x)=u(x)u(x)Lu(x)，寫出f(x)12n12n的求導公式.(19)(本題滿分10分)z已知曲線L的方程為z已知曲線L的方程為彳，終點為B2,0),計算曲線積分I(y+zilx+(z2—x2+y)dy+(x2+y2)dz.(20)(本題滿11分)設向量組a1,a2,a3內R3的一個基，p=2a+2ka,卩=2a,fl=a+(k+l)a.12311322313證明向量組00P為R3的一個基；l23當k為何值時，存在非0向量?在基av叫a3與基0020下的坐標相同，并l23求所有的?.(21)(本題滿分11分)

'02-3''1-20、設矩陣A=-13-3相似于矩陣B=0b0t1—2a/t031丿(I)求a,b的值；2-xIn2,x>0,0,x<0.2-xIn2,x>0,0,x<0.(22)(本題滿分11分)設隨機變量X的概率密度為f(x)=對X進行獨立重復的觀測，直到2個大于3的觀測值出現(xiàn)的停止?記Y為觀測次數(shù).⑴求Y的概率分布;(II)求EY(23)(本題滿分11分)設總體X的概率密度為:f(xf(x,0)=<1-6<x<1,0,其他.其中0為未知參數(shù)，x,x,L,x為來自該總體的簡單隨機樣本.12n⑴求6的矩估計量.(II)求6的最大似然估計量.學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考答案解析(1)【答案】(C)【解析】拐點出現(xiàn)在二階導數(shù)等于0，或二階導數(shù)不存在的點，并且在這點的左右兩側二階導函數(shù)異號?因此，由f'(x)的圖形可得，曲線y=f(x)存在兩個拐點?故選(C).(2)【答案】(A)【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問題——已知解來確定微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質和結構來求解，也就是下面演示的解法.11【解析】由題意可知，2e2x、-3ex為二階常系數(shù)齊次微分方程y+ay+by=0的解，所以2,1為特征方程r2+ar+b=0的根，從而a=_(1+2)=—3，b=lx2=2，從而原方程變?yōu)閥"—3y'+2y=cex，再將特解y=xex代入得c=—1.故選(A)(3)【答案】(B)分析】此題考查冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級數(shù)的性質.【解析】因為乞a條件收斂，即x=2為幕級數(shù)藝a(x—1)n的條件收斂點，所以nnn=1n=1藝a(x—1)n的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為(0,2).而幕級數(shù)逐項求導不改變收斂區(qū)間，故nn=1藝na(x—1)n的收斂區(qū)間還是(0,2).因而x=與x=3依次為幕級數(shù)藝na(x—1)n的nnn=1n=1收斂點，發(fā)散點?故選(B).(4)【答案】(B)【分析】此題考查將二重積分化成極坐標系下的累次積分【解析】先畫出D的圖形，所以Hf(所以Hf(x,y)dxdyD=J3d0f-sin20f(rcos0,r1；2sin20sin0)rdr，故選(B)5)【答案】(D)〔11111〔11111解析】(A,b)=12adT01a—1d—1J4a2d2丿<00(a—1)(a—2)(d—1)(d—2)丿由r(A)=r(A,b)<3，故a=1或a=2，同時d=1或d=2.故選(D)(6)【答案】(A)學習資料

【解析】由x二Py，故f=xtAx=yT(PtAP)y=2y2+y2-y2.123’200'且PTAP=010.<00J'100、由已知可得:Q=p001=pc[0-10丿’200、故有QtAQ=CT(PtAP)C=0-10<001丿所以f=xtAx=yT(QtAQ)y=2y2—y2+y2.選(A)123(7)【答案】(C)【解析】由于ABuA,ABuB，按概率的基本性質，我們有P(AB)<P(A)且P(AB)<P(B)，從而P(AB)<.-P(A)-P(B)<P(A)；P(B)，選(C).(8)【答案】(D)【解析】E[X(X+Y—2)]=E(X2+XY—2X)=E(X2)+E(XY)—2E(X)=D(X)+E2(X)+E(X)-E(Y)—2E(X)=3+22+2x1—2x2=5，選(D).（9）【答案】—2【分析】此題考查0型未定式極限，可直接用洛必達法則，也可以用等價無窮小替換—sinx解析】方法ln(cosx)lim=解析】方法ln(cosx)lim=limxT0x2xT0cosx2x—tanx=limxT02x方法二：_1ln(cosx)ln(l+方法二：_1ln(cosx)ln(l+cosx一1)cosx一12X2lim=lim=lim=limXTOx2XTOx2XTOx2XTOx210)【答案】分析】此題考查定積分的計算，需要用奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的性質化簡.解析】I：X_2'sinxd+cosx+|x|dx二2j2xdx二丿(11)【答案】_dx分析】此題考查隱函數(shù)求導.【解析】令F(x,y,z)=ez+xyz+x+cosx_2，則F'(x,y,z)=yz+1_sinx,F'=xz,F'(x,y,z)=ez+xyxyz又當x=0,y=1時ez=1，即z=0.所以即Qx(0,1)F：(0丄0)=_］勻(0,1,0)=_，韻(0,1)zF'所以即Qx(0,1)F：(0丄0)=_］勻(0,1,0)=_，韻(0,1)zz(12)【答案】44分析】此題考查三重積分的計算，可直接計算，也可以利用輪換對稱性化簡后再計算.解析】由輪換對稱性，得jjj(x+2y+3z)dxdydz=6jjjzdxdydz=6j1zdzjjdxdy0QQDz其中D為平面z=z截空間區(qū)域。所得的截面，其面積為2(1_z)2.所以z2jjj(x+2y+3z)dxdydz=6jjjzdxdydz=6j1z丄(1_z)2dz=3j1(z3_2z2+z)dz=-.0204Q

【答案】2n+l-2（13）解析】按第一行展開得2-10L2-10L2LL0L0L=2D+(―1)n+12(-1)n-i=2D+2n-1n-122-12—2(2D+2)+2—22D+22+2—2n+2n-1+L+2—2n+1—2n-2n-21(14)【答案】2【解析】由題設知，X?N(1,1),Y?N(0,1)，而且X、Y相互獨立，從而P{XY—Y<0}—P{(X—1)Y<0}—P{X—1>0,Y<0}+P{X—1<0,Y>0}—P{X>1}P{Y<0}+P{X<1}P{Y>0}—1x1+1x1—122222(15)【答案】a——1,b——2,k——1x+aln(1+x)+bxsinxkx3【解析】法一：原式lim—kx3xT0—limxt—limxtO(X2X3x+ax——+—+o\23(x3)]丿kx3+bxx^―+OC3)I61-12121(1+a)x+b——x2+—limXT0ab()X3—X4+O37361—1kx3即1+a—0,b—2—唸—1

11a——1,b=——,k=——TOC\o"1-5"\h\z23x+aIn(1+x)+bxsinxkx3法二：lim—kx3xtO1+-^—+bsinx+bxcosx3kx2—lim———13kx2xt0因為分子的極限為0,則a=-1程，—lim豆xt0—1+2bcosx一程，—lim豆xt0—1+2bcosx一bxsinx6kx1—1'分子的極限為0,b--22——2bsinx—bsinx—bxcosx(1+x)3—limxt06k二1,k二--311/.a——1,b———,k———238(16)【答案】f(x)—4—x【解析】設f(x)在點C,f(x))處的切線方程為：y-f(x)=f(x)(x-x),00f(x)令y—0，得到x——+x,f'(x)00故由題意，￡fGo/一x)-4,即2fW?船—4，可以轉化為一階微分方1—-1—-8xy2即y'—，可分離變量得到通解為：一8y即f(x)=.-x+4(17)【答案】3【解析】因為f(x,y)沿著梯度的方向的方向導數(shù)最大，且最大值為梯度的模.f'(x,y)=1+y,f'(x,y)=1+x,xy故gradf(x,y)={1+y,1+x},模為*'(1+y)2+(1+x)2,此題目轉化為對函數(shù)g(x,y)=\；(1+y)z+(1+x)z在約束條件C:x2+y2+xy=3下的最大值.即為條件極值問題.為了計算簡單，可以轉化為對d(x,y)=(1+y匕+(1+x匕在約束條件C:x2+y2+xy=3下的最大值.構造函數(shù)：F(x,y,九)=(1+y匕+(1+x匕+九C+y2+xy—3)F'=2(1+x)+九(2x+y)=0x<F=2(1+y)+X(2y+x)=0,得到M(1,1),M(—1,—1),M(2,—1),M(—1,2).y1234=x2+y2+xy—3=0d(M)=8,d(M)=0,d(M)=9,d(M)=91234所以最大值為訂9=3.TOC\o"1-5"\h\z(18)【解析】⑴[u(x)v(x)]'=limu(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)

hT0hu(x+h)v(x+h)—u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)—u(x)v(x)=limhT0hv(x+h)—v(x)u(x+h)—u(x)=limu(x+h)+limv(x)hT0hhT0h=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料學習資料(II)由題意得f(x)=[u(x)u(x)Lu(x)]‘12n12=u'(x)u(x)Lu(x)+u(x)u'(x)Lu(x)+L+u(x)u(x)Lu'(x)1212(19)【答案】尋nx=cos0【解析】由題意假設參數(shù)方程｛y=V2sin0,z=cos0「2[—(\2sin0+cos0)sin0+2sin0cos0+(1+sin20)sin0]d0■n2=f—2-J2sin20+sin0cos0+(1+sin20)sin0d0■n2=2邁1o2sin20d0=Fn20)【答案】【解析】⑴證明:(P,P(P,P,P)=Ga+2ka,2a,a+(k+I)a)31231廠20、2k3211]0k+1丿2012120121020=22kk+12k0k+1=4豐0故B,卩,卩為R3的一個基.123(II)由題意知，t=k1卩］+k2P2+學習資料+ka,p豐033即k(P-a)+k(P-a)+k(P-a)=0,k豐0,i=1,2,3TOC\o"1-5"\h\z111222333i-a)=03k(2a+2ka-a)+k(2a-a)+k(a+-a)=031131222313k(a+2ka)+k(a)+k(a+ka)=0有非零解11322313即a+2ka,a,a+ka=013213101即010=0，得k=02k0kka+ka+ka=0TOC\o"1-5"\h\z112231k=0,k+k=0213g=ka—ka,k豐011131(21)【解析】(I)A?Bntr(A)=tr(B)n3+a=1+b+102-31-20IA=Bn-13-3=0b01-2a031TOC\o"1-5"\h\za-b=-1Fa=42a-b=3n|b=5'02-3''100、'-12-3、(II)A=-13-3=010+-12-3=E+C<1-23丿<001丿<1-23丿-3''-1]-3=-13丿<1丿'-12C=-12、1-2(1-23)TOC\o"1-5"\h\zC的特征值九=九=0,九=4\o"CurrentDocument"123九=0時(0E-C)x=0的基礎解系為〔=(2,1,0)t；〔=(-3,0,1)t12九=5時(4E—C)x=0的基礎解系為g=(一1,-1,1)t3ACr2-3-1、令P=(勺,g2,g3)=2310-1厶JV011丿r1???P-1AP=1V5丿A的特征值九二1+九：1,1,5(22)【解析】(I)記p為觀測值大于3的概率，則p二P(X>3)2-xln2dx二1,38從而P{Y二n}=C1p(1-p)?-2pn-1=(n-1)(8)2(8)n-2n=2,3,L為Y的概率分布；(II)法一:分解法:將隨機變量Y分解成Y=M+N兩個過程，其中M表示從1到n(n<k)次試驗觀測值大于3首次發(fā)生，N表示從n+1次到第k試驗觀測值大于3首次發(fā)生.則M~Ge(n,p)，N:Ge(k—n,p)(注:Ge表示幾何分布)所以E(Y)=E(M+N)=E(M)+E(N)=112+=ppp法二:直接計算E(Y)=Sn-P{Y=n}=2n-(n一1)(丄)2()一2=藝n-(n一l)[(?)n-2-888n=2n=2n=2n-1+(—)n]記S(x)=Sn-(n一1)xn-21n=2n?(n一1)xn-2=(Sn?Xn-1y=(2Xn)"=n=2n=2n=22(1-x)3S(x)=藝n-(n-1)xn-1=x藝n-(n-1)xn-2=xS(x)=—2x—,

2n=2L(e)=H1-L(e)=H1-e=(1-e)n'i=1TOC\o"1-5"\h\zS(x)=區(qū)n-(n-1)xn=x2藝n-(n-1)xn-2=x2S(x)=—,3221(1-x)3n22—4x+2x22所以S(x)=S1(x)-2S2(x)+S3(x)==口，7從而E(Y)=S(詁=16.8(23)【解析】⑴E(X)=Axf(x；e)dx=J1x-dx=芝,-se1-e2令e（x）=x，即罟=X，解得淨=2X-1,X=n區(qū)x為e的矩估計量;i=1（ii）似然函數(shù)l（0）=打f（x；e）=<ii=1/丄］<1-0丿0,,e<x<1i，其他當當e<x<1時,

i貝ylnL(0)=-nln(1-0).從而dlnL（e）de1角，關于e單調增加,所以（$=min{X1,XQi,Xn}為e的最大似然估計量.2016年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答．題．紙．指定位置上.（1）若反常積分J+s/1、dx收斂，則（）0xa11+x戶學習資料學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考(A)a<1且b>1(B)a>1且b>1(C)a<1且a+b>1(D)a>1且a+b>1〔2(x-1),x<1已知函數(shù)f(x)=]，則f(x)的一個原函數(shù)是()[Inx,x>1(A)F(x)J「匕<1(B)F(宀；(「匕<1(C)F(x)」(節(jié)1)2，x)<1(D)F(x)J；-1)2，x)<1[x(lnx+1)+1,x>1[x(lnx-1)+1,x>1若y=(+x2>-\；'l+x2,y=G+x2)+pi+x2是微分方程y'+p(x)y=q(x)的兩個解，則q(x)二()(A)3x(1+x2)(B)-3x(1+x21+x21+x2x,x<0已知函數(shù)f(x)=]111…“，則()-,——<x<—,n=1,2,K[nn+1n(A)x=0是f(x)的第一類間斷點(B)x=0是f(x)的第二類間斷點(C)f(x)在x=0處連續(xù)但不可導(D)f(x)在x=0處可導設A，B是可逆矩陣，且A與B相似，則下列結論錯誤的是()(A)At與Bt相似(b)A-1與B-1相似(C)A+At與B+Bt相似(d)A+A-1與B+B-1相似(6)設二次型f(x,x,x)=x2+x2+x2+4xx+4xx+4xx，則f(x,x,x)=2在123123121323123空間直角坐標下表示的二次曲面為()(A)單葉雙曲面(B)雙葉雙曲面(C)橢球面(C)柱面學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考（7）設隨機變量X~NCq2h>0）,記p二p{x+g2},則（）（A）P隨著卩的增加而增加（B）p隨著b的增加而增加（C）P隨著卩的增加而減少（D）p隨著b的增加而減少1（8）隨機試驗E有三種兩兩不相容的結果A,A,A，且三種結果發(fā)生的概率均為了，將1233試驗E獨立重復做2次，X表示2次試驗中結果A發(fā)生的次數(shù)，Y表示2次試驗中結果A12發(fā)生的次數(shù)，則X與Y的相關系數(shù)為（）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.Jxtln(1+1sint》t1-COSX2(9)lim-o-1-COSX2xt0(10)向量場A(x,y,z)=(x+y+z》+xyj+zk的旋度rotA=(11)設函數(shù)f(u,v)可微，z-z(x,y)由方程(x+l)z—y2-x2f(x-z,y)確定，則dz(0,1)12)dz(0,1)12)設函數(shù)f(x)-arCtanx-x1+ax2且f''(0)-1，則a-九一1000一114)設x,xx為來自總體N（ji，b2）的簡單隨機樣本，樣本均值x-9.5，參數(shù)卩14)12n置信度為0.95的雙側置信區(qū)間的置信上限為10.8,則卩的置信度為0.95的雙側置信區(qū)間為三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答．題．紙．指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考學習資料學習資料(15)(本題滿分10分)已知平面區(qū)域D二6,0)2<r<2(1+說)廠|尺號，計算二重積分“xdxdyD(16)(本題滿分10分)設函數(shù)y(x)滿足方程y''+2y'+ky=0,其中0<k<1.(I)證明：反常積分J+?y(x)dx收斂；0(II)若y(0)二1,y'(0)二1,求卜y(x)dx的值.0Qf(xy)(17)(本題滿分10分)設函數(shù)f(x,y)滿足=(2x+1)e2x-y,且f(0,y)二y+1,LQxt是從點(0,0)是從點(0,0)到點(1/)的光滑曲線，計算曲線積分I(t)=jQf(x,y)LQx求I(t)的最小值(18)設有界區(qū)域0由平面2x+y+2z=2與三個坐標平面圍成，工為0整個表面的外側,計算曲面積分I=KC2+)ydz一2ydzdx+3z