第六章

數(shù)據(jù)的分析6.4數(shù)據(jù)的離散程度1.了解極差的意義，掌握極差的計(jì)算方法．（重點(diǎn)）2.理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)用樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)?；@球聯(lián)賽開(kāi)始了導(dǎo)入新課劉教練選我選我教練的煩惱？

劉教練到我班選拔一名籃球隊(duì)員，劉教練對(duì)陳方楷和李霖東兩名學(xué)生進(jìn)行5次投籃測(cè)試，每人每次投10個(gè)球，下圖記錄的是這兩名同學(xué)5次投籃中所投中的個(gè)數(shù).隊(duì)員第1次第2次第3次第4次第5次李霖東78889陳方楷1061068（1）請(qǐng)求出以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（3）若要選一個(gè)投籃穩(wěn)定的隊(duì)員，選誰(shuí)更好？（2）用復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖表示上述數(shù)據(jù)；問(wèn)題：為了提高農(nóng)副產(chǎn)品的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力，一些行業(yè)協(xié)會(huì)對(duì)農(nóng)副產(chǎn)品的規(guī)格進(jìn)行了劃分.

某外貿(mào)公司要出口一批規(guī)格為75g的雞腿，現(xiàn)有2個(gè)廠家提供貨源，它們的價(jià)格相同，雞腿品質(zhì)相近.講授新課極差知識(shí)點(diǎn)1質(zhì)檢員分別從甲、乙兩廠的產(chǎn)品中抽樣調(diào)查了20只雞腿，質(zhì)量（單位：g）如下：甲廠：7574747673767577777474757576737673787772乙廠：7578727774757379727580717677737871767375(1)你能從圖中估計(jì)出甲、乙兩廠被抽取的雞腿的平均質(zhì)量嗎？(2)在圖中畫(huà)出表示平均質(zhì)量的直線.解：(1)甲、乙兩廠被抽取雞腿的平均質(zhì)量大約是75g；(2)直線如圖所示.(3)從甲廠抽取的這20只雞腿質(zhì)量的最大值是多少？最小值又是多少？它們相差幾克？乙廠呢？(4)如果只考慮雞腿的規(guī)格，你認(rèn)為外貿(mào)公司應(yīng)購(gòu)買(mǎi)哪個(gè)廠家的雞腿？解：甲廠：最大值78g，最小值72g，相差6g；乙廠：最大值80g，最小值71g，相差9g；解：平均質(zhì)量只能反映總體的集中趨勢(shì),并不能反映個(gè)體的變化情況.從圖中看,甲廠的產(chǎn)品更符合要求.歸納總結(jié)

現(xiàn)實(shí)生活中，除了關(guān)心數(shù)據(jù)的“平均水平”外，人們還關(guān)注數(shù)據(jù)的離散程度，即它們相對(duì)于平均水平的偏離情況.極差就是刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差.

極差越大,偏離平均數(shù)越大,產(chǎn)品的質(zhì)量(性能)越不穩(wěn)定.如果丙廠也參與了競(jìng)爭(zhēng)，從該廠也抽查20只雞腿，（1）丙廠這20只雞腿質(zhì)量的平均數(shù)和極差分別是多少？平均數(shù):極差:方差與標(biāo)準(zhǔn)差知識(shí)點(diǎn)2(3)在甲、丙兩廠中你認(rèn)為哪個(gè)廠的雞腿質(zhì)量更符合要求?為什么？(2)如何刻畫(huà)丙廠這20只雞腿質(zhì)量與其平均數(shù)的差距？分別求出甲、丙兩廠的20只雞腿質(zhì)量與其平均數(shù)的差距.

數(shù)學(xué)上，數(shù)據(jù)的離散程度還可以用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫(huà).

方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù),

即

一般而言,一組數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.其中，是x1,x2,……，xn的平均數(shù)，s2是方差，而標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根.

例1:（1）分別計(jì)算出從甲、丙兩廠抽取的20只雞腿質(zhì)量的方差？（2）根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，你認(rèn)為哪家的產(chǎn)品更符合規(guī)格？丙廠:4.2解：(1)甲廠:2.5（2）甲廠更符合規(guī)定.

例2:

小明和小兵兩人參加體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤硭?誰(shuí)的成績(jī)較為穩(wěn)定？為什么？測(cè)試次數(shù)12345小明1014131213小兵111115141112345求平方和小明每次測(cè)試成績(jī)1014131213（每次成績(jī)－平均成績(jī)）25.762.560.360.160.369.2小兵每次測(cè)試成績(jī)1111151411（每次成績(jī)－平均成績(jī)）21.961.966.762.561.9615.2計(jì)算可得：小明5次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.84；小兵5次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為3.04.

所以根據(jù)結(jié)果小明的成績(jī)比較穩(wěn)定.方法拓展任取一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)a將原數(shù)據(jù)減去a，得到一組新數(shù)據(jù)求新數(shù)據(jù)的方差123求一組較大數(shù)據(jù)的方差，有如下簡(jiǎn)便計(jì)算方法：1.不同品牌的計(jì)算器的操作步驟有所不同，操作時(shí)需要參閱計(jì)算器的使用說(shuō)明書(shū).2.通常需要先按動(dòng)有關(guān)鍵，使計(jì)算器進(jìn)入統(tǒng)計(jì)狀態(tài)；然后依次輸入數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn

；最后按動(dòng)求方差的功能鍵（例如鍵），計(jì)算器便會(huì)求出方差的值.

使用計(jì)算器說(shuō)明：例如：4.SHIFT+S-Var+xσn+=；5.將求出的結(jié)果平方，就得到方差.1.MODE+2-SD進(jìn)入SD模式；2.SHIFT+CLR+=清除統(tǒng)計(jì)存儲(chǔ)器；3.輸入數(shù)據(jù)，每輸入一個(gè)數(shù)據(jù)后按DT

；甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入比賽，參賽學(xué)生每分鐘輸入漢字的個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：某同學(xué)分析上表后得出如下結(jié)論：①甲、乙兩班學(xué)生成績(jī)平均水平相同；②乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字≥150個(gè)為優(yōu)秀)；③甲班成績(jī)的波動(dòng)比乙班大.上述結(jié)論正確的有

.班級(jí)參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135①②③做一做①數(shù)據(jù)x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3

平均數(shù)為

，方差為

.②數(shù)據(jù)x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3

平均數(shù)為

，方差為

.若數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn平均數(shù)為,方差為s2，則x+3x-3xs2s2(1)數(shù)據(jù)x1±b、x2±b、…、xn±b

平均數(shù)為,方差為s2+bx知識(shí)拓展③數(shù)據(jù)3x1，3x2，3x3

，…，3xn

平均數(shù)為

，方差為

.④數(shù)據(jù)2x1-3，2x2-3，2x3-3

，…，2xn-3

平均數(shù)為

，方差為

.若數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn平均數(shù)為,方差為s2，則x-32x9s24s23x(2)數(shù)據(jù)ax1、ax2、…、axn平均數(shù)為,方差為a2s2ax(3)數(shù)據(jù)ax1±b、ax2±b、…、axn±b

平均數(shù)為,方差為a2s2+bax知識(shí)拓展

1.人數(shù)相同的八年級(jí)（1）、（2）兩班學(xué)生在同一次數(shù)學(xué)單元測(cè)試中，班級(jí)平均分和方差如下：，，，則成績(jī)較為穩(wěn)定的班級(jí)是（）A.甲班B.乙班C.兩班成績(jī)一樣穩(wěn)定D.無(wú)法確定2.在樣本方差的計(jì)算公式中，數(shù)字10表示________

，數(shù)字20表示______.

B樣本容量平均數(shù)隨堂練習(xí)3.數(shù)據(jù)－2，－1，0，1，2的方差是___，標(biāo)準(zhǔn)差是___.4.五個(gè)數(shù)1，3，a，5，8的平均數(shù)是4，則a=_____，這五個(gè)數(shù)的方差_____.235.65.比較下列兩組數(shù)據(jù)的方差:A組:0,10,5,5,5,5,5,5,5,5;B組:4,6,3,7,2,8,1,9,5,5解:6.甲、乙兩臺(tái)編織機(jī)紡織一種毛衣，在5天中兩臺(tái)編織機(jī)每天出的合格品數(shù)如下（單位：件）：甲：710887；乙：89797.計(jì)算在這5天中，哪臺(tái)編織機(jī)出合格品的波動(dòng)較小？解：所以是乙臺(tái)編織機(jī)出的產(chǎn)品的波動(dòng)性較小.=（7+10+8+8+7）÷5=8=（8+9+7+9+7）÷5=87.為了從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人去參加電腦知識(shí)競(jìng)賽，在相同條件下對(duì)他們的電腦知識(shí)進(jìn)行10次測(cè)驗(yàn)，成績(jī)（單位：分）如下：甲的成績(jī)76849084818788818584乙的成績(jī)82868790798193907478（1）填寫(xiě)下表：同學(xué)平均成績(jī)中位數(shù)眾數(shù)方差85分以上的頻率甲84840.3乙8484348