教學(xué)目根據(jù)題目中的實(shí)際情況能夠正確進(jìn)行單位“1”的和轉(zhuǎn)換知識(shí)精工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比較。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時(shí)間和工作效率之間相互關(guān)系的問題。①具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識(shí)，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)③學(xué)會(huì)畫線段示意圖．線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百④學(xué)會(huì)多角度、多側(cè)面思考問題的方法．分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問題之間的關(guān)系變化多端，例題精1】（難度等級(jí)）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需28天時(shí)間，乙單獨(dú)做需21天時(shí)間，如果甲、乙合作需要多少時(shí)間？【解析】將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的

，乙每天完成總量的1人合作每天能完成總量的111，所以兩人合作的話，需要1

12 2】（難度等※）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要30天時(shí)間，甲、乙合作需要12天時(shí)間，如果乙單獨(dú)【解析】將整個(gè)工程的工作量看作“1

1，乙單獨(dú)做每天能完成總量的111，所以乙單獨(dú)做1

20 【鞏固（難度等級(jí)※）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做21天時(shí)間，甲、乙合作需要12天時(shí)間，如果乙單獨(dú)【解析】將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的

1，乙單獨(dú)做每天能完成總量的11

28 【例3】（難度等級(jí)※※）甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)可以完成任務(wù)．如果甲單獨(dú)加工需要12小時(shí)完成．現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了22小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)5產(chǎn)了420個(gè)零件才完成任務(wù)．問乙一共加工零件多少個(gè)【解析】乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工11 甲調(diào)出后，剩下工作乙需做(1221)184時(shí) 以乙每小時(shí)加工零件4208425(個(gè))，則22小時(shí)加工252260 420+60＝480【鞏固（難度等級(jí)※※）一件工作，甲、乙兩人合作30成，共同做了6甲離開了，由乙繼續(xù)做了40果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？【解析】共做了6天后，原來，甲做24天，乙做24天 現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16 如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是3030375天如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間2303025075503合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天【解析】6328484863-48=15（天3乙要多做4

426363-42=21（天2142828+2856（天3做564】（難度等※※）一項(xiàng)工程，甲、乙合作需20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙單獨(dú)做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？“1

1，乙丙1 乙1因此不難得到丙的工作效率為111，因此三個(gè)人的工作效率之和為111 12要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？【解析】法一：和上題類似 可以有：甲乙1，乙丙

，丙

為1

11

1，從而甲丙合作的工作效率為

11 12

到“甲+丙”的值呢？不難發(fā)現(xiàn) 只要把乙消掉就可以了；因 有：甲乙丙2乙丙甲丙，也是說：甲丙1121

，所以甲丙合作12 兩人合作要60甲一人獨(dú)做需要多少天完成？【解析】1。甲乙兩人合作每天完成

，甲丙兩人合作每天完成

作每天完成1，甲、乙、丙三人合作每天完成(111261 每天完成的工作量，甲每天完成111，甲獨(dú)做需要1

90 答：甲一人獨(dú)做 90【鞏固（難度等級(jí)※※）一件工程，甲、乙兩人合作8可以完成，乙、丙兩人合6可以完成，丙、丁兩人12以完成．那么甲、丁兩人合作多少天可以完成?【解析】8

1、

8

+1－1=

，甲、丁合作的工作效率為

24【鞏固】（難度等級(jí)※※）一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完人合做18天完成．那么丙一個(gè)人來做，完成這項(xiàng)工作需要多少乙，即8

+1－

=

工作效率，所以乙的工作效率為

9

-13

1

1=488

＋1＋

＝

485】（難度等級(jí)）一池水，甲、乙兩管同時(shí)開，5時(shí)灌滿；乙、丙兩管同時(shí)開，4滿．現(xiàn)在先6小時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)2小時(shí)才能灌滿．乙單獨(dú)開幾小時(shí)可以灌滿時(shí)開2小時(shí)灌滿可以把乙管的6小時(shí)分成3個(gè)2小時(shí)，第一個(gè)2小時(shí)和甲同時(shí)開，第時(shí)開2小時(shí)，乙單獨(dú)開2小時(shí)，正好灌滿一池水．可以計(jì)算出乙單獨(dú)灌水的工作量為112121，所以乙的工作效率為：1(622

需要1

20（小時(shí)6】（難度等級(jí)※※※）(2007年四中考題)某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水，單開甲管需12小時(shí)注滿，單開乙管需24小時(shí)注滿，若要求10小時(shí)注滿水池，且甲、乙兩管同時(shí)打開的時(shí)間盡量少，那么甲、乙最少要同時(shí)開放小時(shí)．以，乙開放的時(shí)間為1110

44 7（難度等級(jí)）一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4方米水.如果打開5水龍頭，2時(shí)半就把水池水放空，如果打開8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問要【解析】121604×60240（方米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1240÷（5×1508×90）8（方米8個(gè)水龍頭1個(gè)放出的水量是8×8×90其中90分鐘內(nèi)流入水量是4×因此原來水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）138】（難度等級(jí)※※※※）10相同的進(jìn)水AB兩個(gè)水池注水，原計(jì)劃4根進(jìn)水管A水池6B水池5小時(shí)可同時(shí)注滿A水池以一定的速度漏水，所以改為各用5根進(jìn)水管給水池注水，結(jié)果也是同時(shí)注滿．(1)如果用10根進(jìn)水管給漏水的A水池注水，需要多少分鐘注滿?(2)如果增加4根同樣的進(jìn)水管，A水池仍然漏水，【解析】設(shè)每只進(jìn)水管的工效為“1A4×5=20，B6×5=305B30÷5=665A30了30—20=10，因此漏水的工效為1065(1)用10根進(jìn)水管給漏水的A池灌水，那么需320(105)2.4小時(shí)＝144分鐘 (2)設(shè)A池需x根，那么B池需14x根，3(x514x)23所以有282x3x5x6.6所以A池用7根或6根進(jìn)水3A7A：7根水管，需時(shí)間20(7533小時(shí)=225B：7 管，需時(shí)間30730小時(shí)2572577A6A：6根水管，需時(shí)間206560小時(shí)277B：8 4257，7A，7B9】（難度）甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務(wù)．甲車單獨(dú)清掃需10小時(shí)，乙車單獨(dú)清掃需15小時(shí)，兩車同時(shí)從東、西城相向開出，相遇時(shí)甲車比乙車多清12【解析】先求出甲、乙相遇的時(shí)間：1116 甲清掃全長的163，乙清掃了全部的162；所以東、西兩城相距123260

因?yàn)闀r(shí)間相等，路程比等于速度比，這樣相遇時(shí)甲、乙清掃的路程比是1:10

3:2甲行了全程的3

，乙行了全程的3

，全程就是123260 5 5后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？【解析】根據(jù)題意可知，甲的工作效率為

，乙的工作效率為19做了(1101114 【鞏固（難度等級(jí)）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)20天可以完成，甲隊(duì)做了8天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊(duì)單獨(dú)做15天完成．問：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需多少天？【解析】方法一：甲的工作效率為

，甲隊(duì)8天的工作量為182，所以乙隊(duì)15天的工作量為 123315125 4方法二：此題可以用代換法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率為甲 5乙獨(dú)做的時(shí)間為20425（天511】（難度等級(jí)※※※（2009年十三分小升初入學(xué)測(cè)試題）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做40天完成，乙單獨(dú)做60天完成．現(xiàn)在兩人合作，中間甲因病休息了若干天，所以經(jīng)過了27天才完成．問甲【解析】601279 有191111122（天，休息了27225（天 法二：假設(shè)中間甲沒有休息，則兩人合作27天，應(yīng)完成全部工程的(11279單位“1”9111

5（天

【鞏固】（難度等級(jí)※※※）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成．甲、乙合作了幾后，乙因事請(qǐng)假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務(wù)共用了16天．乙請(qǐng)假多少天【解析】法一：甲一共干了16天，完成了全部工程的1164，還有141 1

6(天)，休息了16610(天)，請(qǐng)假天數(shù)為：16610法二：假設(shè)乙沒有請(qǐng)假，則兩人合作16天，應(yīng)完成全部工程的(11164“1”4111

10

【鞏固（難度等級(jí)※※※）有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10乙隊(duì)12丙隊(duì)獨(dú)修需15在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中途甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完．當(dāng)甲隊(duì)撤【解析】甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)合修的工作效率為11116天完成的工程量為16

際6天完成了的工程量為1，11超過單位“1”1111 1

56-1=5【例2】（難度等級(jí)※※※(2007年十一學(xué)?？碱})6需要0天完成，丙單獨(dú)做需要48天完成．現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天．那么丙休息了天．【解析】xy11x

y1，化簡(jiǎn)得44x15y720 30 于15y72015x15x7204417x15y4，所以丙休息了15411天．甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天【解析】133×2=6（天1天，完成工作量的

成工作量的13，丙就完成工作量的

6

112 26122020解法二：本題整數(shù)化會(huì)帶來計(jì)算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可72643.總共用了 33

20【例14】(2007年附中考題)一些工人做一項(xiàng)工程，如果能調(diào)來16人，那么10天可以完成；如果調(diào)來4人，就要20天才能完成，那么調(diào)走2人后，完成這項(xiàng)工程需 天【解析】設(shè)1個(gè)人做1天的量為1xx1610x420x8．如果調(diào)走2人，需要816108240(天15（難度等級(jí)）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路，最終按工作量分8400元工資．按兩隊(duì)原計(jì)劃的工作效率，乙隊(duì)?wèi)?yīng)獲5040元．實(shí)際上從5天開始，甲隊(duì)的工作效率提高了1倍，這樣甲最終可比原計(jì)劃多獲得960元．那么兩隊(duì)原計(jì)劃完成修路任務(wù)要多少天【解析】開始時(shí)甲隊(duì)拿到840050403360元，甲、乙的工資比等于甲、乙的工效比，即為3360504023；甲提高工效后，甲、乙總的工資及工效比)x天才能完成任務(wù)．有(244x343x1817，化簡(jiǎn)為21654x13668x，解x40．工程總量為5474060，所以原計(jì)劃602312天完成． 【例16】（難度等級(jí)※※※※）(附中考題)甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率單獨(dú)做時(shí)提高

，乙的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高．甲、乙兩人合作6小時(shí)，完成全部5，第二天乙又單獨(dú)做了6小時(shí)，還留下這件工作的13尚未完成，如果這件工作始終由5單獨(dú)來做，需要多少小【解析】(12136

26

5)

以，單獨(dú)由甲做需要：1

17】（難度等級(jí)※※※※（2009年四中小升初入學(xué)測(cè)試題、2009第七屆“希望杯”六年級(jí)試）甲、乙兩人合作清理400米環(huán)形跑道上的積雪，兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)背向而行各自1作，最初，甲清理的速度比乙3

，中途乙曾用10分鐘去換工具，而后工作效率比原來提1問乙換了工具后又工作了多少分鐘？【解析】首先求出甲的工作效率，甲1個(gè)小時(shí)完成了200米的工作量，因此每分鐘完成2006010（米31，也就是說乙開始每分鐘完成為1011)2.5（米 2.525（米502002.5米，換工具之后的時(shí)間每分鐘完成了5米，求換工具之后的2.550125（），比實(shí)際少了20012575（），這是因?yàn)閾Q工具后每分鐘多掃了，法二：其實(shí)這個(gè)問題當(dāng)中的400米是一個(gè)多余條件，只需要根據(jù)甲乙兩人工作量相同和他之間的工作效率之比就可以求出這個(gè)問題的答案。不妨設(shè)乙開始每分鐘清理的量為3，甲比1，甲每分鐘可以清理4，60分鐘之后，甲一共清理了4602403240份，但是乙之前的工作效率為3，換工具后的工作效率為6，和（法一相同的，利用雞兔同籠的思想，可以得到乙換工具后工作了(240350(6330※※※※（2009甲每小時(shí)加工40個(gè)，當(dāng)甲完成任務(wù)的1時(shí)，乙完成了任務(wù)的140個(gè)．這時(shí)乙開始提高工 作效率，又用了7.5小時(shí)完成了全部加工任務(wù)．這時(shí)甲還剩20個(gè)零件沒完成．求乙提高工效【解析】114040 2020所以在后來的7.5402060個(gè)，那么乙比甲每小時(shí)多完成607.5個(gè)．所以提高工效后乙每小時(shí)完成40848【例19】（難度等級(jí)※※※※）甲、乙兩項(xiàng)工程分別由一、二隊(duì)來完成．在晴天，一隊(duì)完成甲工作要12天，二隊(duì)完成乙工程要15天；在雨天，一隊(duì)的工作效率要下40%，二隊(duì)的工作效率要下降10．結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成工作，問工作時(shí)間內(nèi)下了多少天雨？【解析】1和111

一隊(duì)、二隊(duì)的工作效率分別為1140%1和1110%3 11．由1:

60程的13151610 20】（難度等級(jí)※※※※）一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做10乙獨(dú)做需15果兩人合做，甲的工4效率就要降低，只能完成原來5

，乙只能完成原來

8成這項(xiàng)工程，兩人做天數(shù)盡可能少，那么兩人要合做多少x8x

×80％+

×90％)x+

×(8x)=l，x=5.5【例21】（難度等級(jí)※※※※）一項(xiàng)挖土萬工程，如果甲隊(duì)單獨(dú)做，16天可以完成，乙隊(duì)單獨(dú)做要1天能完成．現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)施工，工作效率提高204

時(shí)，突然遇到 水，響了施工進(jìn)度，使得每天少挖47.25果共用10天完成工程．問整工程要挖多少方【解析】甲、乙合作時(shí)工作效率為(1+

)×(1+20%)=

4

的工程量需4

÷

=

則遇 水后，甲、乙兩隊(duì)又工作了10-50=220(天)．則此時(shí)甲、乙合作的工作效率為3 220=

．遇 水前后工作效率的差為

-

=

，則總工作量為

=1100

【例2】（難度等級(jí)※※※※（20091試甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別負(fù)責(zé)兩項(xiàng)工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分別是晴天時(shí)的%和%．實(shí)際情況是兩隊(duì)同時(shí)開工、同時(shí)完工．那么在施工期間，下雨的天數(shù)是天．【解析】在晴天，甲、乙兩隊(duì)的工作效率分別為1和1，甲隊(duì)比乙隊(duì)的工作效率高113 在雨天，甲隊(duì)、乙隊(duì)的工作效率分別為1303和1801 高1

20 晴天與雨天的天數(shù)比為1:50

8:158183151.251 間，共有81.256.4個(gè)晴天，151.2512（一）整體分析23（難度等級(jí)※※※）甲、乙兩隊(duì)合作挖30天完成，若4天后，再由乙隊(duì)單獨(dú)挖16天，共挖了這條水渠2．如果這條水渠由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)挖，各需要多少天？5【解析】2需要：30212(天)．甲隊(duì)先做4天，比合作少了1248 乙隊(duì)后做16天，比合作多了16124(天)，所以甲隊(duì)做8天相當(dāng)于乙隊(duì)做4天，甲、乙兩隊(duì)工作效率的比是4:812．甲隊(duì)單獨(dú)工作需要：3030290(天)；乙隊(duì)單獨(dú)工作需要：法二 知道，甲乙合作，每天可以完成工程的

，而題目中給定的“甲隊(duì)先挖4乙隊(duì)單獨(dú)挖164天，然后再由乙隊(duì)單獨(dú)挖12天，于是兩隊(duì)合作4可以完成工程的142，也就是說乙隊(duì)12天挖了22

，于是乙隊(duì)的工作效率為 121，那么甲隊(duì)的工作效率就是111，即甲隊(duì)單獨(dú)做需要90 45天。工程問題里面也經(jīng)常用到比例，是因?yàn)楣こ虇栴}的基本數(shù)量關(guān)系是乘法關(guān)系．其實(shí)這※※※（2008甲、乙、丙三人生產(chǎn)一批玩具，甲生產(chǎn)的個(gè)數(shù)是乙、丙二人生產(chǎn)個(gè)數(shù)之和的1，乙生產(chǎn)的2是甲、丙兩人生產(chǎn)個(gè)數(shù)之和的3

，丙生產(chǎn)了50個(gè)。這批玩具共 個(gè)三人生產(chǎn)玩具數(shù)量的總和。甲是乙丙和的1，則總和為3，甲占了11 11，那么可知丙生產(chǎn)的玩具占總數(shù)的11153數(shù)是50

120（個(gè)

【例5】（難度等級(jí)※※※）(2008年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題)幾個(gè)同學(xué)去割兩塊草地的草，甲地面積是乙地面積的4倍，開始他們一起在甲地半天，后來留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，這樣又半天，甲、乙兩地的草同時(shí)割完了，問：共有多少名學(xué)生？【解析】有12人全天都在甲地割草，設(shè)有人上午在甲午在乙地割草．由于這人在下午能割完乙的草(甲地草的1)，所以這些人在上午也能割甲地1的草，所以12人一 甲地3的草， 31215512020 4【鞏固】（難度等級(jí)※※※）一批工人到甲、乙兩個(gè)工地進(jìn)行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的作量的11倍．上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，下午這批工人中有

的人去 4名工人再做1那么這批工人有多少人？【解析】1212x那么上午有9x人在甲工地，有3x人在乙工午有7x人在甲工地，有5x人在乙工地．所以甲工地相當(dāng)于9 7x28x人做了一整天；乙工地相當(dāng)于3 5x24x人做了一整天．228x3份，那么4x3份，所以乙工地還剩下23 143份需要431248x24 2 可得x3，那么這批工人有12336【例6】（難度等級(jí)※※※（20092試6714丙幫甲小時(shí)，幫乙小時(shí)．211121 1217，所以丙幫甲搬了171 11132113318 【鞏固】（難度等級(jí)※※※）搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物，甲需10小時(shí)，乙需12小時(shí)，丙需15小時(shí)．有同ABA倉庫B倉庫同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫【解析】21118小時(shí)，丙幫助甲搬運(yùn)了1181

小時(shí)，丙幫助乙搬運(yùn)了83527（難度等級(jí)※※※※）甲、乙、丙AB兩項(xiàng)工程B工程的工A作量再增加1，如果讓甲、乙、丙三隊(duì)單獨(dú)做，完成A工程所需要的時(shí)間分別2024天430天．現(xiàn)在讓甲隊(duì)做AB工程，為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，丙隊(duì)先與乙隊(duì)合做工程若干天，然后再與甲隊(duì)合做A工程若干丙隊(duì)與乙隊(duì)合做了多少天位“1B工程的工作量就是“55聯(lián)系到了一起了。41511118天。18 4 30 B工作，因此乙的工作量為1183BB 4用了53 4

15天也就是說兩隊(duì)合作了15解題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位，運(yùn)用公式：工作效率工作時(shí)間工作總量，表示出【例28】（難度等級(jí)※※※※）甲、乙、丙三人同時(shí)分別在3個(gè)條件和工作量相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時(shí)，乙用12小時(shí)，丙用15小時(shí)．第二天三人又到兩個(gè)大倉庫工作，這兩個(gè)倉庫的工作量A倉庫乙在B倉庫丙先幫甲后16個(gè)小時(shí)將兩個(gè)倉庫同時(shí)丙在A倉庫搬了多長時(shí)間？【解析】A、B8可以搬完．因?yàn)榧?、乙、丙三人每小時(shí)的工作量的比是1:1:1012

成大倉庫工作量的1 1，丙每小時(shí)可以完成大倉庫工作量的1

1865 16A倉庫的1164A倉庫搬了(14

865 6 【例9】（難度等級(jí)※※※※）一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)做要7天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，這么比上次輪流的做法多用半天完工．問：甲單獨(dú)做需要幾天？做比甲、乙輪流做多用半天，這半天是甲做的．如果設(shè)甲、乙工作效率分別為V1和V2VV1V，所以V2V，乙單獨(dú)做要用17天，甲的工作效率是乙的2 2 1728.5天30（難度等級(jí)※※※※）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做12時(shí)完成18時(shí)完成．若甲先做1小時(shí)，然后乙甲做1小時(shí)，再由甲乙做1小時(shí)，……，兩人如此交替工作，【解析】 571（小時(shí) 7351③余下的

111（小時(shí)36 721141（小時(shí) 212順序交替工作，每次1小時(shí)，那么需要多長時(shí)間完成？【解析】甲11，乙1小時(shí)完成整個(gè)工程的

114，甲、乙各干3小時(shí)后完成整個(gè)工程的4341，甲再干1 11120分鐘即可完成．所以需要720 【鞏固】（難度等級(jí)※※※※）規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程，要求第一個(gè)人先做1個(gè)小時(shí)，第二個(gè)人接著做一個(gè)小時(shí)，然后再由第一個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，然后又由第二個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，如此反復(fù)，做為止．如果甲、乙輪流做一個(gè)工程需要9.8小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要9.6小時(shí)，【解析】根據(jù)題意，有：甲乙甲乙甲1小時(shí)乙0.8小時(shí)，可知，甲做10.60.4小時(shí)與乙做10.80.2乙21所以，乙單獨(dú)工作需要9.85527.3小時(shí)．【鞏固】（難度等級(jí)※※※※）蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管．要灌滿一池水，單開進(jìn)水管需5小3的順序輪流各開1小時(shí)．問：多長時(shí)間后水池的水剛好排完？(精確到分鐘)【解析】1小時(shí)排水比1小時(shí)進(jìn)水多112，12 1，說明排水開了3小時(shí)后（實(shí)際加上 2 3小時(shí)，已經(jīng)過去6小時(shí)了，水池還剩一池子水的1再過1小時(shí)，水池里的水為一池子水的113 把這些水排完需要3191

61979小時(shí)7小時(shí)54

1小時(shí)排水比1112，2411 說明8小時(shí)以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的1排一池子需要3小時(shí)，排一池子水的1需要3

1所以實(shí)際需要8179小時(shí)7小時(shí)54

【鞏固】（難度等級(jí)※※※※）一項(xiàng)工程，甲、乙合作123小時(shí)可以完成，若第1小時(shí)甲2小5乙做，這樣交替輪流做，恰好整數(shù)小時(shí)做完；若第1小時(shí)乙做，第2小時(shí)甲做，這樣交替輪1比上次輪流做要3

小時(shí)，那么這項(xiàng)工作由甲單獨(dú)做，要用多少小時(shí)才能完成3111甲 得乙2甲．甲、乙工作效率之和為：1123

，甲的工作效率為：

(12)

313所以甲單獨(dú)做的時(shí)間為1

21

31】（難度等級(jí)※※※※）甲、乙、丙3隊(duì)要完成A，B兩項(xiàng)工程．B工程的工作量比A1作量4

．甲、乙、丙3隊(duì)單獨(dú)完成A工程所需時(shí)間分別是20天、24天、30天.為了成這兩項(xiàng)工程，先派甲隊(duì)做A工程，乙、丙兩隊(duì)共同做B共同完成A工程．那么，丙隊(duì)與乙隊(duì)合作了多少天?【解析】設(shè)A項(xiàng)工程的工程總量為“1B工程的工程總量為4

，A、B1+5=

．而甲、乙、丙合作時(shí)的工作效率為

+1

1=

4

1=181818×1

量，則B53 15

2

÷1=15(開甲管需3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)，要排光一池水，單開乙管需要4小時(shí)，單開丁管需要小時(shí)，現(xiàn)在池內(nèi)有1的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的順序輪流打開1小時(shí)6問多少時(shí)間后水開始溢出水池【解析】甲乙丙丁順序循環(huán)各開1小時(shí)可進(jìn)水：111175次后水池還空：11751 1113(小時(shí))，所以經(jīng)過453203 【例33】（難度等級(jí)※※※※※）一件工程甲單獨(dú)做50小時(shí)完成，乙單獨(dú)做30小時(shí)完成．現(xiàn)在甲先做1小時(shí)，然后乙做2小時(shí)，再由甲做3小時(shí)，接著乙做4小時(shí)……兩人如此交替工作，完成任務(wù)【解析】135716246820 此時(shí)剩下的工作量為116201．還需甲做112 所以共需(1357)24682362 【例4】（難度等級(jí)※※※※※0作效率各不相同，那么這項(xiàng)工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？【解析】首先應(yīng)確定按每一種順序去做的時(shí)候最后一天由完成．如果按甲、乙、丙的順序去做，最后那么按乙、丙、甲的順序去做，最后由甲做了半天來完成，這樣有甲乙乙丙1甲2丙1甲；而按丙、甲、乙的順序去做，最后由乙做了半天來完成，這樣有甲乙丙甲1乙 可得丙1乙．那么甲乙2序去做，最后一天是由甲完成的．那么有甲乙1丙丙1甲，可得乙3甲丙1甲 項(xiàng)工作由甲、乙、丙三人一起做，要 天【例35】（難度等級(jí)※※※※※）甲、乙、丙三人完成一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙順序每人輪流作一天，正好整數(shù)天完成，若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天，則比原計(jì)劃多用1天2若按丙、甲、乙的順序每人輪流工作一天，則比原計(jì)劃多用3

天．已知甲單獨(dú)完成這件10.75：甲、乙、丙一起做這件工作，完成工作要用多少天周期內(nèi)完成，但是在本題中，有兩種可能，第一種可能是完整周期1天，第二種可能是完整周期2天．如果是第一種可能，有甲乙1丙丙1甲，得乙丙2甲 的效率和

122

284個(gè)周期后完成284112，還剩下11121710.75 3

而甲每天完

4

1 n11

n1112n1113可得甲乙乙丙1甲丙甲1乙，所以丙1甲，乙3甲．因?yàn)榧讍为?dú)做需10.75 以工作效率為4，于是乙的工作效率為433，丙的工作效率為412 43

43 9

．則需1434 1947 二種可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是

要194347 （二）多做4天，或者由甲、乙兩人合作1這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？【解析】丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍1413313天，甲只要1313262613 工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要13132626 【例37】（難度等級(jí)※※※）抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的1的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和5獨(dú)抄需要多少天才能完

．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙【解析】81

18

；由于丙抄寫568

-1

1＝1 1÷

=2438】（難度等級(jí)※※※）一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做6天完成，甲3天的工作量4天完成．兩隊(duì)合天后由乙隊(duì)獨(dú)做，還要幾天才能完34天完成的量，乙需要44162 乙還要做16210 法二：甲的工作效率為1，所以乙的工作效率為1341．兩隊(duì)合作2天后乙隊(duì)獨(dú)做還要 11212110天才能完成 【例9】（難度等級(jí)※※※23才能完成．如果甲、乙合做2合做需要幾天完成？所以完成這項(xiàng)工作甲、乙所用的時(shí)間比是2:3325(32 15乙合做需要1116 15

3

15(天)，甲獨(dú)做需要1551040】（難度等級(jí)※※※）一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可以完成；如果20天，那么乙接著做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可【解析】本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，先畫出示意圖20424(天)完成，即乙的工作效率是1又因?yàn)橐夜ぷ?天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的4514

，那么甲、乙合作完成這一工程需要的時(shí)間為1

1131 【鞏固（難度等※※※）一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成；甲先做8小時(shí)，乙接著做6小時(shí)也可以完成．如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完成？【解析】根據(jù)題意可知，甲做862小時(shí)的工作量等于乙做1266小時(shí)的工作量，可見甲做1小時(shí)的工作量等于乙做3小時(shí)的工作量．那么可以用乙做3小時(shí)來代換甲做1小時(shí)，可知乙完成全部工作需要63123039小時(shí)，所以乙還需要30921【鞏固】（難度等級(jí)※※※）一份文件，如果甲10小時(shí)，乙10小時(shí)可以抄完；如果甲抄8乙抄13小時(shí)也可以抄完．現(xiàn)在甲先抄2小時(shí)，剩下的甲、乙合作，還需要幾小時(shí)才能完成【解析】由題意可知，甲、乙合作的效率為

81385小時(shí)，則乙單獨(dú)工作的效率為1811381 10 所以甲單獨(dú)工作的效率113．甲、乙兩人的工作效率之比為3:

3:2 5022小時(shí)的工作量如果兩人合作，需要3232115所以剩下的工作量由甲、乙合作，還需要101184 【例41】（難度等級(jí)※※※※※）(2008年附中“資優(yōu)博雅杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽)一項(xiàng)工程，甲先做若干天后由乙繼續(xù)做，丙在工程完成1時(shí)前來幫忙，待工程完成5時(shí)離去，結(jié)果恰按計(jì)劃完成任 其中乙做了工程總量的一半如果沒有丙的參與僅由 甲后一直做下去將比計(jì)劃推遲33天完成；如果全由甲單獨(dú)做，則可比計(jì)劃提前6天完成．還知道乙的工作效率是丙的3計(jì)劃規(guī)定的工期是多少天？【解析】51 34341的工程所用的時(shí)間為104110 11011

1

201010111107，根據(jù)題意，這

40 要20614天，那么甲的工效為7141．甲完成全部工程需要24 6天完成，所以原計(jì)劃工期是24630（三）42（難度等級(jí)）一批零件平均分給甲、乙兩人同時(shí)加工，兩人工作5小時(shí)，共完成這批零2。已知甲與乙的工作效率之比是53，那么乙還要幾小時(shí)才能完成分配的任務(wù)？3【解析】乙523115

35 11

55（小時(shí) 43】（難度等級(jí)※※※）一項(xiàng)工程154

后，乙加入進(jìn)來，甲、乙一起又做4

35作的天數(shù)之比為2：1，問題中情形下做完整個(gè)工程需多少天?【解析】方法一：先把整個(gè)工程分為三個(gè)階段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率為14的工程與甲、乙、丙合作完成1111 乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=1又有乙、丙的工作效率的比為3：5乙的工作效率為3丙的工作效率為：5 151(131(18156627天 方法二：顯然甲的工作效率為1設(shè)乙的工作效率為3x，那么丙的工作效率為5x作的天數(shù)為1(13x1(18x),丙工作的天數(shù)為1(

8x).且有 1(

3

1(

3x)1(

8x),解得 x1所以乙的工作效率為3丙的工作效率為高5 的時(shí)間為：151(131(18156627 44（難度等級(jí)）甲、乙、丙三村準(zhǔn)備合作修筑一條公路，他們?cè)?jì)劃按983派工，后因丙村不出工，將他承擔(dān)的任務(wù)由甲、乙兩村分擔(dān)，由丙村出工資360元，結(jié)果甲村共派出人，乙村共派出35人，完成了修路任務(wù)，問甲、乙兩村各應(yīng)分得丙村所付工資的多少元【解析】丙村出的360元錢是不是應(yīng)該按照甲乙兩村派出的人數(shù)比即45:359:7來進(jìn)行分配呢？仔45358080人，按照原計(jì)劃應(yīng)是甲村派出80

998

321245369出了35323人，所以丙村拿出的360元錢，也應(yīng)該按933:136031327036027090【例45】（難度等級(jí)※※※※）(2007年二中考題)某工地用3種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方．已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10:7:6，速度比為68:9，運(yùn)送土方的路程之比為15:1414，三種車的輛數(shù)之比為10:5:7．工程開始時(shí)，乙、丙兩種車全部投入，但甲種車只有一半投入，直到10天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了25天完成任務(wù)．那么，甲種車完成的工作量與總所需的時(shí)間之比為151414571424

: 24

．57．甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為557．由于三種卡車載重量之比為10:7:6所以三種卡車的總載重量之比為50:35:42那么三種卡車10天內(nèi)的工作量之比為502354429202027．在后15天，由于甲車全部投入使用，所以在后15 5

7

14 的工作量之比為402027．所以在這25天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為：201040

32(202027)10(4020 【例46】（難度等級(jí)※※※※（2008年附中考題）甲、乙、丙三人承包一項(xiàng)工程，發(fā)給他們工1共1800元，三人完成這項(xiàng)工程的具體情況是：甲、乙兩人合作6天完成了工程3

事，由乙、丙合作2天完成余下工1，以后三人合作5天完成了這項(xiàng)工程，按完成量的4少來付勞 ，甲、乙、丙各得多少元【解析】161 乙、丙兩人的工作效率之和為(11121 甲、乙、丙三人的工作效率之和為(111151 分別可求得甲的工作效率為111，乙的工作效率為11

，丙的工作效率為 11

16511

625

91

2251411:9114339156 60180所以，甲應(yīng)得180 330元，乙應(yīng)得33091910元，丙應(yīng)得33056560元3391

【例47】（難度等級(jí)※※※※）一個(gè)，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水．若只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，已滿；若只開乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，才滿．又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍．則該最多可容納多少噸水？【解析】由于乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍．那么甲管注入18噸水的時(shí)間是乙管注入182361827362743432718918噸水時(shí)，丙管注入水943436噸．所以該最多可容納水183654噸．【例48】（難度等級(jí)※※※※）一個(gè)有甲、乙、丙三根進(jìn)水管，如果只打開甲、丙兩管，甲管注入30噸水時(shí)，已滿；如果只打開乙、丙兩管，乙管注入40噸水時(shí)，才滿．已知乙管每分鐘注水量是甲管的1.5倍，則該注滿時(shí)可容納噸水．那么，乙注40噸水丙可注水量為40

x，所以30x4040

xx90 9030120（噸）為容量

方法二：如果只打開甲、丙兩管，注滿水時(shí)甲管注入了30401.530間內(nèi)，乙管可以注入301.545噸水，而在只打開乙、丙兩管的情況下乙管共注入了40噸水，459 丙兩管的情況下丙管注了a噸水，則打開甲、丙兩管的情況下丙管注了9a噸水，所以有89a30a40，得到a80，所 注滿時(shí)可容納8040120噸水．在得到第一種情況88 891 則注入301.545噸水，比甲管多注了453015噸，所以這15噸就 8箱容積為1511208【例49】（難度等級(jí)※※※※※）有甲、乙兩個(gè)相同的空立方體，高均為60厘米，在側(cè)面上分別有排水孔A和B．A孔和B孔距底面50厘米和30厘米，且兩孔排水速度相同．現(xiàn)在以相同速度一起給兩注水并通過管道使A孔排出的水直接流入乙箱．70分鐘后兩同時(shí)注滿如 既注水又排 甲

10厘20厘30厘

既注水又排B只注乙

20厘10厘30厘30AB兩孔的高度，此時(shí)兩個(gè)孔都3050AA、BAB2010時(shí)間相同那么這時(shí)候甲乙兩每分鐘注入的水量之比為0:02:1可見注水速度是排2101512212份，所以注滿甲箱的總時(shí)間為52770鐘，那么1份為10分鐘．則關(guān)閉排水孔只注水的情況下，將空注滿需要10660分鐘【例0】（難度等級(jí)※※※※※如圖有一個(gè)正方體在某一個(gè)側(cè)面相同高度的地方有三個(gè)大小相同的出水孔用一個(gè)進(jìn)水管給空灌水若三個(gè)出水孔全關(guān)閉則需要用1個(gè)小時(shí)將滿若打開一個(gè)出水孔則需要用1小時(shí)5分鐘將灌滿若打開兩個(gè)出水孔則需要用2鐘將灌滿．那么，若三個(gè)出水孔全打開，則需要用多少分鐘才能將灌滿？【解析】設(shè)進(jìn)水管每小時(shí)進(jìn)水單位1，那 灌滿后水的總量為1，進(jìn)水管每分鐘進(jìn)水量為

開一個(gè)出水孔，則需要用65分鐘將灌滿，說明一個(gè)出水孔在這65分鐘內(nèi)的出水量等于進(jìn)管551 121，由于打開兩個(gè)出水孔時(shí)比打開一個(gè)出水孔時(shí)多出了72657 (1127211

5 35(分鐘)．這說明面的653530分鐘內(nèi)進(jìn)水管進(jìn)水量恰好達(dá)到三個(gè)出水孔的 到出水孔的高度后，在進(jìn)水管進(jìn)水的同時(shí)出水孔開始出水．13011 后出水孔才開始出水，此時(shí)還需進(jìn)2

的水．所以，開三個(gè)出水孔所需的時(shí)間為：30111382.5 【鞏固（難度等級(jí)）一個(gè)長方體水槽側(cè)面相同高度的地方開有若干大小相同的出水用一個(gè)進(jìn)水管給空水槽灌水，若出水孔全關(guān)閉，灌滿水槽需要用1個(gè)小時(shí)；若打開一個(gè)出水灌滿水槽則需要用64分鐘；若打開兩個(gè)出水孔，灌滿水槽需要用70分鐘．要想能夠把水槽灌 【解析】進(jìn)水管每分鐘灌進(jìn)水槽容積的

分別是水槽容積的16414

)

101．兩次出的水之比是1125

15x分鐘后開始出水，則有(64x270x25x40那么一個(gè)出水孔的出水速度為1114064401 要想能夠把水槽灌滿，由于1165 打開5個(gè)出水孔時(shí)，灌滿水槽所需的時(shí)間為 115160(分鐘 【例51】（難度等級(jí)※※※※※）(2007年附中考題)有一個(gè)敞口的立方體，在其側(cè)面一條高線的三等分處開兩個(gè)排水孔A和B，已知兩孔的排水速度相同且保持不變，現(xiàn)在從上面勻則需要22分鐘才能將注滿，那么兩孔都打開，經(jīng)過 分鐘才能將注滿．(法1)方程法．設(shè)進(jìn)水速度為x，出水速度為y，立方體的容積為1．2x1(xy) x (xy) 解此類方程，可采用換元法．設(shè)1a

b2a1b

a18b

xx

1，y111 所以，打開兩個(gè)排水孔注 的時(shí)間為：1181241(12 (法2)設(shè)單開進(jìn)水管注 的1所需進(jìn)水時(shí)間為x分鐘同時(shí)開一個(gè)進(jìn)水管與一個(gè)出水孔注滿31y3x2y2xy20xx2y 的1看作“1，則進(jìn)水速度為1，出水速度為111 所以灌 最上層的1需要1 1212分鐘 那么總共需要681226(分鐘)．(法3)圖示法． 22202所以，假設(shè)左圖三格全黑——即單開進(jìn)水管注滿，時(shí)間為20218分鐘，即進(jìn)水管的進(jìn)速度為1再假設(shè)右圖三格全白——即同開進(jìn)水管與一個(gè)出水管注滿，時(shí)間為22224分鐘，則其水速度為1，則一個(gè)出水管的出水速度為111 所以，同時(shí)打開兩排水管的進(jìn)水時(shí)間為：1181241(12 【鞏固】（難度等級(jí)※※※※）一個(gè)沒有蓋

，在其側(cè)13

2高的位置各有一個(gè)排水3排水時(shí)的速度相同且保持不變．現(xiàn)在以一定的速度從上面給注水．如果打開A關(guān)閉B，那么35分鐘可將注滿；如果關(guān)閉A打開B，那么40分鐘可將注滿．如果兩個(gè)孔都打開， 【解析】3

40355出水孔時(shí)注滿需35530分鐘，如果一直開一個(gè)出水孔需要40545分鐘．說明每分注水量為1，一個(gè)孔每分鐘排水量為111 如果兩個(gè)孔都打開，需要

1451111255分鐘 3 （四）列表52（難度等級(jí)※※※）放滿一個(gè)水池，如果同時(shí)打1，2，3閥門20鐘可以完成；如果同時(shí)打2，3，4門21鐘可以完成；如果同時(shí)打1，3，4閥門28鐘可以完成；如果同時(shí)打開1，2，4號(hào)閥門，則30分鐘可以完成．問：如果同時(shí)打開1，2，3，4閥門，那么多少分